Modelo de Price

El modelo de Price (nombrado en honor al físico Derek J. de Solla Price ) es un modelo matemático para el crecimiento de redes de citas . ^{[1] [2]} Fue el primer modelo que generalizó el modelo de Simon ^[3] para ser utilizado en redes, especialmente en redes en crecimiento. El modelo de Price pertenece a la clase más amplia de modelos de crecimiento de redes (junto con el modelo de Barabási-Albert ) cuyo objetivo principal es explicar el origen de redes con distribuciones de grados fuertemente sesgadas. El modelo recogió las ideas del modelo de Simon reflejando el concepto de los ricos se hacen más ricos , también conocido como el efecto Matthew . Price tomó el ejemplo de una red de citas entre artículos científicos y expresó sus propiedades. Su idea era que la forma en que un vértice antiguo (artículo existente) obtiene nuevos bordes (nuevas citas) debería ser proporcional al número de bordes existentes (citas existentes) que el vértice ya tiene. Esto se denominó ventaja acumulativa , ahora también conocida como apego preferencial . El trabajo de Price también es importante porque proporciona el primer ejemplo conocido de una red sin escala (aunque este término se introdujo más tarde). Sus ideas se utilizaron para describir muchas redes del mundo real, como la Web .

El modelo

Lo esencial

Considerando un grafo dirigido con n nodos. Sea k la fracción de nodos con grado k de modo que . Cada nuevo nodo tiene un grado de salida dado (es decir, los artículos que cita) y es fijo en el largo plazo. Esto no significa que los grados de salida no puedan variar entre nodos, simplemente asumimos que el grado de salida medio m es fijo en el tiempo. Está claro que , en consecuencia m no está restringido a números enteros. La forma más trivial de unión preferencial significa que un nuevo nodo se conecta a un nodo existente proporcionalmente a sus grados de entrada. En otras palabras, un nuevo artículo cita a un artículo existente en proporcional a sus grados de entrada. La salvedad de tal idea es que ningún artículo nuevo es citado cuando se une a la red, por lo que tendrá una probabilidad cero de ser citado en el futuro (lo que no necesariamente es como sucede). Para superar esto, Price propuso que una unión debería ser proporcional a algún nodo con constante. En general puede ser arbitrario, pero Price propone un , de esa manera una cita inicial se asocia con el artículo en sí (por lo que el factor de proporcionalidad ahora es k  + 1 en lugar de k ). La probabilidad de que una nueva arista se conecte a cualquier nodo con un grado k es ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \sum _{k}{p_{k}}=1}$ ${\displaystyle \sum _{k}{kp_{k}}=m}$ ${\displaystyle k+k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}=1}$

${\displaystyle {\frac {(k+1)p_{k}}{\sum _{k}(k+1)p_{k}}}={\frac {(k+1)p_{k}}{m+1}}}$

Evolución de la red

La siguiente pregunta es el cambio neto en el número de nodos con grado k cuando agregamos nuevos nodos a la red. Naturalmente, este número está disminuyendo, ya que algunos nodos de grado k tienen nuevas aristas, por lo que se convierten en nodos de grado ( k  + 1); pero, por otro lado, este número también está aumentando, ya que algunos nodos de grado ( k  − 1) pueden tener nuevas aristas, convirtiéndose en nodos de grado k . Para expresar este cambio neto formalmente, denotemos la fracción de nodos de grado k en una red de n vértices con : ${\displaystyle p_{k,n}}$

${\displaystyle (n+1)p_{k,n+1}-np_{k,n}=[kp_{k-1,n}-(k+1)p_{k,n}]{\frac {m}{m+1}}{\text{ for }}k\geq 1,}$

y

${\displaystyle (n+1)p_{0,n+1}-np_{0,n}=1-p_{0,n}{\frac {m}{m+1}}{\text{ for }}k=0.}$

Para obtener una solución estacionaria para , primero expresemos utilizando el conocido método de ecuación maestra , como ${\displaystyle p_{k,n+1}=p_{k,n}=p_{k}}$ ${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle p_{k}={\begin{cases}[kp_{k-1}-(k+1)p_{k}]{\frac {m}{m+1}}&{\text{for }}k\geq 1\\1-p_{0}{\frac {m}{m+1}}&{\text{for }}k=0\end{cases}}}$

Después de alguna manipulación, la expresión anterior da como resultado

${\displaystyle p_{0}={\frac {m+1}{2m+1}}}$

y

${\displaystyle p_{k}={\frac {k!}{(k+2+1/m)\cdots (3+1/m)}}p_{0}=(1+1/m)\mathbf {B} (k+1,2+1/m),}$

siendo la función Beta . Como consecuencia, . Esto es idéntico a decir que sigue una distribución de ley de potencia con exponente . Normalmente, esto coloca el exponente entre 2 y 3, que es el caso de muchas redes del mundo real. Price probó su modelo comparándolo con los datos de la red de citas y concluyó que el m resultante es factible para producir una distribución de ley de potencia suficientemente buena . ${\displaystyle \mathbf {B} (a,b)}$ ${\displaystyle p_{k}\sim k^{-(2+1/m)}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \alpha =2+1/m}$

