Ecuaciones del movimiento del pistón

El movimiento alternativo de un pistón no desplazado conectado a un cigüeñal giratorio a través de una biela (como se encontraría en los motores de combustión interna ) se puede expresar mediante ecuaciones de movimiento . Este artículo muestra cómo se pueden derivar estas ecuaciones de movimiento utilizando el cálculo como funciones del ángulo ( dominio del ángulo ) y del tiempo ( dominio del tiempo ) .

Geometría del cigüeñal

La geometría del sistema formado por pistón, biela y manivela se representa como se muestra en el siguiente diagrama:

Diagrama que muestra la disposición geométrica del pasador del pistón, el pasador del cigüeñal y el centro del cigüeñal.

Definiciones

A partir de la geometría mostrada en el diagrama anterior, se definen las siguientes variables:

${\displaystyle l}$ Longitud de la varilla (distancia entre el pasador del pistón y el pasador del cigüeñal )

${\displaystyle r}$ Radio del cigüeñal (distancia entre el centro del cigüeñal y el pasador del cigüeñal, es decir, media carrera )

${\displaystyle A}$Ángulo del cigüeñal (desde la línea central del orificio del cilindro en el PMS )

${\displaystyle x}$Posición del pasador del pistón (distancia hacia arriba desde el centro del cigüeñal a lo largo de la línea central del orificio del cilindro)

También se definen las siguientes variables:

${\displaystyle v}$Velocidad del pasador del pistón (hacia arriba desde el centro del cigüeñal a lo largo de la línea central del orificio del cilindro)

${\displaystyle a}$Aceleración del pasador del pistón (hacia arriba desde el centro del cigüeñal a lo largo de la línea central del orificio del cilindro)

${\displaystyle \omega }$Velocidad angular del cigüeñal (en la misma dirección/sentido que el ángulo del cigüeñal ) ${\displaystyle A}$

Velocidad angular

La frecuencia ( Hz ) de rotación del cigüeñal está relacionada con la velocidad del motor ( revoluciones por minuto ) de la siguiente manera:

${\displaystyle \nu ={\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

Entonces la velocidad angular ( radianes /s) del cigüeñal es:

${\displaystyle \omega =2\pi \cdot \nu =2\pi \cdot {\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

Relación triangular

Como se muestra en el diagrama, el muñón del cigüeñal , el centro del cigüeñal y el pasador del pistón forman un triángulo NOP.
Por la ley del coseno se ve que:

${\displaystyle l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A}$

donde y son constantes y varían a medida que cambia. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Ecuaciones con respecto a la posición angular (ángulo dominio)

Las ecuaciones del dominio del ángulo se expresan como funciones del ángulo.

Derivación de ecuaciones del dominio de los ángulos

Las ecuaciones del dominio angular del movimiento alternativo del pistón se derivan de las ecuaciones geométricas del sistema de la siguiente manera.

Posición (geometría)

Posición con respecto al ángulo del cigüeñal (a partir de la relación del triángulo, completando el cuadrado , utilizando la identidad pitagórica y reordenando):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A\\l^{2}-r^{2}=(x-r\cdot \cos A)^{2}-r^{2}\cdot \cos ^{2}A\\l^{2}-r^{2}+r^{2}\cdot \cos ^{2}A=(x-r\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot (1-\cos ^{2}A)=(x-r\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A=(x-r\cdot \cos A)^{2}\\x=r\cdot \cos A+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\\\end{array}}}$

Velocidad

Velocidad con respecto al ángulo del cigüeñal (tome la primera derivada , utilizando la regla de la cadena ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{dA}}\\&=&-r\cdot \sin A+{\frac {({\frac {1}{2}})\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\&=&-r\cdot \sin A-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\\end{array}}}$

Aceleración

Aceleración con respecto al ángulo del cigüeñal (tome la segunda derivada , utilizando la regla de la cadena y la regla del cociente ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \cos ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \left(\cos ^{2}A-\sin ^{2}A\right)}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\cdot \sin ^{2}A\cdot \cos ^{2}A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\\end{array}}}$

Movimiento armónico no simple

Las ecuaciones del dominio angular anteriores muestran que el movimiento del pistón (conectado a la biela y al cigüeñal) no es un movimiento armónico simple , sino que se modifica por el movimiento de la biela a medida que oscila con la rotación del cigüeñal. Esto contrasta con el yugo escocés , que produce directamente un movimiento armónico simple.

Ejemplos de gráficos

A continuación se muestran gráficos de ejemplo de las ecuaciones del dominio del ángulo.

Ecuaciones con respecto al tiempo (dominio del tiempo)

Las ecuaciones del dominio del tiempo se expresan como funciones del tiempo.

Derivadas de la velocidad angular

El ángulo está relacionado con el tiempo mediante la velocidad angular de la siguiente manera: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle A=\omega t\,}$

Si la velocidad angular es constante, entonces: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\omega }$

y:

${\displaystyle {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}=0}$

Derivación de ecuaciones en el dominio del tiempo

Las ecuaciones del dominio del tiempo del movimiento alternativo del pistón se derivan de las ecuaciones del dominio del ángulo de la siguiente manera.

