Espiral de Ekman

Perfil de velocidad de la corriente impulsada por el viento en función de la profundidad

La espiral de Ekman se produce como consecuencia del efecto Coriolis.

La espiral de Ekman es una disposición de las corrientes oceánicas: las direcciones de la corriente horizontal parecen torcerse a medida que cambia la profundidad. ^[1] La espiral de Ekman impulsada por el viento oceánico es el resultado de un equilibrio de fuerzas creado por una fuerza de esfuerzo cortante , la fuerza de Coriolis y el arrastre del agua. Este equilibrio de fuerzas da como resultado una corriente de agua diferente de los vientos. En el océano, hay dos lugares donde se puede observar la espiral de Ekman. En la superficie del océano, la fuerza de esfuerzo cortante se corresponde con la fuerza de esfuerzo del viento . En el fondo del océano, la fuerza de esfuerzo cortante se crea por la fricción con el fondo del océano. Este fenómeno fue observado por primera vez en la superficie por el oceanógrafo noruego Fridtjof Nansen durante su expedición Fram . Observó que los icebergs no se desplazaban en la misma dirección que el viento. Su alumno, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman , fue la primera persona en explicar físicamente este proceso. ^[2]

Espiral de Ekman inferior

Dos figuras que muestran la espiral de Ekman inferior. La figura de la izquierda es la espiral de Ekman en 3D y la de la derecha, en 2D.

Para derivar las propiedades de una espiral de Ekman, se observa un flujo interior geostrófico uniforme y horizontal en un fluido homogéneo. Este flujo se denotará por , donde los dos componentes son constantes debido a la uniformidad. Otro resultado de esta propiedad es que los gradientes horizontales serán iguales a cero. Como resultado, la ecuación de continuidad dará como resultado, . Nótese que el flujo interior en cuestión es horizontal, por lo que a todas las profundidades, incluso en las capas límite. En este caso, las ecuaciones de momento de Navier-Stokes , que rigen el movimiento geofísico, ahora se pueden reducir a: ^[3] ${\displaystyle {\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=0}$ ${\displaystyle w=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}}$

Donde es el parámetro de Coriolis , la densidad del fluido y la viscosidad de remolino , que se toman todos como constantes aquí para simplificar. Estos parámetros tienen una pequeña variación en la escala de una espiral de Ekman, por lo que esta aproximación se mantendrá. Un flujo uniforme requiere un gradiente de presión que varíe uniformemente . Al sustituir los componentes de flujo del flujo interior, y , en las ecuaciones anteriores, se obtiene lo siguiente: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{E}}$ ${\displaystyle u={\bar {u}}}$ ${\displaystyle v={\bar {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-f{\bar {v}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}={\text{constant}}\\[5pt]f{\bar {u}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}={\text{constant}}\end{aligned}}}$

Usando la última de las tres ecuaciones en la parte superior de esta sección, obtenemos que la presión es independiente de la profundidad.

${\displaystyle {\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle u={\bar {u}}+Ae^{\lambda z}}$y bastará como solución a las ecuaciones diferenciales anteriores. Tras la sustitución de estas posibles soluciones en las mismas ecuaciones, se obtendrá . Ahora, tiene los siguientes resultados posibles: ${\displaystyle v={\bar {v}}+Be^{\lambda z}}$ ${\displaystyle \nu _{E}^{2}\lambda ^{4}+f^{2}=0}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda =\pm (1\pm i){\sqrt {\frac {f}{2\nu _{E}}}}}$

Debido a la condición de no deslizamiento en la parte inferior y al flujo interior constante para , se pueden determinar los coeficientes y . Al final, esto conducirá a la siguiente solución para : ^[3] ${\displaystyle z\gg d}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\vec {u}}(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\bar {u}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right]-{\bar {v}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right),\\[5pt]v&={\bar {u}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right)+{\bar {v}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right],\end{aligned}}}$

Aquí, . Nótese que el vector de velocidad se acercará a los valores del flujo interior, cuando el tome el orden de . Esta es la razón por la que se define como el espesor de la capa de Ekman. De esta solución se desprenderán varias propiedades importantes de la espiral de Ekman: ${\displaystyle d={\sqrt {\frac {2\nu _{E}}{f}}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

• Cuando , parece que el flujo tiene un componente transversal con respecto al flujo interior, que difiere 45 grados hacia la izquierda en el hemisferio norte , y 45 grados hacia la derecha en el hemisferio sur , . Nótese que, en este caso, el ángulo entre este flujo y el flujo interior es máximo. Disminuirá a medida que aumenta . ${\displaystyle z\rightarrow {0}}$ ${\displaystyle f>0}$ ${\displaystyle f<0}$ ${\displaystyle z}$
• Cuando toma el valor de , el flujo resultante está en línea con el flujo interior, pero se incrementará con , con respecto al flujo interior. ${\displaystyle {\frac {z}{d}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e^{-\pi }}$
• Para valores más altos de , habrá un componente transversal mínimo en la otra dirección como antes. El término exponencial irá a cero para , lo que dará como resultado . Debido a estas propiedades, el vector de velocidad del flujo en función de la profundidad se verá como una espiral. ${\displaystyle {\frac {z}{d}}}$ ${\displaystyle z\gg d}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})}$

Espiral de Ekman de superficie

Dos figuras que muestran la espiral de Ekman inferior. La figura de la izquierda es la espiral de Ekman en 3D y la de la derecha, en 2D.

