Dispersión (óptica)

Dependencia de la velocidad de fase de la frecuencia.

En un prisma dispersivo , la dispersión del material (un índice de refracción dependiente de la longitud de onda ) hace que diferentes colores se refracten en diferentes ángulos, dividiendo la luz blanca en un espectro .

Una lámpara fluorescente compacta vista a través de un prisma de Amici

En óptica y en la propagación de ondas en general, la dispersión es el fenómeno en el que la velocidad de fase de una onda depende de su frecuencia; ^[1] a veces el término dispersión cromática se utiliza para especificidad de la óptica en particular. Un medio que tiene esta propiedad común puede denominarse medio dispersivo ( medios dispersivos en plural ).

Aunque el término se utiliza en el campo de la óptica para describir la luz y otras ondas electromagnéticas , la dispersión en el mismo sentido puede aplicarse a cualquier tipo de movimiento ondulatorio, como la dispersión acústica en el caso de las ondas sonoras y sísmicas, y en las ondas de gravedad (oceánicas). ondas). Dentro de la óptica, la dispersión es una propiedad de las señales de telecomunicaciones a lo largo de líneas de transmisión (como las microondas en el cable coaxial ) o los pulsos de luz en la fibra óptica .

En óptica, una consecuencia importante y familiar de la dispersión es el cambio en el ángulo de refracción de diferentes colores de luz, ^[2] como se ve en el espectro producido por un prisma dispersivo y en la aberración cromática de las lentes. El diseño de lentes acromáticas compuestas , en las que la aberración cromática se cancela en gran medida, utiliza una cuantificación de la dispersión de un vidrio dada por su número de Abbe V , donde los números de Abbe más bajos corresponden a una mayor dispersión en el espectro visible . En algunas aplicaciones como las telecomunicaciones, la fase absoluta de una onda a menudo no es importante sino sólo la propagación de paquetes de ondas o "pulsos"; en ese caso, sólo nos interesan las variaciones de la velocidad del grupo con la frecuencia, la llamada dispersión de la velocidad del grupo.

Todos los medios de transmisión comunes también varían en atenuación (normalizada a la longitud de transmisión) en función de la frecuencia, lo que lleva a una distorsión de atenuación ; esto no es dispersión, aunque a veces las reflexiones en límites de impedancia estrechamente espaciados (por ejemplo, segmentos rizados en un cable) pueden producir distorsión de la señal, lo que agrava aún más el tiempo de tránsito inconsistente observado en todo el ancho de banda de la señal.

Ejemplos

El ejemplo más familiar de dispersión es probablemente el arco iris , en el que la dispersión provoca la separación espacial de una luz blanca en componentes de diferentes longitudes de onda (diferentes colores ). Sin embargo, la dispersión también tiene efecto en muchas otras circunstancias: por ejemplo, la dispersión de velocidad de grupo hace que los pulsos se propaguen en las fibras ópticas , degradando las señales a largas distancias; Además, una cancelación entre la dispersión de la velocidad del grupo y los efectos no lineales conduce a ondas de solitón .

Dispersión de material y guía de ondas.

Muy a menudo, la dispersión cromática se refiere a la dispersión del material en masa, es decir, el cambio en el índice de refracción con la frecuencia óptica. Sin embargo, en una guía de ondas también existe el fenómeno de dispersión de la guía de ondas , en cuyo caso la velocidad de fase de una onda en una estructura depende de su frecuencia simplemente debido a la geometría de la estructura. De manera más general, la dispersión en "guía de onda" puede ocurrir para ondas que se propagan a través de cualquier estructura no homogénea (por ejemplo, un cristal fotónico ), ya sea que las ondas estén confinadas o no a alguna región. ^{[ dudoso ]} En una guía de ondas, ambos tipos de dispersión generalmente estarán presentes, aunque no son estrictamente aditivos. ^{[ cita necesaria ]} Por ejemplo, en fibra óptica, la dispersión del material y la guía de ondas pueden cancelarse efectivamente entre sí para producir una longitud de onda de dispersión cero , importante para una comunicación rápida por fibra óptica .

Dispersión de materiales en óptica.