Posición

La posición con respecto al tiempo es simplemente:

${\displaystyle x\,}$

Velocidad

Velocidad con respecto al tiempo (utilizando la regla de la cadena ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v&=&{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot \ \omega \\&=&x'\cdot \omega \\\end{array}}}$

Aceleración

Aceleración con respecto al tiempo (utilizando la regla de la cadena y la regla del producto , y las derivadas de la velocidad angular ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}a&=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}})\cdot {\frac {dA}{dt}}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dA}}({\frac {dx}{dA}})\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot \omega ^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot 0\\&=&x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}}$

Escala para velocidad angular

De lo anterior, se puede ver que las ecuaciones del dominio del tiempo son simplemente formas escaladas de las ecuaciones del dominio del ángulo: no está escalado, está escalado por ω y está escalado por ω² . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x''}$

Para convertir las ecuaciones del dominio del ángulo al dominio del tiempo, primero reemplace A con ωt y luego escale para la velocidad angular de la siguiente manera: multiplique por ω y multiplique por ω² . ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x''}$

Máximos y mínimos de velocidad

Por definición, los máximos y mínimos de velocidad ocurren en los ceros de aceleración (cruces del eje horizontal) .

El ángulo del cigüeñal no es recto

Los máximos y mínimos de velocidad (ver los cruces por cero de aceleración en los gráficos siguientes) dependen de la longitud de la biela y de la mitad de la carrera y no ocurren cuando el ángulo del cigüeñal es recto. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

El ángulo de la biela no es recto

Los máximos y mínimos de velocidad no necesariamente ocurren cuando la manivela forma un ángulo recto con la biela. Existen contraejemplos que refutan la afirmación "los máximos y mínimos de velocidad solo ocurren cuando el ángulo entre la manivela y la biela es recto" .

Ejemplo

Para una longitud de biela de 6" y un radio de manivela de 2" (como se muestra en el gráfico de ejemplo a continuación), al resolver numéricamente los cruces por cero de aceleración, se encuentra que los máximos/mínimos de velocidad están en ángulos de manivela de ±73,17615°. Luego, utilizando la ley triangular de senos , se encuentra que el ángulo vertical de la biela es 18,60647° y el ángulo entre la biela y la biela es 88,21738°. Claramente, en este ejemplo, el ángulo entre la biela y la biela no es un ángulo recto. Sumando los ángulos del triángulo 88,21738° + 18,60647° + 73,17615° se obtiene 180,00000°. Un solo contraejemplo es suficiente para refutar la afirmación "los máximos/mínimos de velocidad ocurren cuando la biela forma un ángulo recto con la biela" .

Ejemplos de gráficos del movimiento del pistón

Gráficas del dominio de los ángulos

Los gráficos a continuación muestran las ecuaciones del dominio del ángulo para una longitud de varilla constante (6,0") y varios valores de media carrera (1,8", 2,0", 2,2"). Observe en los gráficos que L es la longitud de la varilla y R es la media carrera . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$

Las unidades del eje vertical son pulgadas para la posición, [pulgadas/rad] para la velocidad y [pulgadas/rad²] para la aceleración.
Las unidades del eje horizontal son grados del ángulo del cigüeñal .

Animación

A continuación se muestra una animación de las ecuaciones de movimiento del pistón con los mismos valores de longitud de varilla y radio del cigüeñal que en los gráficos anteriores.

Animación del movimiento del pistón con los distintos semirrecorridos del gráfico anterior (usando el mismo código de color)

Unidades de conveniencia

Tenga en cuenta que, para el caso de uso de automóviles / hot rods , la unidad de longitud más conveniente (usada por los entusiastas) para la geometría del pistón-vástago-cigüeñal es la pulgada , con dimensiones típicas de 6" (pulgadas) de longitud de biela y 2" (pulgadas) de radio de cigüeñal. Este artículo utiliza unidades de pulgada (") para posición, velocidad y aceleración, como se muestra en los gráficos anteriores.

Véase también

• Biela
• Cigüeñal
• Ecuaciones de movimiento
• Motor de combustión interna
• Leyes del movimiento de Newton
• Pistón
• Motor alternativo
• Yugo escocés
• Movimiento armónico simple
• Articulación de manivela deslizante

Referencias

• Heywood, John Benjamin (1988). Fundamentos de motores de combustión interna (1.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0070286375.
• Taylor, Charles Fayette (1985). El motor de combustión interna en teoría y práctica, vol. 1 y 2 (2.ª ed.). MIT Press. ISBN 978-0262700269.
• "Conceptos básicos del movimiento del pistón en epi-eng.com".

Enlaces externos

• Motores animados Motor Otto animado
• Desmos Interactive Stroke vs Posición del pistón de la biela y derivadas
• Animación interactiva de la manivela de Desmos
• Velocidad y aceleración del pistón de codecogs
• youtube Motor SBC 350 giratorio
• Animación 3D del motor V8 en Youtube
• Youtube El interior del motor V8