Teorema sobre la convergencia uniforme
En la teoría de la medida , un área de las matemáticas , el teorema de Egorov establece una condición para la convergencia uniforme de una secuencia convergente puntual de funciones mensurables . También se lo denomina teorema de Severini-Egoroff o teorema de Severini-Egorov , en honor a Carlo Severini , un matemático italiano , y Dmitri Egorov , un físico y geómetra ruso , quienes publicaron demostraciones independientes en 1910 y 1911 respectivamente.
El teorema de Egorov se puede utilizar junto con funciones continuas con soporte compacto para demostrar el teorema de Lusin para funciones integrables .
Nota histórica
La primera demostración del teorema fue dada por Carlo Severini en 1910: [1] [2] utilizó el resultado como una herramienta en su investigación sobre series de funciones ortogonales . Su trabajo aparentemente pasó desapercibido fuera de Italia , probablemente debido al hecho de que está escrito en italiano , apareció en una revista científica con difusión limitada y fue considerado solo como un medio para obtener otros teoremas. Un año después, Dmitri Egorov publicó sus resultados demostrados de forma independiente, [3] y el teorema se hizo ampliamente conocido bajo su nombre: sin embargo, no es raro encontrar referencias a este teorema como el teorema de Severini-Egoroff. Los primeros matemáticos en demostrar independientemente el teorema en el entorno del espacio de medida abstracto común hoy en día fueron Frigyes Riesz (1922, 1928), y Wacław Sierpiński (1928): [4] una generalización anterior se debe a Nikolai Luzin , quien logró relajar ligeramente el requisito de finitud de medida del dominio de convergencia de las funciones convergentes puntuales en el amplio artículo [ se necesita más explicación ] (Luzin 1916). [5] Mucho más tarde, Pavel Korovkin dio otras generalizaciones en el artículo (Korovkin 1947), y Gabriel Mokobodzki en el artículo (Mokobodzki 1970).
Declaración formal y prueba
Declaración
Sea ( f n ) una secuencia de funciones medibles de valor M , donde M es un espacio métrico separable, en algún espacio de medida ( X ,Σ,μ), y supongamos que existe un subconjunto medible A ⊆ X , con μ-medida finita, tal que ( f n ) converge μ- casi en todas partes en A a una función límite f . Se cumple el siguiente resultado: para cada ε > 0, existe un subconjunto medible B de A tal que μ( B ) < ε, y ( f n ) converge a f uniformemente en A \ B .
Aquí, μ( B ) denota la μ-medida de B . En palabras, el teorema dice que la convergencia puntual casi en todas partes en A implica la convergencia uniforme aparentemente mucho más fuerte en todas partes excepto en algún subconjunto B de medida arbitrariamente pequeña. Este tipo de convergencia también se llama convergencia casi uniforme .
Discusión de supuestos y un contraejemplo
- La hipótesis μ( A ) < ∞ es necesaria. Para ver esto, es sencillo construir un contraejemplo cuando μ es la medida de Lebesgue : considere la secuencia de funciones indicadoras de valor real definidas en la línea real . Esta secuencia converge puntualmente a la función cero en todas partes pero no converge uniformemente en para cualquier conjunto B de medida finita: un contraejemplo en el espacio vectorial real general -dimensional puede construirse como lo muestra Cafiero (1959, p. 302).
- La separabilidad del espacio métrico es necesaria para garantizar que, para funciones mensurables de valor M f y g , la distancia d ( f ( x ), g ( x )) sea nuevamente una función medible de valor real de x .
Prueba
Solución . Para los números naturales n y k , definamos el conjunto E n,k mediante la unión
Estos conjuntos se hacen más pequeños a medida que n aumenta, lo que significa que E n +1, k es siempre un subconjunto de E n,k , porque la primera unión involucra menos conjuntos. Un punto x , para el cual la secuencia ( f m ( x )) converge a f ( x ), no puede estar en cada E n,k para un k fijo , porque f m ( x ) tiene que permanecer más cerca de f ( x ) que 1/ k eventualmente. Por lo tanto, por el supuesto de μ-casi en todas partes convergencia puntual en A ,
para cada k . Como A es de medida finita, tenemos continuidad desde arriba ; por lo tanto, existe, para cada k , algún número natural n k tal que
Para x en este conjunto , consideramos que la velocidad de aproximación a la vecindad 1/ k de f ( x ) es demasiado lenta. Definir
como el conjunto de todos aquellos puntos x en A , para los cuales la velocidad de aproximación a al menos uno de estos 1/ k -vecindarios de f ( x ) es demasiado lenta. En la diferencia de conjuntos tenemos, por lo tanto, convergencia uniforme. Explícitamente, para cualquier , sea , entonces para cualquier , tenemos en todos los .
