cálculo de schubert

En matemáticas , el cálculo de Schubert ^[1] es una rama de la geometría algebraica introducida en el siglo XIX por Hermann Schubert para resolver diversos problemas de conteo de la geometría proyectiva y, como tal, se considera parte de la geometría enumerativa . Darle una base más rigurosa era el objetivo del decimoquinto problema de Hilbert . Está relacionado con varios conceptos más modernos, como las clases características , y tanto sus aspectos algorítmicos como sus aplicaciones siguen siendo de interés actual. El término cálculo de Schubert se utiliza a veces para referirse a la geometría enumerativa de subespacios lineales de un espacio vectorial, que equivale aproximadamente a describir el anillo de cohomología de los Grassmannianos. A veces se utiliza para referirse a la geometría enumerativa más general de variedades algebraicas que son espacios homogéneos de grupos de Lie simples. De manera aún más general, a veces se entiende que el cálculo de Schubert abarca el estudio de cuestiones análogas en teorías de cohomología generalizadas .

Los objetos introducidos por Schubert son las células de Schubert , ^[2] que son conjuntos localmente cerrados en un Grassmanniano definido por las condiciones de incidencia de un subespacio lineal en el espacio proyectivo con una bandera dada . Para más detalles ver variedad Schubert .

La teoría de la intersección ^[3] de estas celdas, que puede verse como la estructura del producto en el anillo de cohomología del Grassmanniano, que consta de clases de cohomología asociadas , permite en particular determinar los casos en los que las intersecciones de las celdas dan como resultado un conjunto finito. de puntos. Un resultado clave es que las células de Schubert (o más bien, las clases de sus cierres de Zariski, los ciclos de Schubert o las variedades de Schubert ) abarcan todo el anillo de cohomología.

Los aspectos combinatorios surgen principalmente en relación con el cálculo de intersecciones de ciclos de Schubert. Desde el Grassmanniano , que es un espacio homogéneo , hasta el grupo lineal general que actúa sobre él, cuestiones similares están involucradas en la descomposición y clasificación de Bruhat de subgrupos parabólicos (como matrices triangulares de bloques ).

Construcción

El cálculo de Schubert se puede construir utilizando el anillo de Chow ^[3] del Grassmanniano , donde los ciclos generadores están representados por datos definidos geométricamente. ^[4] Denotaremos el Grassmanniano de planos en un espacio vectorial de dimensión fija como y su anillo de Chow como . (Tenga en cuenta que el Grassmanniano a veces se denota si el espacio vectorial no se da explícitamente o como si el espacio ambiental y sus subespacios -dimensionales fueran reemplazados por sus proyectaciones). Elegir una bandera completa (arbitraria) ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (k-1,n-1)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V),\quad \dim {V}_{i}=i,\quad i=1,\dots ,n,}$

a cada -tupla débilmente decreciente de números enteros , donde ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})}$

${\displaystyle n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0,}$

es decir, a cada partición de peso

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{k}a_{i},}$

cuyo diagrama de Young encaja en el rectangular de la partición , asociamos una variedad de Schubert ^{[1] [2]} (o ciclo de Schubert ) , definida como ${\displaystyle k\times (n-k)}$ ${\displaystyle (n-k)^{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap w)\geq i{\text{ for }}i=1,\dots ,k\}.}$

Este es el cierre, en la topología de Zariski , de la celda de Schubert ^{[1] [2]}

${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}):=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{j}\cap w)=i{\text{ for all }}n-k-a_{i}+i\leq j\leq n-k-a_{i+1}+i,\quad 1\leq j\leq n\}\subset \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}),}$

que se utiliza al considerar la homología celular en lugar del anillo de Chow. Estos últimos son espacios afines disjuntos, de dimensión , cuya unión es . ${\displaystyle |\mathbf {a} |}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

Se puede dar una caracterización equivalente de la celda de Schubert en términos de bandera dual completa. ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}$

dónde

${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}:=V_{n}\backslash V_{n-i},\quad i=1,\dots ,n\quad (V_{0}:=\emptyset ).}$

