Ecuación de Eckhaus

En física matemática , la ecuación de Eckhaus –o ecuación de Kundu-Eckhaus– es una ecuación diferencial parcial no lineal dentro de la clase no lineal de Schrödinger : ^[1]

${\displaystyle i\psi _{t}+\psi _{xx}+2\left(|\psi |^{2}\right)_{x}\,\psi +|\psi |^{4}\,\psi =0.}$

La ecuación fue introducida independientemente por Wiktor Eckhaus y por Anjan Kundu para modelar la propagación de ondas en medios dispersivos . ^{[2] [3]}

Linealización

Animación de una solución de paquete de ondas de la ecuación de Eckhaus. La línea azul es la parte real de la solución, la línea roja es la parte imaginaria y la línea negra es la envolvente de onda ( valor absoluto ). Nótese la asimetría en la envolvente de la ecuación de Eckhaus, mientras que la envolvente –de la solución correspondiente a la ecuación lineal de Schrödinger– es simétrica (en ). Las ondas cortas en el paquete se propagan más rápido que las ondas largas. ${\displaystyle |\psi (x,t)|}$ ${\displaystyle |\varphi (x,t)|}$ ${\displaystyle x}$

Animación de la solución de paquetes de ondas de la ecuación lineal de Schrödinger , correspondiente a la animación anterior para la ecuación de Eckhaus. La línea azul es la parte real de la solución, la línea roja es la parte imaginaria , la línea negra es la envolvente de ondas ( valor absoluto ) y la línea verde es el centroide de la envolvente del paquete de ondas.

La ecuación de Eckhaus se puede linealizar a la ecuación lineal de Schrödinger : ^[4]

${\displaystyle i\varphi _{t}+\varphi _{xx}=0,}$

a través de la transformación no lineal: ^[5]

${\displaystyle \varphi (x,t)=\psi (x,t)\,\exp \left(\int _{-\infty }^{x}|\psi (x^{\prime },t)|^{2}\;{\text{d}}x^{\prime }\right).}$

La transformación inversa es:

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {\varphi (x,t)}{\displaystyle \left(1+2\,\int _{-\infty }^{x}|\varphi (x^{\prime },t)|^{2}\;{\text{d}}x^{\prime }\right)^{1/2}}}.}$

Esta linealización también implica que la ecuación de Eckhaus es integrable .

Notas

1. Zwillinger (1998, págs. 177 y 390)
2. Eckhaus (1985)
3. Kundu (1984)
4. Calogero y De Lillo (1987)
5. Ablowitz, Ahrens y De Lillo (2005)

Referencias

• Ablowitz, MJ ; Ahrens, CD; De Lillo, S. (2005), "Sobre una ecuación de Eckhaus discreta "cuasi" integrable", Journal of Nonlinear Mathematical Physics , 12 (Suplemento 1): 1–12, Bibcode :2005JNMP...12S...1A, doi : 10.2991/jnmp.2005.12.s1.1 , S2CID  59441129
• Calogero, F .; De Lillo, S. (1987), "La PDE de Eckhaus i ψ _t + ψ _xx + 2(|ψ| ² ) _x ψ + |ψ| ⁴ ψ = 0", Problemas inversos , 3 (4): 633–682 , Código Bib :1987InvPr...3..633C, doi :10.1088/0266-5611/3/4/012, S2CID  250876392
• Eckhaus, W. (1985), El comportamiento a largo plazo de ecuaciones de onda perturbadas y problemas relacionados , Departamento de Matemáticas, Universidad de Utrecht, Preimpresión n.º 404.
  Publicado en parte en: Eckhaus, W. (1986), "El comportamiento a largo plazo de las ecuaciones de onda perturbadas y problemas relacionados", en Kröner, E.; Kirchgässner, K. (eds.), Tendencias en las aplicaciones de las matemáticas puras a la mecánica , Lecture Notes in Physics, vol. 249, Berlín: Springer, págs. 168–194, doi :10.1007/BFb0016391, ISBN 978-3-540-16467-8
• Kundu, A. (1984), "Sistemas no lineales de orden superior y Landau–Lifshitz generados a partir de ecuaciones no lineales de tipo Schrödinger", Journal of Mathematical Physics , 25 (12): 3433–3438, Bibcode :1984JMP....25.3433K, doi :10.1063/1.526113
• Taghizadeh, N.; Mirzazadeh, M.; Tascan, F. (2012), "El método de la primera integral aplicado a la ecuación de Eckhaus", Applied Mathematics Letters , 25 (5): 798–802, doi : 10.1016/j.aml.2011.10.021
• Zwillinger, D. (1998), Manual de ecuaciones diferenciales (3.ª ed.), Academic Press, ISBN 978-0-12-784396-4