Ecuación de KPP-Fisher

Simulación numérica de la ecuación de Fisher-KPP. En colores: la solución u ( t , x ); en puntos: pendiente correspondiente a la velocidad teórica de la onda viajera.

En matemáticas , la ecuación KPP-Fisher (nombrada en honor a Andrey Kolmogorov , Ivan Petrovsky , Nikolai Piskunov ^[1] y Ronald Fisher ^[2] ), también conocida como ecuación KPP , ecuación de Fisher o ecuación de Fisher-KPP , es la ecuación diferencial parcial :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=ru(1-u).\,}$

Es un tipo de sistema de reacción-difusión que puede utilizarse para modelar el crecimiento de la población y la propagación de ondas.

Detalles

La ecuación de KPP-Fisher pertenece a la clase de ecuaciones de reacción-difusión : de hecho, es una de las ecuaciones de reacción-difusión semilineales más simples, la que tiene el término no homogéneo.

${\displaystyle f(u,x,t)=ru(1-u),\,}$

que pueden presentar soluciones de ondas viajeras que cambian entre estados de equilibrio dados por . Tales ecuaciones ocurren, por ejemplo, en ecología , fisiología , combustión , cristalización , física del plasma y en problemas generales de transición de fase . ${\displaystyle f(u)=0}$

Fisher propuso esta ecuación en su artículo de 1937 La onda de avance de los genes ventajosos en el contexto de la dinámica de poblaciones para describir la propagación espacial de un alelo ventajoso y exploró sus soluciones de ondas viajeras. ^[2] Para cada velocidad de onda ( en forma adimensional) admite soluciones de ondas viajeras de la forma ${\displaystyle c\geq 2{\sqrt {rD}}}$ ${\displaystyle c\geq 2}$

${\displaystyle u(x,t)=v(x\pm ct)\equiv v(z),\,}$

donde esta aumentando y ${\displaystyle \textstyle v}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow -\infty }v\left(z\right)=0,\quad \lim _{z\rightarrow \infty }v\left(z\right)=1.}$

Es decir, la solución cambia del estado de equilibrio u = 0 al estado de equilibrio u = 1. No existe tal solución para c  < 2. ^{[2] [1] [3]} La forma de onda para una velocidad de onda dada es única. Las soluciones de ondas viajeras son estables frente a perturbaciones de campo cercano, pero no frente a perturbaciones de campo lejano que pueden engrosar la cola. Se puede demostrar utilizando el principio de comparación y la teoría de supersolución que todas las soluciones con datos iniciales compactos convergen a ondas con la velocidad mínima.

Para la velocidad de onda especial , todas las soluciones se pueden encontrar en forma cerrada, ^[4] con ${\displaystyle c=\pm 5/{\sqrt {6}}}$

${\displaystyle v(z)=\left(1+C\mathrm {exp} \left(\mp {z}/{\sqrt {6}}\right)\right)^{-2}}$

donde es arbitrario y las condiciones límite anteriores se satisfacen para . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C>0}$

La prueba de la existencia de soluciones de ondas viajeras y el análisis de sus propiedades se realiza a menudo mediante el método del espacio de fases .

Ecuación KPP

En el mismo año (1937) que Fisher, Kolmogorov, Petrovsky y Piskunov ^[1] introdujeron la ecuación de reacción-difusión más general

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=F(u)}$

donde es una función suficientemente suave con las propiedades que y para todos . Esto también tiene las soluciones de onda viajera discutidas anteriormente. La ecuación de Fisher se obtiene al establecer y reescalar la coordenada por un factor de . Un ejemplo más general se da con . [ ^{5] [6] [7]} Kolmogorov, Petrovsky y Piskunov ^[1] analizaron el ejemplo con en el contexto de la genética de poblaciones . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(0)=F(1)=0,F'(0)=r>0}$ ${\displaystyle F(v)>0,F'(v)<r}$ ${\displaystyle 0<v<1}$ ${\displaystyle F(u)=ru(1-u)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\sqrt {D}}}$ ${\displaystyle F(u)=ru(1-u^{q})}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle q=2}$

La velocidad mínima de una onda viajera de tipo KPP viene dada por

${\displaystyle 2{\sqrt {\left.{\frac {dF}{du}}\right|_{u=0}}}}$

que se diferencia de otros tipos de ondas, véase por ejemplo las ondas de tipo ZFK .

Véase también

• Ecuación ZFK
• Ecuación de Allen-Cahn

Referencias

1. A. Kolmogorov, I. Petrovskii y N. Piskunov. "Un estudio de la ecuación de difusión con el aumento de la cantidad de sustancia y su aplicación a un problema biológico". En VM Tikhomirov, editor, Selected Works of AN Kolmogorov I , páginas 248-270. Kluwer 1991, ISBN  90-277-2796-1 . Traducido por VM Volosov de Bull. Universidad de Moscú, Math. Mech. 1, 1-25, 1937
2. Fisher, RA (1937). "La ola de avance de los genes ventajosos" (PDF) . Anales de eugenesia . 7 (4): 353–369. doi : 10.1111/j.1469-1809.1937.tb02153.x . hdl :2440/15125.
3. Peter Grindrod. La teoría y las aplicaciones de las ecuaciones de reacción-difusión: patrones y ondas. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, Nueva York, segunda edición, 1996 ISBN 0-19-859676-6 ; ISBN 0-19-859692-8 .  
4. Ablowitz, Mark J. y Zeppetella, Anthony, Soluciones explícitas de la ecuación de Fisher para una velocidad de onda especial , Boletín de biología matemática 41 (1979) 835–840 doi :10.1007/BF02462380
5. Trefethen (30 de agosto de 2001). "Ecuación de Fisher-KPP" (PDF) . Fisher 2 .
6. Griffiths, Graham W.; Schiesser, William E. (2011). "Ecuación de Fisher-Kolmogorov". Análisis de ondas viajeras de ecuaciones diferenciales parciales . Academy Press. págs. 135-146. ISBN 978-0-12-384652-5.
7. Adomian, G. (1995). "Ecuación de Fisher-Kolmogorov". Applied Mathematics Letters . 8 (2): 51–52. doi : 10.1016/0893-9659(95)00010-N .

Enlaces externos

• Ecuación de Fisher en MathWorld .
• Ecuación de Fisher en EqWorld.