Ecuación vis-viva

Ecuación para modelar el movimiento de cuerpos en órbita

En astrodinámica , la ecuación vis-viva , también conocida como ley de invariancia de energía orbital o fórmula de Burgers ^{[1] [ se necesita una mejor fuente ]} , es una de las ecuaciones que modelan el movimiento de los cuerpos en órbita . Es el resultado directo del principio de conservación de la energía mecánica que se aplica cuando la única fuerza que actúa sobre un objeto es su propio peso, que es la fuerza gravitacional determinada por el producto de la masa del objeto y la fuerza del campo gravitacional circundante .

Vis viva (del latín "fuerza viva") es un término que proviene de la historia de la mecánica y sobrevive únicamente en este contexto. Representa el principio de que la diferencia entre el trabajo total de las fuerzas de aceleración de un sistema y el de las fuerzas de retardo es igual a la mitad de la vis viva acumulada o perdida en el sistema mientras se realiza el trabajo.

Ecuación

Para cualquier órbita kepleriana ( elíptica , parabólica , hiperbólica o radial ), la ecuación vis-viva ^[2] es la siguiente: ^[3] donde: $${\displaystyle v^{2}=GM\left({2 \over r}-{1 \over a}\right)}$$

• v es la velocidad relativa de los dos cuerpos
• r es la distancia entre los centros de masa de los dos cuerpos
• a es la longitud del semieje mayor ( a > 0 para elipses , a = ∞ o 1/ a = 0 para parábolas , y a < 0 para hipérbolas )
• G es la constante gravitacional
• M es la masa del cuerpo central

El producto de GM también se puede expresar como el parámetro gravitacional estándar utilizando la letra griega μ .

Derivación para órbitas elípticas (0 ≤ excentricidad < 1)

En la ecuación vis-viva, la masa m del cuerpo en órbita (por ejemplo, una nave espacial) se considera insignificante en comparación con la masa M del cuerpo central (por ejemplo, la Tierra). El cuerpo central y el cuerpo en órbita también se denominan a menudo partícula primaria y partícula, respectivamente. En los casos específicos de una órbita elíptica o circular, la ecuación vis-viva se puede derivar fácilmente a partir de la conservación de la energía y el momento.

La energía total específica es constante a lo largo de la órbita. Por lo tanto, utilizando los subíndices a y p para denotar apoápside (apogeo) y periápside (perigeo), respectivamente, $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

Reorganizando, $${\displaystyle {\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {v_{p}^{2}}{2}}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

Recordando que para una órbita elíptica (y por lo tanto también una órbita circular) los vectores de velocidad y radio son perpendiculares en el apoápside y el periápside, la conservación del momento angular requiere un momento angular específico , por lo tanto : ${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}={\text{constant}}}$ ${\displaystyle v_{p}={\frac {r_{a}}{r_{p}}}v_{a}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

Aislando la energía cinética en el apoapsis y simplificando, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=\left({\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}\right)\cdot {\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM\left({\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{a}r_{p}}}\right){\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM{\frac {r_{p}}{r_{a}(r_{p}+r_{a})}}\end{aligned}}}$$

De la geometría de una elipse, donde a es la longitud del semieje mayor. Por lo tanto, ${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {2a-r_{a}}{r_{a}(2a)}}=GM\left({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{2a}}\right)={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{2a}}}$$

Sustituyendo esto en nuestra expresión original para la energía orbital específica, $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}=-{\frac {GM}{2a}}}$$

Por lo tanto, la ecuación vis-viva puede escribirse o ${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {GM}{2a}}}$ $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}=-{\frac {GM}{2a}}}$$ $${\displaystyle v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$$

Por lo tanto, el momento angular conservado L = mh se puede derivar usando y , donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor de la órbita elíptica, de la siguiente manera: y alternativamente, ${\displaystyle r_{a}+r_{p}=2a}$ ${\displaystyle r_{a}r_{p}=b^{2}}$ $${\displaystyle v_{a}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{a}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{a}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{p}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{a}}}\right)^{2}}$$ $${\displaystyle v_{p}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{p}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{p}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{a}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{p}}}\right)^{2}}$$

Por lo tanto, el momento angular específico , y ${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}=b{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$

Momento angular total ${\displaystyle L=mh=mb{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$

Aplicaciones prácticas

Dada la masa total y los escalares r y v en un solo punto de la órbita, se puede calcular:

• r y v en cualquier otro punto de la órbita; ^{[notas 1]} y
• la energía orbital específica , que permite clasificar a un objeto que orbita alrededor de un objeto más grande como si no tuviera suficiente energía para permanecer en órbita, y por lo tanto fuera " suborbital " (un misil balístico, por ejemplo), que tuviera suficiente energía para ser "orbital", pero sin la posibilidad de completar una órbita completa de todos modos porque eventualmente colisiona con el otro cuerpo, o que tuviera suficiente energía para venir y/o ir al infinito (como un meteoro, por ejemplo). ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$

La fórmula para la velocidad de escape se puede obtener a partir de la ecuación Vis-viva tomando el límite cuando se aproxima a : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \infty }$ $${\displaystyle v_{e}^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-0\right)\rightarrow v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$$

Notas

1. Para el problema de los tres cuerpos prácticamente no existe una ecuación vis-viva comparable: la conservación de la energía reduce el mayor número de grados de libertad en solo uno.

Referencias

1. Ivanov, Stefan: XXV Национална олимпиада по астрономия, Бургас, 06-08.05.2022, Полезни формули и справочни данни (Fórmulas útiles y datos de referencia)
2. Tom Logsdon (1998). Mecánica orbital: teoría y aplicaciones. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-14636-0.
3. Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Ciencias planetarias fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York, NY, EE. UU.: Cambridge University Press. pp. 29–31. ISBN 9781108411981.