Problema de los tres cuerpos de Euler

Resuelva el movimiento de una partícula sobre la que actúa el campo gravitacional de otras dos masas puntuales.

En física y astronomía , el problema de los tres cuerpos de Euler consiste en resolver el movimiento de una partícula sobre la que actúa el campo gravitatorio de otras dos masas puntuales que están fijas en el espacio. Es una versión particular del problema de los tres cuerpos . Esta versión es exactamente solucionable y produce una solución aproximada para partículas que se mueven en los campos gravitatorios de esferoides alargados y achatados . Este problema recibe su nombre de Leonhard Euler , quien lo analizó en unas memorias publicadas en 1760. Posteriormente, Joseph-Louis Lagrange , Joseph Liouville , Pierre-Simon Laplace , Carl Gustav Jacob Jacobi , Urbain Le Verrier , William Rowan Hamilton , Henri Poincaré y George David Birkhoff , entre otros, contribuyeron con importantes extensiones y análisis del problema de los tres cuerpos . ^[1] El problema de los tres cuerpos de Euler se conoce con diversos nombres, como el problema de los dos centros fijos , el problema de Euler-Jacobi y el problema de Kepler de dos centros . La solución exacta, en el caso tridimensional completo, se puede expresar en términos de las funciones elípticas de Weierstrass . ^[2] Por conveniencia, el problema también se puede resolver mediante métodos numéricos, como la integración de Runge-Kutta de las ecuaciones de movimiento. La energía total de la partícula en movimiento se conserva, pero su momento lineal y angular no, ya que los dos centros fijos pueden aplicar una fuerza neta y un par. Sin embargo, la partícula tiene una segunda cantidad conservada que corresponde al momento angular o al vector de Laplace-Runge-Lenz como casos límite .

El problema de Euler también cubre el caso en el que la partícula es afectada por otras fuerzas centrales de cuadrado inverso , como la interacción electrostática descrita por la ley de Coulomb . Las soluciones clásicas del problema de Euler se han utilizado para estudiar el enlace químico , utilizando una aproximación semiclásica de los niveles de energía de un solo electrón que se mueve en el campo de dos núcleos atómicos, como el ion diatómico HeH ²⁺ . Esto fue realizado por primera vez por Wolfgang Pauli en 1921 en su tesis doctoral bajo la dirección de Arnold Sommerfeld , un estudio del primer ion de hidrógeno molecular, es decir, el ion molecular de hidrógeno H ₂ ⁺ . ^[3] Estos niveles de energía se pueden calcular con una precisión razonable utilizando el método de Einstein-Brillouin-Keller , que también es la base del modelo de Bohr del hidrógeno atómico. ^{[4] [5]} Más recientemente, como se explica más adelante en la versión mecánico-cuántica, se han obtenido soluciones analíticas para los valores propios (energías): éstas son una generalización de la función W de Lambert .

Se conocen varias generalizaciones del problema de Euler; estas generalizaciones añaden fuerzas lineales y cúbicas inversas y hasta cinco centros de fuerza. Casos especiales de estos problemas generalizados incluyen el problema de Darboux ^[6] y el problema de Velde ^{[7] .}

Visión general e historia

El problema de los tres cuerpos de Euler consiste en describir el movimiento de una partícula bajo la influencia de dos centros que atraen a la partícula con fuerzas centrales que disminuyen con la distancia como una ley del cuadrado inverso , como la gravedad newtoniana o la ley de Coulomb . Los ejemplos del problema de Euler incluyen un electrón que se mueve en el campo eléctrico de dos núcleos , como la molécula de hidrógeno-ion H+2La intensidad de las dos fuerzas del cuadrado inverso no necesita ser igual; a modo de ilustración, los dos núcleos pueden tener cargas diferentes, como en el ion molecular HeH ²⁺ .

En el problema de los tres cuerpos de Euler suponemos que los dos centros de atracción son estacionarios. Esto no es estrictamente cierto en un caso como H+2, pero los protones experimentan una aceleración mucho menor que el electrón. Sin embargo, el problema de los tres cuerpos de Euler no se aplica a un planeta que se mueve en el campo gravitatorio de dos estrellas , porque en ese caso al menos una de las estrellas experimenta una aceleración similar a la que experimenta el planeta.

