Capa de Ekman

Capa de equilibrio de fuerzas en un líquido

La capa de Ekman es la capa de un fluido en la que el flujo es el resultado de un equilibrio entre el gradiente de presión, el efecto Coriolis y las fuerzas de arrastre turbulentas. En la imagen de arriba, el viento que sopla hacia el norte crea una tensión superficial y, como resultado, se encuentra una espiral de Ekman debajo de ella en la columna de agua.

La capa de Ekman es la capa de un fluido en la que existe un equilibrio de fuerzas entre la fuerza del gradiente de presión , la fuerza de Coriolis y la resistencia turbulenta . Fue descrita por primera vez por Vagn Walfrid Ekman . Las capas de Ekman se encuentran tanto en la atmósfera como en el océano.

Existen dos tipos de capas de Ekman. El primer tipo se encuentra en la superficie del océano y es impulsado por los vientos superficiales, que actúan como un arrastre sobre la superficie del océano. El segundo tipo se encuentra en la parte inferior de la atmósfera y del océano, donde las fuerzas de fricción están asociadas con el flujo sobre superficies rugosas.

Historia

Ekman desarrolló la teoría de la capa de Ekman después de que Fridtjof Nansen observara que el hielo se desplaza en un ángulo de 20°–40° a la derecha de la dirección predominante del viento durante una expedición al Ártico a bordo del Fram . Nansen le pidió a su colega, Vilhelm Bjerknes, que le pidiera a uno de sus estudiantes que estudiara el problema. Bjerknes eligió a Ekman, quien presentó sus resultados en 1902 como su tesis doctoral . ^[1]

Formulación matemática

La formulación matemática de la capa de Ekman comienza asumiendo un fluido estratificado neutral, un equilibrio entre las fuerzas del gradiente de presión, Coriolis y el arrastre turbulento.

${\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}}$

donde y son las velocidades en las direcciones y , respectivamente, es el parámetro de Coriolis local y es la viscosidad difusiva de remolino, que se puede derivar utilizando la teoría de longitud de mezcla . Nótese que es una presión modificada : hemos incorporado la hidrostática de la presión, para tener en cuenta la gravedad. ${\displaystyle \ u}$ ${\displaystyle \ v}$ ${\displaystyle \ x}$ ${\displaystyle \ y}$ ${\displaystyle \ f}$ ${\displaystyle \ K_{m}}$ ${\displaystyle p}$

Existen muchas regiones en las que es teóricamente plausible la existencia de una capa de Ekman; entre ellas, se incluyen la parte inferior de la atmósfera, cerca de la superficie de la Tierra y del océano, el fondo del océano, cerca del lecho marino y la parte superior del océano, cerca de la interfaz aire-agua. Para cada una de estas diferentes situaciones son apropiadas distintas condiciones de contorno . Cada una de estas situaciones puede explicarse mediante las condiciones de contorno aplicadas al sistema resultante de ecuaciones diferenciales ordinarias. A continuación se muestran los casos separados de las capas límite superior e inferior.

Capa de Ekman en la superficie del océano (o libre)

Consideraremos las condiciones límite de la capa de Ekman en el océano superior: ^[2]

${\displaystyle {\text{at }}z=0:\quad A{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau ^{x}\quad {\text{and}}\quad A{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau ^{y},}$

donde y son los componentes de la tensión superficial, , del campo de viento o capa de hielo en la parte superior del océano, y es la viscosidad dinámica. ${\displaystyle \ \tau ^{x}}$ ${\displaystyle \ \tau ^{y}}$ ${\displaystyle \ \tau }$ ${\displaystyle \ A\equiv \rho K_{m}}$

Para la condición de contorno del otro lado, como , donde y son los flujos geostróficos en las direcciones y . ${\displaystyle \ z\to -\infty :u\to u_{g},v\to v_{g}}$ ${\displaystyle \ u_{g}}$ ${\displaystyle \ v_{g}}$ ${\displaystyle \ x}$ ${\displaystyle \ y}$

Solución

Tres vistas de la capa de Ekman impulsada por el viento en la superficie del océano en el hemisferio norte. La velocidad geostrófica es cero en este ejemplo.

Estas ecuaciones diferenciales se pueden resolver para encontrar:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u_{g}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{x}\cos(z/d-\pi /4)-\tau ^{y}\sin(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]v&=v_{g}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{x}\sin(z/d-\pi /4)+\tau ^{y}\cos(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]d&={\sqrt {2K_{m}/|f|}}.\end{aligned}}}$

El valor se denomina profundidad de la capa de Ekman y da una indicación de la profundidad de penetración de la mezcla turbulenta inducida por el viento en el océano. Obsérvese que varía en función de dos parámetros: la difusividad turbulenta y la latitud, tal como se resume en . Para un m /s típico y a una latitud de 45° ( s ), entonces es aproximadamente 45 metros. Esta predicción de la profundidad de Ekman no siempre coincide exactamente con las observaciones. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K_{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K_{m}=0.1}$ ${\displaystyle ^{2}}$ ${\displaystyle f=10^{-4}}$ ${\displaystyle ^{-1}}$ ${\displaystyle d}$

