Lema de Kac

En la teoría ergódica , el lema de Kac , demostrado por el matemático Mark Kac en 1947, ^[1] es un lema que establece que en un espacio de medida la órbita de casi todos los puntos contenidos en un conjunto de dicho espacio, cuya medida es , regresan a dentro de un tiempo promedio inversamente proporcional a . ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)}$

El lema extiende lo establecido por el teorema de recurrencia de Poincaré , en el que se demuestra que los puntos retornan en tiempos infinitos. ^[3] ${\displaystyle A}$

Solicitud

En física , un sistema dinámico que evoluciona en el tiempo puede describirse en un espacio de fases , es decir, por la evolución en el tiempo de algunas variables. Si estas variables están acotadas , es decir, tienen un mínimo y un máximo, para un teorema de Liouville , se puede definir una medida en el espacio, teniendo un espacio de medida donde se aplica el lema. En consecuencia, dada una configuración del sistema (un punto en el espacio de fases), el período de retorno promedio cercano a esta configuración (en la vecindad del punto) es inversamente proporcional al tamaño considerado del volumen que rodea la configuración.

Normalizando el espacio de medida a 1, éste se convierte en un espacio de probabilidad y la medida de su conjunto representa la probabilidad de encontrar el sistema en los estados representados por los puntos de ese conjunto. En este caso el lema implica que cuanto menor es la probabilidad de estar en un determinado estado (o cerca de él), mayor es el tiempo de retorno cerca de ese estado. ^[4] ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$

En fórmulas, si es la región cercana al punto de inicio y es el periodo de retorno, su valor promedio es: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{R}}$

${\displaystyle \langle T_{R}\rangle =\tau /P(A)}$

Donde es un tiempo característico del sistema en cuestión. ${\displaystyle \tau }$

Nótese que dado que el volumen de , por lo tanto , depende exponencialmente de las variables del sistema ( , con lado infinitesimal, por lo tanto menor que 1, del volumen en dimensiones), ^[5] disminuye muy rápidamente a medida que aumentan las variables del sistema y, en consecuencia, el período de retorno aumenta exponencialmente. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A=\epsilon ^{n}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(A)}$

En la práctica, a medida que aumentan las variables necesarias para describir el sistema, el período de retorno aumenta rápidamente. ^[7]

Referencias

1. Kac, Mark (1947). "Sobre la noción de recurrencia en procesos estocásticos discretos" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 53 (10): 1002–1010. doi :10.1090/S0002-9904-1947-08927-8.
2. Hochman, Michael (27 de enero de 2013). "Notas sobre la teoría ergódica" (PDF) . pág. 20.
3. Walkden, Charles. "MAGIA: Curso de 10 lecciones sobre teoría ergódica – Lección 5".
4. Pereira, Tiago. "Apuntes de clase - Introducción a la teoría ergódica" (PDF) . Imperial College London . Departamento de Matemáticas. p. 12.
5. . Ver lista de límites . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\epsilon ^{n}=0\quad {\text{for}}\quad 0<\epsilon <1}$
6. Gammaitoni, Luca ; Vulpiani, Angelo (2019). Perché è difficile prevedere il futuro (en italiano). Bari: Edizioni Dédalo. pag. 91.ISBN​ 978-88-220-6882-8.
7. Petersen, Karl E. (1983). Teoría ergódica . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 37. ISBN. 0521236320.

Lectura adicional

• Kac, Mark (1947). "Sobre la noción de recurrencia en procesos estocásticos discretos" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 53 (10): 1002–1010. doi :10.1090/S0002-9904-1947-08927-8.
• Walkden, Charles. "MAGIC: Curso de 10 lecciones sobre teoría ergódica – Lección 5".
• Petersen, Karl E. (1983). Teoría ergódica . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 46. ISBN. 0521236320.
• Hochman, Michael (27 de enero de 2013). "Notas sobre la teoría ergódica" (PDF) .