Este problema fue considerado por primera vez por Leonhard Euler , quien demostró que tenía una solución exacta en 1760. ^[8] Joseph Louis Lagrange resolvió un problema generalizado en el que los centros ejercen fuerzas tanto lineales como de cuadrado inverso. ^[9] Carl Gustav Jacob Jacobi demostró que la rotación de la partícula sobre el eje de los dos centros fijos podía separarse, reduciendo el problema tridimensional general al problema planar. ^[10]

En 2008, Diarmuid Ó Mathúna publicó un libro titulado "Sistemas integrables en mecánica celeste". En este libro, ofrece soluciones en forma cerrada tanto para el problema de los dos centros fijos planos como para el problema tridimensional. ^[11]

Constantes de movimiento

El problema de dos centros fijos conserva la energía ; en otras palabras, la energía total es una constante de movimiento . La energía potencial está dada por ${\displaystyle E}$

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}}$

donde representa la posición de la partícula, y y son las distancias entre la partícula y los centros de fuerza; y son constantes que miden la intensidad de la primera y la segunda fuerza, respectivamente. La energía total es igual a la suma de esta energía potencial con la energía cinética de la partícula. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )}$

donde y son la masa y el momento lineal de la partícula , respectivamente. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

El momento lineal y angular de la partícula no se conservan en el problema de Euler, ya que los dos centros de fuerza actúan como fuerzas externas sobre la partícula, lo que puede producir una fuerza neta y un par sobre la partícula. Sin embargo, el problema de Euler tiene una segunda constante de movimiento

${\displaystyle C=r_{1}^{2}\,r_{2}^{2}\,{\frac {d\theta _{1}}{dt}}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+2\,a\left(\mu _{1}\cos \theta _{1}-\mu _{2}\cos \theta _{2}\right),}$

donde es la separación de los dos centros de fuerza, y son los ángulos de las líneas que conectan la partícula con los centros de fuerza, con respecto a la línea que conecta los centros. Esta segunda constante de movimiento fue identificada por ET Whittaker en su trabajo sobre mecánica analítica, ^[12] y generalizada a dimensiones por Coulson y Joseph en 1967. ^[13] En la forma de Coulson-Joseph, la constante de movimiento se escribe ${\displaystyle 2\,a}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle B=\mathbf {L} ^{2}+a^{2}p_{n}^{2}+2\,a\,x_{n}\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right),}$

donde denota el componente de momento a lo largo del eje en el que se encuentran los centros de atracción. ^{[nota 1]} Esta constante de movimiento corresponde al cuadrado del momento angular total en el límite cuando los dos centros de fuerza convergen a un único punto ( ), y proporcional al vector de Laplace-Runge-Lenz en el límite cuando uno de los centros tiende al infinito ( mientras permanece finito). ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}}$ ${\displaystyle a\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |x_{n}-a|}$

Versión mecánica cuántica

Un caso especial del problema de los tres cuerpos de la mecánica cuántica es el ion de la molécula de hidrógeno , H⁺
₂Dos de los tres cuerpos son núcleos y el tercero es un electrón que se mueve rápidamente. Los dos núcleos son 1800 veces más pesados ​​que el electrón y, por lo tanto, se modelan como centros fijos. Es bien sabido que la ecuación de onda de Schrödinger es separable en coordenadas esferoidales alargadas y se puede desacoplar en dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas por el valor propio de la energía y una constante de separación. ^[14] Sin embargo, las soluciones requerían expansiones en serie a partir de conjuntos de base. No obstante, a través de matemáticas experimentales , se encontró que el valor propio de la energía era matemáticamente una generalización de la función W de Lambert (ver la función W de Lambert y las referencias allí para más detalles). El ion molecular de hidrógeno en el caso de núcleos fijados se puede resolver completamente dentro de un sistema de álgebra computacional . El hecho de que su solución sea una función implícita es revelador en sí mismo. Uno de los éxitos de la física teórica no es simplemente que sea susceptible de un tratamiento matemático, sino que las ecuaciones algebraicas implicadas pueden manipularse simbólicamente hasta aislar una solución analítica, preferiblemente una solución en forma cerrada. Este tipo de solución para un caso especial del problema de los tres cuerpos nos muestra las posibilidades de lo que es posible como solución analítica para el problema cuántico de los tres cuerpos y de muchos cuerpos.

Generalizaciones

Adam Hiltebeitel realizó un análisis exhaustivo de las generalizaciones solubles del problema de los tres cuerpos de Euler en 1911. La generalización más simple del problema de los tres cuerpos de Euler es agregar un tercer centro de fuerza a medio camino entre los dos centros originales, que ejerce solo una fuerza de Hooke lineal . La siguiente generalización es aumentar las leyes de fuerza del cuadrado inverso con una fuerza que aumenta linealmente con la distancia. El conjunto final de generalizaciones es agregar dos centros de fuerza fijos en posiciones que son números imaginarios , con fuerzas que son leyes tanto lineales como del cuadrado inverso , junto con una fuerza paralela al eje de centros imaginarios y que varía como el cubo inverso de la distancia a ese eje.