Luego consta de aquellos subespacios dimensionales que tienen una base que consta de elementos. ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}$

de los subespacios ${\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}.}$

Dado que la clase de homología , llamada clase Schubert , no depende de la elección de la bandera completa , se puede escribir como ${\displaystyle [\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }:=[\Sigma _{\mathbf {a} }]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V)).}$

Se puede demostrar que estas clases son linealmente independientes y generan el anillo de Chow como su tramo lineal. La teoría de la intersección asociada se llama cálculo de Schubert . Para una secuencia dada , la clase de Schubert generalmente se denota simplemente . Las clases de Schubert dadas por un único número entero (es decir, una partición horizontal) se denominan clases especiales . Usando la siguiente fórmula de Giambelli , todas las clases de Schubert se pueden generar a partir de estas clases especiales. ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ ${\displaystyle a_{j}>0}$ ${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}}$ ${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}}$ ${\displaystyle \sigma _{a_{1}}}$

Otras convenciones de notación

En algunas fuentes, ^{[1] [2]} las celdas de Schubert y las variedades de Schubert están etiquetadas de manera diferente, como y , respectivamente, ¿dónde está la partición complementaria con partes? ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle S_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-a_{k-i+1}}$,

cuyo diagrama de Young es el complemento del de dentro del rectangular (invertido, tanto horizontal como verticalmente). ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle k\times (n-k)}$

Otra convención de etiquetado para y es y , respectivamente, ¿dónde está el índice múltiple definido por ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle C_{L}}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{L}}$ ${\displaystyle L=(L_{1},\dots ,L_{k})\subset (1,\dots ,n)}$

${\displaystyle L_{i}:=n-k-a_{i}+i=\lambda _{k-i+1}+i.}$

Los números enteros son las ubicaciones de pivote de las representaciones de elementos en forma escalonada matricial reducida . ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{k})}$ ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$

Explicación

Para explicar la definición, considere un plano genérico . Tendrá sólo una intersección cero con for , mientras que ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle j\leq n-k}$

${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)=i}$para ${\displaystyle j=n-k+i\geq n-k.}$

Por ejemplo, en , un plano es el espacio de solución de un sistema de cinco ecuaciones lineales homogéneas independientes. Estas ecuaciones abarcarán genéricamente cuando estén restringidas a un subespacio con , en cuyo caso el espacio solución (la intersección de con ) consistirá únicamente en el vector cero. Sin embargo , si y necesariamente tendrán una intersección distinta de cero. Por ejemplo, la dimensión esperada de la intersección de y es , la intersección de y tiene la dimensión esperada , y así sucesivamente. ${\displaystyle \mathbf {Gr} (4,9)}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle j=\dim V_{j}\leq 5=9-4}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \dim(V_{j})+\dim(w)>n=9}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V_{6}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V_{7}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 2}$

La definición de variedad Schubert establece que el primer valor de with es genéricamente menor que el valor esperado por el parámetro . Los planos dados por estas restricciones definen subvariedades especiales de . ^[4] ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)\geq i}$ ${\displaystyle n-k+i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

Propiedades

Inclusión

Hay un orden parcial en todas las tuplas donde if para cada . Esto da la inclusión de variedades Schubert. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \geq \mathbf {b} }$ ${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \Sigma _{\mathbf {b} }\iff \mathbf {a} \geq \mathbf {b} ,}$

mostrar un aumento de los índices corresponde a una especialización aún mayor de las subvariedades.

