Teorema del borde de la cuña

Teorema de continuaciones analíticas

En matemáticas , el teorema del borde de la cuña de Bogoliubov implica que las funciones holomorfas en dos "cuñas" con un "borde" en común son continuaciones analíticas entre sí siempre que ambas den la misma función continua en el borde. Se utiliza en la teoría cuántica de campos para construir la continuación analítica de las funciones de Wightman . La formulación y la primera prueba del teorema fueron presentadas ^{[1] [2]} por Nikolay Bogoliubov en la Conferencia Internacional de Física Teórica, Seattle, EE. UU. (septiembre de 1956) y también publicadas en el libro Problemas en la teoría de las relaciones de dispersión . ^[3] Res Jost y Harry Lehmann (1957), ^[4] Freeman Dyson (1958), H. Epstein (1960) y otros investigadores dieron más pruebas y generalizaciones del teorema .

El caso unidimensional

Valores límite continuos

En una dimensión, un caso simple del teorema del borde de la cuña se puede enunciar de la siguiente manera.

• Supongamos que f es una función compleja continua en el plano complejo que es holomorfa en el semiplano superior y en el semiplano inferior . Entonces es holomorfa en todas partes.

En este ejemplo, las dos cuñas son el semiplano superior y el semiplano inferior, y su arista común es el eje real . Este resultado se puede demostrar a partir del teorema de Morera . En efecto, una función es holomorfa siempre que su integral alrededor de cualquier contorno se anule; un contorno que cruza el eje real se puede descomponer en contornos en los semiplanos superior e inferior y la integral alrededor de estos se anula por hipótesis. ^{[5] [6]}

Valores límite de distribución en un círculo

El caso más general se expresa en términos de distribuciones. ^{[7] [8]} Esto es técnicamente más simple en el caso donde el límite común es el círculo unitario en el plano complejo. En ese caso, las funciones holomorfas f , g en las regiones y tienen expansiones de Laurent ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle r<|z|<1}$ ${\displaystyle 1<|z|<R}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n},\,\,\,\,g(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}z^{n}}$

absolutamente convergentes en las mismas regiones y tienen valores límite de distribución dados por la serie formal de Fourier

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\theta },\,\,\,\,g(\theta )=\sum _{-\infty }^{\infty }b_{n}e^{in\theta }.}$

Sus valores de frontera distribucionales son iguales si para todo n . Es entonces elemental que la serie de Laurent común converge absolutamente en toda la región . ${\displaystyle a_{n}=b_{n}}$ ${\displaystyle r<|z|<R}$

Valores límite de distribución en un intervalo

En general, dado un intervalo abierto en el eje real y funciones holomorfas definidas en y que satisfacen ${\displaystyle I=(a,b)}$ ${\displaystyle f_{+},\,\,\ f_{-}}$ ${\displaystyle (a,b)\times (0,R)}$ ${\displaystyle (a,b)\times (-R,0)}$

${\displaystyle |f_{\pm }(x+iy)|<C|y|^{-N}}$

Para algún entero no negativo N , los valores límite de se pueden definir como distribuciones en el eje real mediante las fórmulas ^{[9] [8]} ${\displaystyle T_{\pm }}$ ${\displaystyle f_{\pm }}$

${\displaystyle \langle T_{\pm },\varphi \rangle =\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int f(x\pm i\varepsilon )\varphi (x)\,dx.}$

La existencia puede demostrarse observando que, bajo la hipótesis, es la derivada compleja -ésima de una función holomorfa que se extiende a una función continua en la frontera. Si f se define como por encima y por debajo del eje real y F es la distribución definida en el rectángulo por la fórmula ${\displaystyle f_{\pm }(z)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle f_{\pm }}$ ${\displaystyle (a,b)\times (-R,R)}$