Generalización

Es sencillo generalizar los resultados anteriores al caso en el que . Los cálculos básicos muestran que ${\displaystyle k_{0}\neq 1}$

${\displaystyle p_{k}={\frac {m+k_{0}}{m(k_{0}+1)+k_{0}}}{\frac {\mathbf {B} (k+k_{0},2+k_{0}/m)}{\mathbf {B} (k_{0},2+k_{0}/m)}},}$

lo que una vez más da como resultado una distribución de ley de potencia de con el mismo exponente para k grande y fijo . ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \alpha =2+k_{0}/m}$ ${\displaystyle k_{0}}$

Propiedades

La diferencia clave con el modelo más reciente de Barabási-Albert es que el modelo de Price produce un grafo con aristas dirigidas, mientras que el modelo de Barabási-Albert es el mismo modelo pero con aristas no dirigidas. La dirección es fundamental para la aplicación de la red de citas que motivó a Price. Esto significa que el modelo de Price produce un grafo acíclico dirigido y estas redes tienen propiedades distintivas.

Por ejemplo, en un gráfico acíclico dirigido, tanto los caminos más largos como los más cortos están bien definidos. En el modelo de Price, la longitud del camino más largo desde el nodo n-ésimo agregado a la red hasta el primer nodo de la red se escala como ^[4] ${\displaystyle \ln(n)}$

Notas

Para una discusión más amplia, véase ^{[5] [6] y [7] [8]} . Price pudo obtener estos resultados, pero esto fue lo más lejos que pudo llegar con ellos, sin la provisión de recursos computacionales. Afortunadamente, gran parte del trabajo dedicado a la conexión preferencial y al crecimiento de la red ha sido posible gracias al progreso tecnológico reciente ^{[ ¿según quién? ]} .

Referencias

1. de Solla Price, DJ (30 de julio de 1965). "Redes de artículos científicos". Science . 149 (3683). Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia (AAAS): 510–515. Bibcode :1965Sci...149..510D. doi :10.1126/science.149.3683.510. ISSN  0036-8075. PMID  14325149.
2. de Solla Price, Derek J. (1976), "Una teoría general de los procesos de ventaja acumulativa bibliométrica y de otro tipo", J. Amer. Soc. Inform. Sci. , 27 (5): 292–306, CiteSeerX 10.1.1.161.114 , doi :10.1002/asi.4630270505, S2CID  8536863 
3. Simon, Herbert A. (1955). "Sobre una clase de funciones de distribución oblicuas". Biometrika . 42 (3–4). Oxford University Press (OUP): 425–440. doi :10.1093/biomet/42.3-4.425. ISSN  0006-3444.
4. Evans, TS; Calmon, L.; Vasiliauskaite, V. (2020), "El camino más largo en el modelo de precios", Scientific Reports , 10 (1): 10503, arXiv : 1903.03667 , Bibcode :2020NatSR..1010503E, doi :10.1038/s41598-020-67421-8, PMC 7324613 , PMID  32601403 
5. Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF; Samukhin, AN (2000-11-20). "Estructura de redes en crecimiento con enlaces preferenciales". Physical Review Letters . 85 (21): 4633–4636. arXiv : cond-mat/0004434 . Código Bibliográfico :2000PhRvL..85.4633D. doi :10.1103/physrevlett.85.4633. ISSN  0031-9007. PMID  11082614. S2CID  118876189.
6. Krapivsky, PL; Redner, S. (24 de mayo de 2001). "Organización de redes aleatorias en crecimiento". Physical Review E . 63 (6). American Physical Society (APS): 066123. arXiv : cond-mat/0011094 . Bibcode :2001PhRvE..63f6123K. doi :10.1103/physreve.63.066123. ISSN  1063-651X. PMID  11415189. S2CID  16077521.
7. Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF (2002). "Evolución de las redes". Avances en Física . 51 (4): 1079–1187. arXiv : cond-mat/0106144 . Código Bibliográfico :2002AdPhy..51.1079D. doi :10.1080/00018730110112519. ISSN  0001-8732. S2CID  429546.
8. Krapivsky, PL y Redner, S., Enfoque de ecuación de velocidad para redes en crecimiento , en R. Pastor-Satorras y J. Rubi (eds.), Actas de la XVIII Conferencia de Sitges sobre Mecánica Estadística, Lecture Notes in Physics, Springer, Berlín (2003).

Fuentes

• Newman, MEJ (2003). "La estructura y función de redes complejas". SIAM Review . 45 (2): 167–256. arXiv : cond-mat/0303516 . Bibcode :2003SIAMR..45..167N. doi :10.1137/s003614450342480. ISSN  0036-1445. S2CID  221278130.