Fórmula de dimensión

Una variedad Schubert tiene dimensiones iguales al peso. ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum a_{i}}$

de la partición . Alternativamente, en la convención de notación indicada anteriormente, su codimensión en es el peso ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle S_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=k(n-k)-|\mathbf {a} |.}$

de la partición complementaria en el diagrama de Young rectangular dimensional. ${\displaystyle \lambda \subset (n-k)^{k}}$ ${\displaystyle k\times (n-k)}$

Esto es estable bajo inclusiones de Grassmannianos. Es decir, la inclusión

${\displaystyle i_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n+1}),\quad \mathbf {C} ^{n}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$

definido, para , por ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$

${\displaystyle i_{(k,n)}:w\subset \mathbf {C} ^{n}\mapsto w\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

tiene la propiedad

${\displaystyle i_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} },}$

y la inclusión

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,n)\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k+1,n+1)}$

definido agregando el elemento de base adicional a cada plano, dando un plano, ${\displaystyle e_{n+1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k+1)}$

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:w\mapsto w\oplus \mathbf {C} e_{n+1}\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

lo hace también

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} }.}$

Por lo tanto, si y son una célula y una subvariedad en el Grassmanniano , también pueden verse como una célula y una subvariedad dentro del Grassmanniano para cualquier par con y . ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$ ${\displaystyle ({\tilde {k}},{\tilde {n}})}$ ${\displaystyle {\tilde {k}}\geq k}$ ${\displaystyle {\tilde {n}}-{\tilde {k}}\geq n-k}$

Producto de intersección

El producto de intersección se estableció por primera vez utilizando las fórmulas de Pieri y Giambelli .

fórmula de pieri

En el caso especial , existe una fórmula explícita del producto de con una clase arbitraria de Schubert dada por ${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\ldots ,0)}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}$

${\displaystyle \sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbf {c} },}$

donde , son los pesos de las particiones. Esto se llama fórmula de Pieri y se puede utilizar para determinar el producto de intersección de dos clases de Schubert cualesquiera cuando se combina con la fórmula de Giambelli . Por ejemplo, ${\displaystyle |\mathbf {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}}$ ${\displaystyle |\mathbf {c} |=c_{1}+\cdots +c_{k}}$

${\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}.}$

y

${\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}}$

fórmula de giambelli

Las clases de Schubert para particiones de cualquier longitud se pueden expresar como el determinante de una matriz que tiene clases especiales como entradas. ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \ell (\mathbf {a} )\leq k}$ ${\displaystyle (k\times k)}$

${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}}$

Esto se conoce como fórmula de Giambelli . Tiene la misma forma que la primera identidad de Jacobi-Trudi , expresando funciones arbitrarias de Schur como determinantes en términos de funciones simétricas completas . ${\displaystyle s_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \{h_{j}:=s_{(j)}\}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle \sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}}$

y

${\displaystyle \sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}.}$

Caso general

El producto de intersección entre cualquier par de clases de Schubert viene dado por ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} },\sigma _{\mathbf {b} }}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }\sigma _{\mathbf {b} }=\sum _{\mathbf {c} }c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\sigma _{\mathbf {c} },}$

¿Dónde están los coeficientes de Littlewood-Richardson ? ^[5] La fórmula de Pieri es un caso especial de esto, cuando tiene longitud . ${\displaystyle \{c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle \ell (\mathbf {b} )=1}$

Relación con las clases de Chern

Hay una descripción sencilla del anillo de cohomología, o anillo de Chow, del Grassmanniano utilizando las clases de Chern de dos haces de vectores naturales sobre . Tenemos la secuencia exacta de paquetes de vectores sobre ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle 0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0}$

donde está el fibrado tautológico cuya fibra, sobre cualquier elemento es el subespacio mismo, es el fibrado vectorial trivial de rango , con as fibra y es el fibrado vectorial cociente de rango , con as fibra. Las clases Chern de los paquetes y son ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \,{\underline {V}}:=\mathbf {Gr} (k,V)\times V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle V/w}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1)^{i}},}$

¿Dónde está la partición cuyo diagrama de Young consta de una sola columna de longitud y ${\displaystyle (1)^{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle c_{i}(Q)=\sigma _{i}.}$

La secuencia tautológica da entonces la presentación del anillo Chow como

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}.}$

G r ( 2 , 4 ) {\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}

Uno de los ejemplos clásicos analizados es el Grassmanniano ya que parametriza líneas en . Utilizando el anillo de Chow , el cálculo de Schubert se puede utilizar para calcular el número de líneas en una superficie cúbica . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))}$

anillo de comida

El anillo Chow tiene la presentación.

