El acertijo lógico más difícil de la historia es un acertijo lógico llamado así por el filósofo y lógico estadounidense George Boolos y publicado en The Harvard Review of Philosophy en 1996. [1] [2] El artículo de Boolos incluye múltiples formas de resolver el problema. Una traducción al italiano fue publicada anteriormente en el periódico La Repubblica , bajo el título L'indovinello più difficile del mondo .
Se establece lo siguiente:
Tres dioses, A, B y C, se llaman, sin ningún orden en particular, Verdadero, Falso y Azar. Verdadero siempre habla la verdad, Falso siempre habla falsamente, pero que Azar hable la verdad o la mentira es una cuestión completamente aleatoria. Tu tarea es determinar las identidades de A, B y C haciendo tres preguntas de sí o no ; cada pregunta debe ser formulada a exactamente un dios. Los dioses entienden inglés, pero responderán a todas las preguntas en su propio idioma, en el que las palabras para sí y no son da y ja , [3] en algún orden. No sabes qué palabra significa cuál.
Boolos proporciona las siguientes aclaraciones: [1] a un solo dios se le puede hacer más de una pregunta, se permite que las preguntas dependan de las respuestas a preguntas anteriores y la naturaleza de la respuesta de Random debe considerarse como dependiente del lanzamiento de una moneda justa escondida en su cerebro: si la moneda cae cara, dice la verdad; si cae cruz, dice mentiras. [4]
Boolos atribuye al lógico Raymond Smullyan la creación del rompecabezas y a John McCarthy la dificultad de no saber qué significan da y ja . Se pueden encontrar rompecabezas relacionados en los escritos de Smullyan. Por ejemplo, en ¿ Cuál es el nombre de este libro? [5] describe una isla haitiana donde la mitad de los habitantes son zombis (que siempre mienten) y la otra mitad son humanos (que siempre dicen la verdad). Explica que "la situación se complica enormemente por el hecho de que, aunque todos los nativos entienden inglés perfectamente, un antiguo tabú de la isla les prohíbe utilizar palabras no nativas en su habla. Por lo tanto, siempre que se les hace una pregunta de sí o no, responden Bal o Ja , una de las cuales significa sí y la otra no . El problema es que no sabemos cuál de Bal o Da significa sí y cuál significa no". Hay otros rompecabezas relacionados en El enigma de Sherazade [ 6] [7]
El rompecabezas está basado en los rompecabezas de Caballeros y Escuderos . Un escenario para este rompecabezas es una isla ficticia habitada solo por caballeros y escuderos, donde los caballeros siempre dicen la verdad y los escuderos siempre mienten. Un visitante de la isla debe hacer una serie de preguntas de sí/no para descubrir lo que necesita saber (los detalles varían entre las diferentes versiones del rompecabezas). Una versión de estos rompecabezas se popularizó por una escena en la película de fantasía de 1986 Laberinto . Hay dos puertas, cada una con un guardia. Un guardia siempre miente y el otro siempre responde con la verdad. Una puerta conduce al castillo y la otra conduce a una "muerte segura". El rompecabezas consiste en averiguar qué puerta conduce al castillo haciéndole una pregunta a uno de los guardias. En la película, el protagonista lo hace preguntando "¿Me diría él [el otro guardia] que esta puerta conduce al castillo?"
Boolos proporcionó su solución en el mismo artículo en el que presentó el acertijo. Boolos afirma que "el primer paso es encontrar un dios del que se pueda estar seguro de que no es aleatorio y, por lo tanto, es verdadero o falso". [1] Hay muchas preguntas diferentes que lograrán este resultado. Una estrategia es utilizar conectores lógicos complicados en las preguntas (ya sean bicondicionales o alguna construcción equivalente).
La pregunta de Boolos era preguntarle a A:
Equivalentemente:
Roberts (2001) y Rabern y Rabern (2008) observaron de forma independiente que la solución del rompecabezas se puede simplificar utilizando ciertos contrafácticos . [6] [8] La clave de esta solución es que, para cualquier pregunta de sí/no Q, al preguntar Verdadero o Falso la pregunta
El resultado es la respuesta ja si la respuesta verdadera a Q es sí , y la respuesta da si la respuesta verdadera a Q es no (Rabern y Rabern (2008) llaman a este resultado el lema de la pregunta incrustada). La razón por la que esto funciona se puede ver estudiando la forma lógica de la respuesta esperada a la pregunta. Esta forma lógica ( expresión booleana ) se desarrolla a continuación (' Q' es verdadero si la respuesta a Q es 'sí', ' Dios' es verdadero si el dios a quien se le hace la pregunta está actuando como un veraz y 'Ja' es verdadero si el significado de Ja es 'sí'):
Esta expresión final se evalúa como verdadera si la respuesta es Ja y como falsa en caso contrario. Los ocho casos se resuelven a continuación (1 representa verdadero y 0, falso):
Comparando la primera y la última columna se ve claramente que la respuesta es Ja sólo cuando la respuesta a la pregunta es "sí". Los mismos resultados se aplican si la pregunta fuera: "Si te preguntara Q, ¿dirías Da?", porque la evaluación del contrafáctico no depende superficialmente de los significados de Ja y Da. Cada uno de los ocho casos se explica de manera equivalente a continuación en palabras:
Independientemente de si el dios preguntado miente o no y sin importar qué palabra significa sí y cuál no , puedes determinar si la respuesta veraz a la pregunta es sí o no .