Apelando a la aditividad sigma de μ y utilizando la serie geométrica , obtenemos
Generalizaciones
La versión de Luzin
Se presenta aquí la generalización de Nikolai Luzin del teorema de Severini-Egorov según Saks (1937, p. 19).
Declaración
Bajo la misma hipótesis del teorema abstracto de Severini-Egorov, supongamos que A es la unión de una secuencia de conjuntos medibles de medida μ finita, y ( f n ) es una secuencia dada de funciones medibles de valor M en algún espacio de medida ( X ,Σ,μ), tal que ( f n ) converge μ- casi en todas partes en A a una función límite f , entonces A puede expresarse como la unión de una secuencia de conjuntos medibles H , A 1 , A 2 ,... tales que μ( H ) = 0 y ( f n ) converge a f uniformemente en cada conjunto A k .
Prueba
Es suficiente considerar el caso en el que el conjunto A es en sí mismo de medida μ finita: utilizando esta hipótesis y el teorema estándar de Severini-Egorov, es posible definir por inducción matemática una secuencia de conjuntos { A k } k=1,2,... tales que
y tal que ( f n ) converge a f uniformemente en cada conjunto A k para cada k . Eligiendo
entonces obviamente μ( H ) = 0 y el teorema queda demostrado.
La versión de Korovkin
La prueba de la versión de Korovkin sigue de cerca la versión de Kharazishvili (2000, pp. 183-184), que sin embargo la generaliza hasta cierto punto al considerar funcionales admisibles en lugar de medidas y desigualdades no negativas y respectivamente en las condiciones 1 y 2.
Declaración
Sea ( M , d ) un espacio métrico separable y ( X , Σ ) un espacio medible : considérese un conjunto medible A y una clase que contiene A y sus subconjuntos mesurables tales que sus numerables en uniones e intersecciones pertenecen a la misma clase. Supóngase que existe una medida no negativa μ tal que μ( A ) existe y
- si con para todo n
- si con .
Si ( f n ) es una secuencia de funciones mensurables de valor M que convergen μ- casi en todas partes hacia una función límite f , entonces existe un subconjunto A′ de A tal que 0 < μ( A ) − μ( A′ ) < ε y donde la convergencia también es uniforme.
Prueba
Considérese la familia indexada de conjuntos cuyo conjunto índice es el conjunto de números naturales definidos de la siguiente manera:
Obviamente
y
por lo tanto existe un número natural m 0 tal que poniendo A 0,m 0 = A 0 se cumple la siguiente relación:
Utilizando A 0 es posible definir la siguiente familia indexada
satisfaciendo las dos relaciones siguientes, análogas a las encontradas anteriormente, es decir
y
Este hecho nos permite definir el conjunto A 1,m 1 = A 1 , donde m 1 es un número natural seguramente existente tal que
Al iterar la construcción mostrada, se define otra familia indexada del conjunto { A n } tal que tiene las siguientes propiedades:
- a pesar de
- para cada uno existe k m tal que para todos entonces para todos
y finalmente poniendo
La tesis se demuestra fácilmente.
Notas
- ^ Publicado en (Severini 1910).
- ↑ Según Straneo (1952, p. 101), Severini, aunque reconocía su propia prioridad en la publicación del resultado, no estaba dispuesto a revelarlo públicamente: fue Leonida Tonelli quien, en la nota (Tonelli 1924), le atribuyó la prioridad por primera vez.
- ^ En la nota (Egoroff 1911)
- ^ Según Cafiero (1959, p. 315) y Saks (1937, p. 17).
- ^ Según Saks (1937, pág. 19).
Referencias
Referencias históricas
- Egoroff, D. Th. (1911), "Sur les suites des fonctions mesurables" [Sobre secuencias de funciones mensurables], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés), 152 : 244–246, JFM 42.0423.01, disponible en Gallica .
- Riesz, F. (1922), "Sur le théorème de M. Egoroff et sur les opérations fonctionnelles linéaires" [Sobre el teorema de Egorov y las operaciones funcionales lineales], Acta Litt. AC Sient. Univ. Colgado. Francisco-Josephinae, Sec. Ciencia. Matemáticas. (Szeged) (en francés), 1 (1): 18–26, JFM 48.1202.01.