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}$

y como grupo abeliano graduado ^[6] viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}}$

Líneas sobre una superficie cúbica.

Recuerde que una línea en da un subespacio de dimensión de , por lo tanto un elemento de . Además, la ecuación de una recta se puede dar como una sección de . Dado que una superficie cúbica se da como un polinomio cúbico homogéneo genérico, ésta se da como una sección genérica . Una línea es una subvariedad de si y sólo si la sección desaparece en . Por lo tanto, la clase de Euler se puede integrar para obtener el número de puntos donde la sección genérica desaparece . Para obtener la clase de Euler, se debe calcular la clase total de Chern, que viene dada como ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong \mathbf {Gr} (2,4)}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}$ ${\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [L]\in \mathbb {G} (1,3)}$ ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$ ${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}$

La fórmula de división entonces se lee como la ecuación formal

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}},}$

dónde y para paquetes de líneas formales . La ecuación de división da las relaciones ${\displaystyle c({\mathcal {L}})=1+\alpha }$ ${\displaystyle c({\mathcal {M}})=1+\beta }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta }$y . ${\displaystyle \sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta }$

Dado que puede verse como la suma directa de paquetes de líneas formales ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}$

cuya clase total de Chern es

${\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta ),}$

resulta que

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\,,\end{aligned}}}$

utilizando el hecho de que

${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}$y ${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}.}$

Como es la clase superior, la integral es entonces ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27.}$

Por tanto, hay líneas en una superficie cúbica. ${\displaystyle 27}$

Ver también

• Geometría enumerativa
• anillo de comida
• Teoría de la intersección
• Grassmanniano
• La fórmula de Giambelli.
• La fórmula de Pieri.
• clase negra
• Quintic triple
• Conjetura de simetría especular

Referencias

1. Kleiman, SL ; Laksov, Dan (1972). "Cálculo de Schubert". Mensual Matemático Estadounidense . 79 (10). Sociedad Matemática Estadounidense: 1061–1082. doi :10.1080/00029890.1972.11993188. ISSN  0377-9017.
2. Fulton, William (1997). Cuadros jóvenes. Con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría, capítulo. 9.4 . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 35. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511626241. ISBN 9780521567244.
3. Fulton, William (1998). Teoría de la intersección . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98549-7. SEÑOR  1644323.
4. 3264 y todo eso (PDF) . págs. 132, apartado 4.1, 200, apartado 6.2.1.
5. Fulton, William (1997). Cuadros jóvenes. Con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría, capítulo. 5 . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 35. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511626241. ISBN 9780521567244.
6. Katz, Sheldon . Geometría enumerativa y teoría de cuerdas . pag. 96.

• Apuntes de la escuela de verano http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
• Phillip Griffiths y Joseph Harris (1978), Principios de geometría algebraica , Capítulo 1.5
• Kleiman, Steven (1976). "Fundamentos rigurosos del cálculo enumerativo de Schubert". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert . Actas de simposios de matemática pura . vol. XXVIII.2. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 445–482. ISBN 0-8218-1428-1.
• Steven Kleiman y Dan Laksov (1972). «Cálculo de Schubert» (PDF) . Mensual Matemático Estadounidense . 79 : 1061-1082. doi :10.2307/2317421.
• Sottile, Frank (2001) [1994], "Cálculo de Schubert", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• David Eisenbud y Joseph Harris (2016), "3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica".
• Fulton, William (1997). Cuadros jóvenes. Con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría, capítulos. 5 y 9.4 . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 35. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511626241. ISBN 9780521567244.
• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98549-7. SEÑOR  1644323.