La solución a continuación construye sus tres preguntas utilizando el lema descrito anteriormente. [6]
La tercera observación aclaratoria de Boolos explica el comportamiento de Random de la siguiente manera: [6]
Esto no indica si el lanzamiento de la moneda es para cada pregunta, o para cada "sesión", es decir, para toda la serie de preguntas. Si se interpreta como una única selección aleatoria que dura toda la sesión, Rabern y Rabern demuestran que se pueden extraer respuestas útiles incluso de Aleatorio; [6] esto se debe a que el contrafáctico había sido diseñado de tal manera que, independientemente de si el que responde (en este caso Aleatorio) decía la verdad o no, la respuesta verdadera a Q sería clara.
Otra posible interpretación del comportamiento de Random cuando se enfrenta al contrafactual es que responde a la pregunta en su totalidad después de lanzar la moneda en su cabeza, pero descubre la respuesta a Q en su estado mental anterior, mientras se le formula la pregunta. Una vez más, esto hace que preguntarle a Random el contrafactual sea inútil. Si este es el caso, un pequeño cambio en la pregunta anterior produce una pregunta que siempre obtendrá una respuesta significativa de Random. El cambio es el siguiente:
Esto elimina de forma efectiva las personalidades de mentiroso y de veraz de Random y lo obliga a ser solo una de ellas. Al hacerlo, el rompecabezas se vuelve completamente trivial, es decir, se pueden obtener respuestas veraces fácilmente. Sin embargo, supone que Random ha decidido mentir o decir la verdad antes de determinar la respuesta correcta a la pregunta, algo que no se indica en el rompecabezas ni en la observación aclaratoria.
Se pueden obtener respuestas veraces de manera elegante al resolver el problema original, tal como lo aclaró Boolos ("si la moneda cae cara, dice la verdad; si cae cruz, dice mentira") sin depender de ninguna suposición supuestamente no declarada, haciendo un cambio adicional en la pregunta:
Aquí, la única suposición es que Random, al responder la pregunta , está respondiendo con la verdad ("habla con la verdad") O está respondiendo con falsedad ("habla con falsedad"), lo cual forma parte explícita de las aclaraciones de Boolos. De esta manera, el problema original sin modificar (con las aclaraciones de Boolos) puede considerarse el "rompecabezas lógico más difícil de todos los tiempos" con la solución más elegante y de apariencia más sencilla.
Rabern y Rabern (2008) sugieren hacer una modificación al rompecabezas original de Boolos para que Random sea realmente aleatorio. La modificación consiste en reemplazar la tercera observación aclaratoria de Boolos por la siguiente: [6]
Con esta modificación, la solución del rompecabezas exige el interrogatorio más cuidadoso a los dioses que se da en la parte superior de la sección La Solución.
En A simple solution to the hardest logic puzzle ever [6] , B. Rabern y L. Rabern ofrecen una variante del rompecabezas: un dios, enfrentado a una paradoja, no dirá ni ja ni da y en su lugar no responderá en absoluto. Por ejemplo, si la pregunta "¿Vas a responder a esta pregunta con la palabra que significa no en tu idioma?" se le plantea como Verdadero, no puede responder con la verdad. (El artículo representa esto como si su cabeza explotara , "... ¡son dioses infalibles! No tienen más que un recurso: sus cabezas explotan"). Permitir el caso de la "cabeza explosiva" proporciona otra solución del rompecabezas e introduce la posibilidad de resolver el rompecabezas (modificado y original) en sólo dos preguntas en lugar de tres. En apoyo de una solución de dos preguntas al rompecabezas, los autores resuelven un rompecabezas similar más simple utilizando sólo dos preguntas.
Nótese que este acertijo se resuelve de manera trivial con tres preguntas. Además, para resolver el acertijo en dos preguntas, se demuestra el siguiente lema .
Usando este lema es sencillo resolver el rompecabezas en dos preguntas. Rabern y Rabern (2008) usan un truco similar (atenuar la paradoja del mentiroso) para resolver el rompecabezas original en solo dos preguntas. Uzquiano (2010) usa estas técnicas para proporcionar una solución de dos preguntas al rompecabezas enmendado. [9] [10] Las soluciones de dos preguntas tanto para el rompecabezas original como para el enmendado aprovechan el hecho de que algunos dioses tienen la incapacidad de responder ciertas preguntas. Ni Verdadero ni Falso pueden proporcionar una respuesta a la siguiente pregunta.
Dado que el Aleatorio modificado responde de una manera verdaderamente aleatoria, ni Verdadero ni Falso pueden predecir si Aleatorio responderá ja o da a la pregunta de si Dusambé está en Kirguistán. Dada esta ignorancia, no podrán decir la verdad o mentir, por lo que permanecerán en silencio. Aleatorio, sin embargo, que suelta tonterías aleatorias, no tendrá ningún problema en soltar ja o da . Uzquiano (2010) explota esta asimetría para proporcionar una solución de dos preguntas al rompecabezas modificado. Sin embargo, ¿se podría suponer que los dioses tienen una "capacidad oracular para predecir las respuestas de Aleatorio incluso antes del lanzamiento de la moneda en el cerebro de Aleatorio"? [9] En este caso, una solución de dos preguntas todavía está disponible utilizando preguntas autorreferenciales del estilo empleado en Rabern y Rabern (2008).
Aquí nuevamente ni Verdadero ni Falso son capaces de responder a esta pregunta dados sus compromisos de decir la verdad y mentir, respectivamente. Se ven obligados a responder ja en caso de que la respuesta que se han comprometido a dar sea da y esto no pueden hacer. Al igual que antes, sufrirán una explosión en la cabeza. Por el contrario, Aleatorio soltará sin pensar sus tonterías y responderá al azar ja o da . Uzquiano (2010) también utiliza esta asimetría para proporcionar una solución de dos preguntas al rompecabezas modificado. [9] [10] Sin embargo, la propia modificación de Uzquiano al rompecabezas, que elimina esta asimetría al permitir que Aleatorio responda "ja", "da" o permanezca en silencio, no se puede resolver en menos de tres preguntas. [11]