Esta variación de la velocidad horizontal con la profundidad ( ) se conoce como espiral de Ekman , diagramada arriba y a la derecha. ${\displaystyle -z}$

Aplicando la ecuación de continuidad podemos tener la velocidad vertical como sigue

${\displaystyle w={\frac {1}{f\rho _{o}}}\left[-\left({\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau ^{y}}{\partial y}}\right)e^{z/d}\sin(z/d)+\left({\frac {\partial \tau ^{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial y}}\right)(1-e^{z/d}\cos(z/d))\right].}$

Nótese que cuando se integra verticalmente, el transporte de volumen asociado con la espiral de Ekman está a la derecha de la dirección del viento en el hemisferio norte.

Capa de Ekman en el fondo del océano y la atmósfera

El desarrollo tradicional de capas de Ekman limitadas por debajo por una superficie utiliza dos condiciones de contorno:

• Una condición antideslizante en la superficie;
• Las velocidades de Ekman se aproximan a las velocidades geostróficas a medida que tienden al infinito. ${\displaystyle z}$

Observaciones experimentales de la capa de Ekman

Hay mucha dificultad asociada con la observación de la capa de Ekman por dos razones principales: la teoría es demasiado simplista ya que supone una viscosidad de remolino constante, que el propio Ekman anticipó, ^[3] diciendo

Es obvio que no puede considerarse generalmente como una constante cuando la densidad del agua no es uniforme dentro de la región considerada. ${\displaystyle \ \left[\nu \right]}$

y porque es difícil diseñar instrumentos con suficiente sensibilidad para observar el perfil de velocidad en el océano.

Demostraciones de laboratorio

La capa inferior de Ekman se puede observar fácilmente en un tanque cilíndrico giratorio de agua agregando un tinte y modificando ligeramente la velocidad de rotación. ^[4] Las capas superficiales de Ekman también se pueden observar en tanques giratorios. ^[5]

En la atmósfera

En la atmósfera, la solución de Ekman generalmente sobreestima la magnitud del campo de viento horizontal porque no tiene en cuenta la cizalladura de velocidad en la capa superficial . Dividir la capa límite planetaria en la capa superficial y la capa de Ekman generalmente produce resultados más precisos. ^[6]

En el océano

La capa de Ekman, con su característica distintiva, la espiral de Ekman, rara vez se observa en el océano. La capa de Ekman cerca de la superficie del océano se extiende solo unos 10 a 20 metros de profundidad ^[6] , y la instrumentación lo suficientemente sensible como para observar un perfil de velocidad a una profundidad tan baja solo ha estado disponible desde aproximadamente 1980 ^[2]. Además, las olas de viento modifican el flujo cerca de la superficie y dificultan bastante las observaciones cerca de la superficie ^[7] .

Instrumentación

Las observaciones de la capa de Ekman sólo han sido posibles gracias al desarrollo de robustos amarres de superficie y de sensibles medidores de corriente. El propio Ekman desarrolló un medidor de corriente para observar la espiral que lleva su nombre, pero no tuvo éxito. ^[8] El medidor de corriente vectorial ^[9] y el perfilador de corriente Doppler acústico se utilizan para medir la corriente.

Observaciones

Las primeras observaciones documentadas de una espiral similar a la de Ekman en el océano se realizaron en el océano Ártico desde un témpano de hielo a la deriva en 1958. ^[10] Las observaciones más recientes incluyen (no es una lista exhaustiva):

• El experimento de capas mixtas de 1980 ^[11]
• En el Mar de los Sargazos durante el Estudio a Largo Plazo de la Capa Superior del Océano de 1982 ^[12]
• Dentro de la Corriente de California durante el experimento de la Corriente del Límite Oriental de 1993 ^[13]
• Dentro de la región del Pasaje de Drake del Océano Austral ^[14]
• En el Pacífico tropical oriental, a 2°N, 140°O, utilizando 5 medidores de corriente entre 5 y 25 metros de profundidad. ^[15] Este estudio observó que la cizalladura geostrófica asociada con las ondas de estabilidad tropicales modificó la espiral de Ekman en relación con lo que se espera con una densidad horizontalmente uniforme.
• Al norte de la meseta de Kerguelen durante el experimento SOFINE de 2008 ^[16]

En varias de estas observaciones se encontró que las espirales estaban "comprimidas", mostrando estimaciones más grandes de la viscosidad de remolino al considerar la tasa de rotación con la profundidad que la viscosidad de remolino derivada de considerar la tasa de disminución de la velocidad. ^{[12] [13] [14] [16]}