La solución para el flujo que forma la espiral de Ekman inferior fue el resultado de la tensión de corte ejercida sobre el flujo por la parte inferior. Lógicamente, siempre que se pueda ejercer una tensión de corte sobre un flujo, se formarán espirales de Ekman. Este es el caso en la interfaz aire-agua, debido al viento. Se considera una situación en la que se ejerce una tensión de viento a lo largo de una superficie de agua con un flujo interior debajo. Nuevamente, el flujo es uniforme, tiene un interior geostrófico y es un fluido homogéneo. Las ecuaciones de movimiento para un flujo geostrófico, que son las mismas que las establecidas en la sección de la espiral inferior, se pueden reducir a: ^[3] ${\displaystyle {\vec {\tau }}=(\tau _{x},\tau _{y})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u,v)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Las condiciones de contorno para este caso son las siguientes:

• Superficie : y ${\displaystyle (z=0)}$ ${\displaystyle \;\;\;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau _{x}\;}$ ${\displaystyle \;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau _{y}}$
• Hacia el interior : y ${\displaystyle (z\rightarrow {-\infty })}$ ${\displaystyle \;\;\;u={\bar {u}}\;}$ ${\displaystyle \;v={\bar {v}}}$

Con estas condiciones se puede determinar la solución: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\bar {u}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)-\tau _{y}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\\[5pt]v&={\bar {v}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+\tau _{y}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\end{aligned}}}$

En el caso de la espiral de Ekman inferior, se observan algunas diferencias. La desviación del flujo interior depende exclusivamente de la tensión del viento y no del flujo interior. En cambio, en el caso de la espiral de Ekman inferior, la desviación está determinada por el flujo interior. El componente del flujo impulsado por el viento es inversamente proporcional al espesor de la capa de Ekman . Por tanto, si el espesor de la capa es pequeño, por ejemplo debido a una baja viscosidad del fluido, este componente puede ser muy grande. Por último, el flujo en la superficie es de 45 grados a la derecha en el hemisferio norte y de 45 grados a la izquierda en el hemisferio sur con respecto a la dirección del viento. En el caso de la espiral de Ekman inferior, es al revés. ${\displaystyle d}$

Observaciones

Las ecuaciones y suposiciones anteriores no son representativas de las observaciones reales de la espiral de Ekman. Las diferencias entre la teoría y las observaciones son que el ángulo está entre 5 y 20 grados en lugar de los 45 grados esperados ^[4] y que la profundidad de la capa de Ekman y, por lo tanto, la espiral de Ekman es menos profunda de lo esperado. Hay tres factores principales que contribuyen a que esto sea así: la estratificación , ^[5] la turbulencia y los gradientes horizontales. ^[3] Otros factores menos importantes que juegan un papel en esto son la deriva de Stokes , ^[6] las ondas y la fuerza de Stokes-Coriolis . ^[7]

Véase también

• Vagn Walfrid Ekman  - oceanógrafo sueco (1874-1954)

Referencias

1. Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Administración Nacional Oceánica y Atmosférica. "La espiral de Ekman - Corrientes: Educación del Servicio Oceanográfico Nacional de la NOAA". oceanservice.noaa.gov . Consultado el 7 de febrero de 2024 .
2. Ekman, VW 1905. Sobre la influencia de la rotación de la Tierra en las corrientes oceánicas. Arch. Math. Astron. Phys., 2, 1-52. [1]
3. Cushman-Roisin, Benoit; Beckers, Jean-Marie (2009). Introducción a la dinámica de fluidos geofísicos (PDF) . PRENSA ACADÉMICA.
4. Stacey, MW, S. Pond y PH LeBlond, 1986: Una espiral de Ekman forzada por el viento como un buen ajuste estadístico a las corrientes de baja frecuencia en el estrecho costero. Science, 233, 470–472
5. Price, JF y MA Sundermeyer, 1999: Capas estratificadas de Ekman. J. Geophys. Res., 104, 20467–20494.
6. van den Bremer TS, BreivikØ. 2017 Deriva de Stokes.Phil.Trans.R.Soc.A376:20170104.http://dx.doi.org/10.1098/rsta.2017.0104
7. Jeff A. Polton, David M. Lewis y Stephen E. Belcher, 1 de abril de 2005: El papel de la fuerza de Coriolis-Stokes inducida por las olas en la capa mixta impulsada por el viento. Journal of Physical Oceanography, volumen 35: número 4, 444–457