${\displaystyle \langle F,\varphi \rangle =\iint f(x+iy)\varphi (x,y)\,dx\,dy,}$

entonces F es igual fuera del eje real y la distribución es inducida por la distribución en el eje real. ${\displaystyle f_{\pm }}$ ${\displaystyle F_{\overline {z}}}$ ${\textstyle {1 \over 2}(T_{+}-T_{-})}$

En particular, si se aplican las hipótesis del teorema del borde de la cuña, es decir , entonces ${\displaystyle T_{+}=T_{-}}$

${\displaystyle F_{\overline {z}}=0.}$

Por regularidad elíptica se deduce entonces que la función F es holomorfa en . ${\displaystyle (a,b)\times (-R,R)}$

En este caso, la regularidad elíptica se puede deducir directamente del hecho de que se sabe que proporciona una solución fundamental para el operador de Cauchy-Riemann . ^[10] ${\displaystyle (\pi z)^{-1}}$ ${\displaystyle \partial /\partial {\overline {z}}}$

Utilizando la transformada de Cayley entre el círculo y la línea real, este argumento puede reformularse de forma estándar en términos de series de Fourier y espacios de Sobolev en el círculo. De hecho, sean y funciones holomorfas definidas exteriores e interiores a algún arco en el círculo unitario de modo que localmente tengan límites radiales en algún espacio de Sobolev, Entonces, dejando ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle D=z{\partial \over \partial z},}$

Las ecuaciones

${\displaystyle D^{k}F=f,\,\,\,D^{k}G=g}$

se puede resolver localmente de tal manera que los límites radiales de G y F tiendan localmente a la misma función en un espacio de Sobolev superior. Para k suficientemente grande, esta convergencia es uniforme por el teorema de incrustación de Sobolev . Por el argumento de las funciones continuas, F y G se parchean para dar una función holomorfa cerca del arco y, por lo tanto, también lo hacen f y g .

El caso general

Una cuña es un producto de un cono con algún conjunto.

Sea un cono abierto en el espacio vectorial real , con vértice en el origen. Sea E un subconjunto abierto de , llamado arista. Escribamos W para la cuña en el espacio vectorial complejo , y escribamos W' para la cuña opuesta . Entonces las dos cuñas W y W' se encuentran en la arista E , donde identificamos E con el producto de E por la punta del cono. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E\times iC}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle E\times -iC}$

• Supongamos que f es una función continua en la unión que es holomorfa en ambas cuñas W y W' . Entonces, el teorema del borde de la cuña dice que f también es holomorfa en E (o más precisamente, se puede extender a una función holomorfa en un entorno de E ). ${\displaystyle W\cup E\cup W'}$

Las condiciones para que el teorema sea verdadero pueden debilitarse. No es necesario suponer que f está definida en la totalidad de las cuñas: basta con suponer que está definida cerca del borde. Tampoco es necesario suponer que f está definida o es continua en el borde: basta con suponer que las funciones definidas en cualquiera de las cuñas tienen los mismos valores de frontera distribucional en el borde.

Aplicación a la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos, las distribuciones de Wightman son valores límite de las funciones de Wightman W ( z ₁ , ...,  z _n ) que dependen de las variables z _i en la complejización del espacio-tiempo de Minkowski. Están definidas y son holomorfas en la cuña donde la parte imaginaria de cada z _i − z _{i −1} se encuentra en el cono temporal positivo abierto. Al permutar las variables obtenemos n ! funciones de Wightman diferentes definidas en n ! cuñas diferentes. Al aplicar el teorema del borde de la cuña (con el borde dado por el conjunto de puntos totalmente espaciales) se puede deducir que las funciones de Wightman son todas continuaciones analíticas de la misma función holomorfa, definida en una región conexa que contiene todas las n ! cuñas. (La igualdad de los valores límite en el borde que necesitamos para aplicar el teorema del borde de la cuña se desprende del axioma de localidad de la teoría cuántica de campos).