Véase también

• Portal de los océanos

• Número de Ekman  : relación adimensional entre las fuerzas viscosas y las fuerzas de Coriolis
• Espiral de Ekman  : perfil de velocidad de la corriente impulsada por el viento en función de la profundidad
• Transporte de Ekman  : transporte neto de agua superficial perpendicular a la dirección del viento
• Velocidad de Ekman  : fórmula para la velocidad de la corriente de agua inducida por el viento
• Paradoja de la hoja de té  : fenómeno de dinámica de fluidos
• Capa de Stewartson  : capa de cizallamiento que conecta regiones que rotan de manera diferencial
• Vagn Walfrid Ekman  - oceanógrafo sueco (1874-1954)

Referencias

1. Cushman-Roisin, Benoit (1994). "Capítulo 5: La capa de Ekman". Introducción a la dinámica de fluidos geofísicos (1.ª ed.). Prentice Hall. págs. 76-77. ISBN 978-0-13-353301-9.
2. Vallis, Geoffrey K. (2006). "Capítulo 2: Efectos de la rotación y la estratificación". Dinámica de fluidos atmosféricos y oceánicos (1.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pp. 112-113. ISBN 978-0-521-84969-2.
3. Ekman, VW (1905). "Sobre la influencia de la rotación de la Tierra en las corrientes oceánicas". Ark. Mat. Astron. Fys . 2 (11): 1–52.
4. [1] Archivado el 22 de octubre de 2013 en Wayback Machine.
5. [2]
6. Holton, James R. (2004). "Capítulo 5 – La capa límite planetaria". Meteorología dinámica . Serie de geofísica internacional. Vol. 88 (4.ª ed.). Burlington, MA: Elsevier Academic Press. págs. 129-130. ISBN 978-0-12-354015-7.
7. Santala, MJ; Terray, EA (1992). "Una técnica para realizar estimaciones no sesgadas de la cizalladura de la corriente a partir de un seguidor de olas". Investigación en aguas profundas . 39 (3–4): 607–622. Código Bibliográfico :1992DSRA...39..607S. doi :10.1016/0198-0149(92)90091-7.
8. Rudnick, Daniel (2003). "Observaciones de transferencia de momento en la capa superior del océano: ¿Ekman lo entendió bien?". Procesos cercanos al límite y su parametrización . Manoa, Hawái: Facultad de Ciencias y Tecnología Oceánicas y Terrestres.
9. Weller, RA; Davis, RE (1980). "Un medidor de corriente de medición vectorial". Investigación en aguas profundas . 27 (7): 565–582. Código Bibliográfico :1980DSRA...27..565W. doi :10.1016/0198-0149(80)90041-2.
10. Hunkins, K. (1966). "Corrientes de deriva de Ekman en el océano Ártico". Investigación en aguas profundas . 13 (4): 607–620. Código Bibliográfico :1966DSRA...13..607H. doi :10.1016/0011-7471(66)90592-4.
11. Davis, RE; de Szoeke, R.; Niiler., P. (1981). "Parte II: Modelado de la respuesta de la capa mixta". Investigación en aguas profundas . 28 (12): 1453–1475. Código Bibliográfico :1981DSRA...28.1453D. doi :10.1016/0198-0149(81)90092-3.
12. Price, JF; Weller, RA; Schudlich, RR (1987). "Corrientes oceánicas impulsadas por el viento y transporte de Ekman". Science . 238 (4833): 1534–1538. Bibcode :1987Sci...238.1534P. doi :10.1126/science.238.4833.1534. PMID  17784291. S2CID  45511024.
13. Chereskin, TK (1995). "Evidencia directa de un equilibrio de Ekman en la corriente de California". Revista de investigación geofísica . 100 (C9): 18261–18269. Código Bibliográfico :1995JGR...10018261C. doi :10.1029/95JC02182.
14. Lenn, Y; Chereskin, TK (2009). "Observación de las corrientes de Ekman en el océano Austral". Journal of Physical Oceanography . 39 (3): 768–779. Bibcode :2009JPO....39..768L. doi : 10.1175/2008jpo3943.1 . S2CID  129107187.
15. Cronin, MF; Kessler, WS (2009). "Flujo de cizallamiento cercano a la superficie en el frente de lengua fría del Pacífico tropical". Journal of Physical Oceanography . 39 (5): 1200–1215. Bibcode :2009JPO....39.1200C. CiteSeerX 10.1.1.517.8028 . doi :10.1175/2008JPO4064.1. 
16. Roach, CJ; Phillips, HE; ​​Bindoff, NL; Rintoul, SR (2015). "Detección y caracterización de las corrientes de Ekman en el océano Austral". Journal of Physical Oceanography . 45 (5): 1205–1223. Bibcode :2015JPO....45.1205R. doi : 10.1175/JPO-D-14-0115.1 .

Enlaces externos

• Demostración de laboratorio de la capa inferior de Ekman Archivado el 22 de octubre de 2013 en Wayback Machine.
• Demostración de laboratorio de la capa de superficie de Ekman