Teorema de variedades nulas
En geometría diferencial , el criterio de Mal'cev , demostrado por Anatoly Mal'cev , establece que un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo admite una red, es decir, un subgrupo co-compacto discreto , si y sólo si el álgebra de Lie asociada admite una base tal que las constantes de la estructura son racionales.
La relevancia del criterio de Mal'cev proviene del hecho de que nos da una correspondencia uno a uno entre clases de isomorfismo de álgebras de Lie con constantes de estructura racional y variedades nil compactas . De hecho, Mal'cev demostró que las variedades nil compactas son precisamente cocientes de grupos de Lie nilpotentes simplemente conectados por una red.
Relevancia en la geometría de Kähler
El criterio de Mal'cev es relevante en la geometría de Kähler porque las variedades nulas compactas con estructura de Kähler deben ser difeomorfas a un toro . Por lo tanto, cuando se buscan variedades que no admiten una estructura de Kähler, se puede utilizar el criterio de Mal'cev para generar una variedad nula compacta a partir de cualquier álgebra de Lie racional.
Al construir otras estructuras en la variedad, como una estructura compleja o simpléctica , se encuentra una variedad no Kähler de dicha estructura. Por tanto, ayuda a encontrar soluciones al problema de Thurston-Weinstein, que se ocupa de la existencia de variedades simplécticas no Kähler.
Notas
Referencias
- Benson, Chal; Gordon, Carolyn S. (1988). "Kähler y estructuras simplécticas en variedades nil". Topología . 27 (4): 513–518. doi : 10.1016/0040-9383(88)90029-8 . ISSN 0040-9383.
- Eberlein, Patricio (2003). "El espacio de módulos de álgebras de Lie nilpotentes de 2 pasos de tipo (p, q)". En suave, John; Kim, Kang-Tae; Krantz, Steven George (eds.). Exploraciones en geometría compleja y riemanniana: un volumen dedicado a Robert E. Greene . Contemporáneo. vol. 332. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 37–72. ISBN 9780821832738. ISSN 0271-4132.
- Eberlein, Patricio (2004). "Geometría de grupos de Lie nilpotentes de 2 pasos con una métrica invariante a la izquierda". En Brin, Michael; Hasselblatt, Boris; Pesin, Ya. B. (eds.). Aplicaciones y sistemas dinámicos modernos . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 67-102. ISBN 9780521840736.
- Hasegawa, Keizo (1989). "Modelos mínimos de variedades nulas". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 106 (1): 65–71. doi : 10.1090/s0002-9939-1989-0946638-x . ISSN 0002-9939.
Otras lecturas
- Mal'cev, Anatoly Ivanovich (1962). "Sobre una clase de espacios homogéneos". Serie uno de traducciones de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas . 9 : 276–307.también -
- Mal'cev, Anatoly Ivanovich (1949). "Sobre una clase de espacios homogéneos". Izvestiya Akademii Nauk SSSR Seriya Matematicheskaya (en ruso) (13): 9–32.
