Teorema de Darboux (análisis)

Todos los derivados tienen la propiedad de valor intermedio.

En matemáticas, el teorema de Darboux es un teorema del análisis real , que lleva el nombre de Jean Gaston Darboux . Afirma que toda función que resulta de la derivación de otra función tiene la propiedad de valor intermedio : la imagen de un intervalo es también un intervalo.

Cuando ƒ es continuamente diferenciable ( ƒ en C ¹ ([ a , b ])), esto es una consecuencia del teorema del valor intermedio . Pero incluso cuando ƒ′ no es continua, el teorema de Darboux impone una severa restricción a lo que puede ser.

teorema de darboux

Sea un intervalo cerrado , sea una función diferenciable de valor real. Entonces tiene la propiedad de valor intermedio : Si y son puntos con , entonces para cada entre y , existe un en tal que . ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f'(x)=y}$

Pruebas

Prueba 1. La primera prueba se basa en el teorema del valor extremo .

Si es igual a o , entonces establecerlo en igual a o , respectivamente, da el resultado deseado. Ahora supongamos que es estrictamente entre y , y en particular que . Deja tal que . Si es el caso, ajustamos nuestra prueba a continuación, afirmando en su lugar que tiene su mínimo en . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(b)}$ ${\displaystyle f'(a)>y>f'(b)}$ ${\displaystyle \varphi \colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi (t)=f(t)-yt}$ ${\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [a,b]}$

Como es continua en el intervalo cerrado , el valor máximo de on se alcanza en algún punto de , según el teorema del valor extremo . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Porque sabemos que no puede alcanzar su valor máximo en . (Si así fuera, entonces para todos , lo que implica ). ${\displaystyle \varphi '(a)=f'(a)-y>0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\varphi (t)-\varphi (a))/(t-a)\leq 0}$ ${\displaystyle t\in (a,b]}$ ${\displaystyle \varphi '(a)\leq 0}$

Asimismo, porque sabemos que no puede alcanzar su valor máximo en . ${\displaystyle \varphi '(b)=f'(b)-y<0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle b}$

Por tanto, debe alcanzar su valor máximo en algún momento . Por lo tanto, según el teorema de Fermat , es decir . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x\in (a,b)}$ ${\displaystyle \varphi '(x)=0}$ ${\displaystyle f'(x)=y}$

Prueba 2. La segunda prueba se basa en combinar el teorema del valor medio y el teorema del valor intermedio . ^{[1] [2]}

Definir . Para definir y . Y para definir y . ${\displaystyle c={\frac {1}{2}}(a+b)}$ ${\displaystyle a\leq t\leq c,}$ ${\displaystyle \alpha (t)=a}$ ${\displaystyle \beta (t)=2t-a}$ ${\displaystyle c\leq t\leq b,}$ ${\displaystyle \alpha (t)=2t-b}$ ${\displaystyle \beta (t)=b}$

Por lo tanto, tenemos . Ahora, define con . es continuo en . ${\displaystyle t\in (a,b)}$ ${\displaystyle a\leq \alpha (t)<\beta (t)\leq b}$ ${\displaystyle g(t)={\frac {(f\circ \beta )(t)-(f\circ \alpha )(t)}{\beta (t)-\alpha (t)}}}$ ${\displaystyle a<t<b}$ ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Además, cuándo y cuándo ; por lo tanto, según el teorema del valor intermedio, si entonces, existe tal que . Arreglemos . ${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(a)}$ ${\displaystyle t\rightarrow a}$ ${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(b)}$ ${\displaystyle t\rightarrow b}$ ${\displaystyle y\in ({f}'(a),{f}'(b))}$ ${\displaystyle t_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle g(t_{0})=y}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Del teorema del valor medio, existe un punto tal que . Por eso, . ${\displaystyle x\in (\alpha (t_{0}),\beta (t_{0}))}$ ${\displaystyle {f}'(x)=g(t_{0})}$ ${\displaystyle {f}'(x)=y}$

Función Darboux

Una función de Darboux es una función de valor real ƒ que tiene la "propiedad de valor intermedio": para dos valores cualesquiera a y b en el dominio de ƒ , y cualquier y entre ƒ ( a ) y ƒ ( b ), hay algo de c entre a y b con ƒ ( c ) = y . ^[4] Según el teorema del valor intermedio , toda función continua en un intervalo real es una función de Darboux. La contribución de Darboux fue mostrar que existen funciones de Darboux discontinuas.

Toda discontinuidad de una función de Darboux es esencial , es decir, en cualquier punto de discontinuidad, al menos uno de los límites izquierdo y derecho no existe.

Un ejemplo de una función de Darboux que es discontinua en un punto es la función de curva sinusoidal del topólogo :

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}}$

Según el teorema de Darboux, la derivada de cualquier función diferenciable es una función de Darboux. En particular, la derivada de la función es una función de Darboux aunque no sea continua en un punto. ${\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}$

Un ejemplo de una función de Darboux que no es continua en ninguna parte es la función de base 13 de Conway .

Las funciones de Darboux son una clase de funciones bastante general. Resulta que cualquier función ƒ con valor real en la recta real se puede escribir como la suma de dos funciones de Darboux. ^[5] Esto implica en particular que la clase de funciones de Darboux no está cerrada bajo suma.

Una función fuertemente de Darboux es aquella para la cual la imagen de cada intervalo abierto (no vacío) es la línea real completa. La función Conway base 13 es nuevamente un ejemplo. ^[4]

Notas

1. Apostol, Tom M.: Análisis matemático: un enfoque moderno para el cálculo avanzado, segunda edición, Addison-Wesley Longman, Inc. (1974), página 112.
2. Olsen, Lars: una nueva prueba del teorema de Darboux , vol. 111, núm. 8 (octubre de 2004) (págs. 713–715), The American Mathematical Monthly
3. Rudin, Walter: Principios del análisis matemático, tercera edición, MacGraw-Hill, Inc. (1976), página 108
4. Ciesielski, Krzysztof (1997). Teoría de conjuntos para el matemático trabajador . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 39. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 106-111. ISBN 0-521-59441-3. Zbl  0938.03067.
5. Bruckner, Andrew M: Diferenciación de funciones reales , 2 ed, página 6, American Mathematical Society, 1994

enlaces externos

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• "Teorema de Darboux", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]