La solución del problema original de Euler es una solución aproximada para el movimiento de una partícula en el campo gravitatorio de un cuerpo alargado, es decir, una esfera que se ha alargado en una dirección, como la forma de un cigarro. La solución aproximada correspondiente para una partícula que se mueve en el campo de un esferoide achatado (una esfera aplastada en una dirección) se obtiene convirtiendo las posiciones de los dos centros de fuerza en números imaginarios . La solución del esferoide achatado es astronómicamente más importante, ya que la mayoría de los planetas, estrellas y galaxias son esferoides aproximadamente achatados; los esferoides alargados son muy raros.

El análogo del caso oblato en la relatividad general es un agujero negro de Kerr . ^[15] Se sabe que las geodésicas alrededor de este objeto son integrables, debido a la existencia de una cuarta constante de movimiento (además de la energía, el momento angular y la magnitud del cuadrimomento), conocida como la constante de Carter . El problema de los tres cuerpos oblatos de Euler y un agujero negro de Kerr comparten los mismos momentos de masa, y esto es más evidente si la métrica para este último está escrita en coordenadas de Kerr-Schild.

El análogo del caso achatado ampliado con un término lineal de Hooke es un agujero negro de Kerr-de Sitter. Como en la ley de Hooke , el término de la constante cosmológica depende linealmente de la distancia desde el origen, y el espacio-tiempo de Kerr-de Sitter también admite una constante cuadrática de tipo Carter en los momentos. ^[16]

Soluciones matemáticas

Problema original de Euler

En el problema original de Euler, se supone que los dos centros de fuerza que actúan sobre la partícula están fijos en el espacio; estos centros están ubicados a lo largo del eje x en ± a . Asimismo, se supone que la partícula está confinada en un plano fijo que contiene los dos centros de fuerza. La energía potencial de la partícula en el campo de estos centros está dada por

${\displaystyle V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.}$

donde las constantes de proporcionalidad μ ₁ y μ ₂ pueden ser positivas o negativas. Los dos centros de atracción pueden considerarse como los focos de un conjunto de elipses. Si alguno de los dos centros estuviera ausente, la partícula se movería sobre una de estas elipses, como solución del problema de Kepler . Por lo tanto, según el teorema de Bonnet , las mismas elipses son las soluciones del problema de Euler.

Introducción de coordenadas elípticas ,

${\displaystyle \,x=\,a\cosh \xi \cos \eta ,}$

${\displaystyle \,y=\,a\sinh \xi \sin \eta ,}$

La energía potencial se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\xi ,\eta )&={\frac {-\mu _{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)}}\\[8pt]&={\frac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},\end{aligned}}}$

y la energía cinética como

${\displaystyle T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right).}$

Este es un sistema dinámico de Liouville si ξ y η se toman como φ ₁ y φ ₂ , respectivamente; por lo tanto, la función Y es igual a

${\displaystyle \,Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta }$

y la función W es igual

${\displaystyle W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right).}$

Utilizando la solución general para un sistema dinámico de Liouville , ^[17] se obtiene

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }$

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }$

Introduciendo un parámetro u mediante la fórmula

${\displaystyle du={\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}={\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}},}$

da la solución paramétrica

${\displaystyle u=\int {\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}=\int {\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}}.}$

Dado que se trata de integrales elípticas , las coordenadas ξ ​​y η pueden expresarse como funciones elípticas de u .

Véase también

• Carter constante
• Ion molecular de hidrógeno
• Integral de Jacobi
• Punto de Lagrangiano
• Sistema dinámico de Liouville
• Problema de los tres cuerpos