- Riesz, F. (1928), "Elementarer Beweis des Egoroffschen Satzes" [Prueba elemental del teorema de Egorov], Monatshefte für Mathematik und Physik (en alemán), 35 (1): 243–248, doi :10.1007/BF01707444, JFM 54.0271 .04, S2CID 121337393.
- Severini, C. (1910), "Sulle Successioni di funzioni ortogonali" [Sobre secuencias de funciones ortogonales], Atti dell'Accademia Gioenia , serie 5a (en italiano), 3 (5): Memoria XIII, 1−7, JFM 41.0475 .04. Publicado por la Accademia Gioenia de Catania .
- Sierpiński, W. (1928), "Remarque sur le théorème de M. Egoroff" [Observaciones sobre el teorema de Egorov], Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie (en francés), 21 : 84–87, JFM 57.1391.03.
- Straneo, Paolo (1952), "Carlo Severini", Bollettino della Unione Matematica Italiana , Serie 3 (en italiano), 7 (3): 98–101, SEÑOR 0050531, disponible en la Biblioteca Digitale Italiana di Matematica. El obituario de Carlo Severini.
- Tonelli, Leonida (1924), "Su una proposizione fondamentale dell'analisi" [Una proposición fundamental de análisis], Bollettino della Unione Matematica Italiana , Serie 2 (en italiano), 3 : 103–104, JFM 50.0192.01Una breve nota en la que Leonida Tonelli atribuye a Severini la primera demostración del teorema de Severini-Egorov.
Referencias científicas
- Beals, Richard (2004), Análisis: una introducción, Cambridge : Cambridge University Press , pp. x+261, ISBN 0-521-60047-2, MR 2098699, Zbl 1067.26001
- Cafiero, Federico (1959), Misura e integrazione [ Medida e integración ], Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (en italiano), vol. 5, Roma : Edizioni Cremonese, págs. VII+451, MR 0215954, Zbl 0171.01503. Una monografía definitiva sobre la integración y la teoría de la medida: el tratamiento del comportamiento límite de la integral de varios tipos de secuencias de estructuras relacionadas con la medida (funciones medibles, conjuntos medibles , medidas y sus combinaciones) es algo concluyente.
- Kharazishvili, AB (2000), Funciones extrañas en el análisis real, Matemáticas puras y aplicadas: una serie de monografías y libros de texto, vol. 229 (1.ª ed.), Nueva York: Marcel Dekker , pp. viii+297, ISBN 0-8247-0320-0, MR 1748782, Zbl 0942.26001. Contiene una sección denominada Teoremas de tipo Egorov , donde se da el teorema básico de Severini-Egorov en una forma que generaliza ligeramente el de Korovkin (1947).
- Korovkin, PP (1947), "Generalización de un teorema de DF Egorov", Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 58 : 1265–1267, MR 0023322, Zbl 0038.03803
- Luzin, N. (1916), "Интегралъ и тригонометрическій рядъ" [Series integrales y trigonométricas], Matematicheskii Sbornik (en ruso), 30 (1): 1–242, JFM 48.1368.01
- Mokobodzki, Gabriel (22 de junio de 1970), "Noyaux absolument mesurables et opérateurs nucléaires" [Núcleos y operadores nucleares absolutamente mensurables], Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (en francés), 270 : 1673–1675, MR 0270182 , Zbl 0211.44803
- Picone, Mauro ; Viola, Tullio (1952), Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione [ Conferencias sobre la teoría moderna de la integración ], Manuali Einaudi. Serie di matematica (en italiano), Torino : Edizioni Scientifiche Einaudi , p. 404, señor 0049983, Zbl 0046.28102, revisado por Cimmino, Gianfranco (1952), "M. Picone – T. Viola, Lezioni sulla teoria Moderna dell'Integrazione", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie 3 (en italiano), 7 (4): 452–454y por Halmos, Paul R. (enero de 1953), "Review: M. Picone and T. Viola, Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione", Bulletin of the American Mathematical Society , 59 (1): 94, doi : 10.1090/ S0002-9904-1953-09666-5.
- Saks, Stanisław (1937), Teoría de la integral, Monografie Matematyczne, vol. 7, traducido por Young, LC , con dos notas adicionales de Stefan Banach (2ª ed.), Varsovia - Lwów : GE Stechert & Co., págs. VI+347, JFM 63.0183.05, Zbl 0017.30004(disponible en la Biblioteca Virtual de Ciencias de Polonia).
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