Conexión con hiperfunciones

El teorema del borde de la cuña tiene una interpretación natural en el lenguaje de las hiperfunciones . Una hiperfunción es, en líneas generales, una suma de valores límite de funciones holomorfas y también puede considerarse como algo así como una "distribución de orden infinito". El conjunto de frentes de onda analíticos de una hiperfunción en cada punto es un cono en el espacio cotangente de ese punto y puede considerarse como una descripción de las direcciones en las que se mueve la singularidad en ese punto.

En el teorema del borde de la cuña, tenemos una distribución (o hiperfunción) f en el borde, dada como los valores de contorno de dos funciones holomorfas en las dos cuñas. Si una hiperfunción es el valor de contorno de una función holomorfa en una cuña, entonces su conjunto de frentes de onda analíticos se encuentra en el dual del cono correspondiente. Por lo tanto, el conjunto de frentes de onda analíticos de f se encuentra en los duales de dos conos opuestos. Pero la intersección de estos duales está vacía, por lo que el conjunto de frentes de onda analíticos de f está vacío, lo que implica que f es analítica. Este es el teorema del borde de la cuña.

En la teoría de las hiperfunciones existe una extensión del teorema del borde de la cuña al caso en que hay varias cuñas en lugar de dos, llamada teorema del borde de la cuña de Martineau . Véase el libro de Hörmander para más detalles.

Notas

1. Vladimirov, VS (1966), Métodos de la teoría de funciones de muchas variables complejas , Cambridge, Mass.: MIT Press
2. VS Vladimirov , VV Zharinov, AG Sergeev (1994). "Teorema del “borde de la cuña” de Bogolyubov, su desarrollo y aplicaciones", Russian Math. Surveys , 49 (5): 51—65.
3. Bogoliubov, NN ; Medvedev, BV; Polivanov, MK (1958), Problemas en la teoría de las relaciones de dispersión , Princeton: Institute for Advanced Study Press
4. Jost, R.; Lehmann, H. (1957). "Integral-Darstellung kausaler Kommutatoren". Nuevo Cimento . 5 (6): 1598-1610. Código bibliográfico : 1957NCim....5.1598J. doi :10.1007/BF02856049. S2CID  123500326.
5. Rudin 1971
6. Streater y Wightman 2000
7. Hörmander 1990, págs. 63–65, 343–344
8. Berenstein y Gay, 1991, págs. 256-265
9. Hörmander 1990, págs. 63–66
10. Hörmander 1990, págs.63, 81, 110

Referencias

• Berenstein, Carlos A.; Gay, Roger (1991), Variables complejas: una introducción , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 125 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-97349-4

Lectura adicional

• Bogoliubov, NN ; Logunov, AA; Todorov, IT (1975), Introducción a la teoría cuántica axiomática de campos , Mathematical Physics Monograph Series, vol. 18, Reading, Massachusetts : WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-0982-9, Zbl1114.81300 ​.
• Bogoliubov, NN ; Logunov, AA; Oksak, AI; IT, Todorov (1990), Principios generales de la teoría cuántica de campos, Física matemática y matemáticas aplicadas, vol. 10, Dordrecht - Boston - Londres : Kluwer Academic Publishers , ISBN 978-0-7923-0540-8, Zbl0732.46040 ​

La conexión con las hiperfunciones se describe en:

• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2 ed.), Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-52343-9, Zbl0712.35001 ​.
• Rudin, Walter (1971), Lecciones sobre el teorema del borde de la cuña , Serie de conferencias regionales de matemáticas del CMBS, vol. 6, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1655-4, MR  0310288, Zbl  0214.09001

Para la aplicación del teorema del borde de la cuña a la teoría cuántica de campos, véase:

• Streater, RF ; Wightman, AS (2000), PCT, Spin and Statistics, and All That, Princeton Landmarks in Mathematics and Physics (edición de 1978), Princeton, NJ : Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07062-9, Zbl1026.81027 ​

• Vladimirov, V. S. (2001) [1994], "Teorema de Bogolyubov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press