Notas

1. La última expresión difiere de la constante C anterior por el término adicional ${\displaystyle 2\,c^{2}E}$

Referencias

1. Carl D. Murray ; Stanley F. Dermott (2000). Dinámica del sistema solar. Cambridge University Press. Capítulo 3. ISBN 978-0-521-57597-3.
2. Francesco Biscani; Dario Izzo (2015). "Una solución completa y explícita al problema tridimensional de dos centros fijos". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 455 (4): 3480–3493. arXiv : 1510.07959 . doi : 10.1093/mnras/stv2512 .
3. Pauli W (1922). "Über das Modell des Wasserstoffmolekülions". Annalen der Physik . 68 (11): 177–240. Código bibliográfico : 1922AnP...373..177P. doi : 10.1002/andp.19223731102.
4. Knudson SK (2006). "La antigua teoría cuántica para H ₂ ⁺ : algunas implicaciones químicas". Revista de educación química . 83 (3): 464–472. Código Bibliográfico :2006JChEd..83..464K. doi :10.1021/ed083p464.
5. Strand MP, Reinhardt WP (1979). "Cuantización semiclásica de los estados electrónicos de baja altitud de H ₂ ⁺ ". Journal of Chemical Physics . 70 (8): 3812–3827. Bibcode :1979JChPh..70.3812S. doi :10.1063/1.437932.
6. Darboux JG , Archives Néerlandaises des Sciences (ser. 2), 6 , 371–376
7. Velde (1889) Programm der ersten Höheren Bürgerschule zu Berlin
8. Euler L , comunicación de noviembre. Acad. Diablillo. Petropolitanae , 10 , págs. 207–242, 11 , págs. 152–184; Mémoires de l'Acad. de Berlín , 11 , 228–249.
9. Lagrange JL , Miscelánea Taurinensia , 4 , 118-243; Obras , 2 , págs. 67-121; Mécanique Analytique , 1.ª edición, págs. 262–286; 2ª edición, 2 , págs. 108-121; Obras , 12 , págs. 101-114.
10. Jacobi CGJ , Vorlesungen ueber Dynamik , núm. 29. Werke , Suplemento, págs. 221-231
11. Ó'Mathúna, Diarmuid (15 de diciembre de 2008). Sistemas Integrables en Mecánica Celeste. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-8176-4595-3.
12. Whittaker Dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos , pág. 283.
13. Coulson CA , Joseph A (1967). "Una constante de movimiento para el problema de Kepler de dos centros". Revista internacional de química cuántica . 1 (4): 337–447. Código Bibliográfico :1967IJQC....1..337C. doi :10.1002/qua.560010405.
14. GB Arfken, Métodos matemáticos para físicos , 2.ª ed., Academic Press, Nueva York (1970).
15. Clifford M. Will, Phys. Rev. Lett. 102, 061101, 2009, https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.061101
16. Charalampos Markakis, Constantes de movimiento en campos gravitacionales axisimétricos estacionarios, MNRAS (11 de julio de 2014) 441 (4): 2974-2985. doi: 10.1093/mnras/stu715, https://arxiv.org/abs/1202.5228
17. Liouville J (1849). "Mémoire sur l'intégration des équations différentielles du mouvement d'un nombre quelconque de point matériels". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 14 : 257–299.

Lectura adicional

• Hiltebeitel AM (1911). "Sobre el problema de dos centros fijos y algunas de sus generalizaciones". American Journal of Mathematics . 33 (1/4): 337–362. doi :10.2307/2369997. JSTOR  2369997.
• Erikson HA, Hill EL (1949). "Una nota sobre los estados de un electrón de las moléculas diatómicas". Physical Review . 75 (1): 29–31. Bibcode :1949PhRv...75...29E. doi :10.1103/PhysRev.75.29.
• Corben HC, Stehle P (1960). Mecánica clásica . Nueva York: John Wiley and Sons. pp. 206–213. ISBN 978-0-88275-162-7.
• Howard JE, Wilkerson TD (1995). "Problema de dos centros fijos y un dipolo finito: un tratamiento unificado". Physical Review A . 52 (6): 4471–4492. Bibcode :1995PhRvA..52.4471H. doi :10.1103/PhysRevA.52.4471. PMID  9912786.
• Knudson SK, Palmer IC (1997). "Valores propios electrónicos semiclásicos para moléculas diatómicas de un electrón con carga asimétrica: método general y estados sigma". Chemical Physics . 224 (1): 1–18. Bibcode :1997CP....224....1K. doi :10.1016/S0301-0104(97)00226-7.
• José JV, Saletan EJ (1998). Dinámica clásica: una aproximación contemporánea . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 298–300, 378–379. ISBN 978-0-521-63176-1.
• Nash PL, Lopez-Mobilia R (1999). "Movimiento cuasieliptico de un electrón en un campo dipolar eléctrico". Physical Review E . 59 (4): 4614–4617. Bibcode :1999PhRvE..59.4614N. doi :10.1103/PhysRevE.59.4614.
• Waalkens H, Dullin HR, Richter PH (2004). "El problema de dos centros fijos: bifurcaciones, acciones, monodromía" (PDF) . Physica D . 196 (3–4): 265–310. Bibcode :2004PhyD..196..265W. doi :10.1016/j.physd.2004.05.006.

Enlaces externos

• El Archivo Euler