La variación del índice de refracción frente a la longitud de onda del vacío para varios vidrios. Las longitudes de onda de la luz visible están sombreadas en gris.

Influencias de las adiciones de componentes de vidrio seleccionados en la dispersión media de un vidrio base específico ( n _F válido para λ  = 486 nm (azul), n _C válido para λ  = 656 nm (rojo)) ^[3]

La dispersión del material puede ser un efecto deseable o indeseable en aplicaciones ópticas. La dispersión de la luz mediante prismas de vidrio se utiliza para construir espectrómetros y espectroradiómetros . Sin embargo, en las lentes, la dispersión provoca aberración cromática , un efecto no deseado que puede degradar las imágenes en microscopios, telescopios y objetivos fotográficos.

La velocidad de fase v de una onda en un medio uniforme dado está dada por

${\displaystyle v={\frac {c}{n}},}$

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y n es el índice de refracción del medio.

En general, el índice de refracción es función de la frecuencia f de la luz, por lo tanto n  =  n ( f ), o alternativamente, con respecto a la longitud de onda de la onda n  =  n ( λ ). La dependencia de la longitud de onda del índice de refracción de un material suele cuantificarse mediante su número de Abbe o sus coeficientes en una fórmula empírica como las ecuaciones de Cauchy o Sellmeier .

Debido a las relaciones de Kramers-Kronig , la dependencia de la longitud de onda de la parte real del índice de refracción está relacionada con la absorción del material , descrita por la parte imaginaria del índice de refracción (también llamada coeficiente de extinción ). En particular, para materiales no magnéticos ( μ  =  μ 0 ), la susceptibilidad χ que aparece en las relaciones de Kramers-Kronig es la susceptibilidad eléctrica χ _e  =  n ²  − 1.

La consecuencia más común de la dispersión en óptica es la separación de la luz blanca en un espectro de colores mediante un prisma . De la ley de Snell se desprende que el ángulo de refracción de la luz en un prisma depende del índice de refracción del material del prisma. Dado que ese índice de refracción varía con la longitud de onda, se deduce que el ángulo por el que se refracta la luz también variará con la longitud de onda, provocando una separación angular de los colores conocida como dispersión angular .

Para la luz visible, los índices de refracción n de la mayoría de los materiales transparentes (p. ej., aire, vidrios) disminuyen al aumentar la longitud de onda λ :

${\displaystyle 1<n(\lambda _{\text{red}})<n(\lambda _{\text{yellow}})<n(\lambda _{\text{blue}}),}$

o en general,

${\displaystyle {\frac {dn}{d\lambda }}<0.}$

En este caso se dice que el medio tiene dispersión normal . Mientras que si el índice aumenta al aumentar la longitud de onda (lo que suele ser el caso en el ultravioleta ^[4] ), se dice que el medio tiene una dispersión anómala .

En la interfaz de dicho material con el aire o el vacío (índice de ~1), la ley de Snell predice que la luz incidente en un ángulo θ con la normal se refractará en un ángulo de arcosen(pecado θ/norte). Así, la luz azul, con un índice de refracción más alto, se desviará con más fuerza que la luz roja, dando como resultado el conocido patrón de arco iris .

Dispersión de velocidad de grupo

Evolución temporal de un pulso corto en un medio dispersivo hipotético ( k  =  ω ² ) que muestra que los componentes de longitud de onda más larga viajan más rápido que los componentes de longitud de onda más corta (GVD positivo), lo que resulta en chirridos y ensanchamiento del pulso.

Más allá de simplemente describir un cambio en la velocidad de fase a lo largo de la longitud de onda, una consecuencia más grave de la dispersión en muchas aplicaciones se denomina dispersión de velocidad de grupo (GVD). Si bien la velocidad de fase v se define como v = c / n , esto describe solo un componente de frecuencia. Cuando se combinan diferentes componentes de frecuencia, como cuando se considera una señal o un pulso, a menudo uno está más interesado en la velocidad de grupo , que describe la velocidad a la que se propaga un pulso o información superpuesta a una onda (modulación). En la animación adjunta se puede ver que la propia onda (naranja-marrón) viaja a una velocidad de fase mucho más rápida que la velocidad de la envoltura (negra), que corresponde a la velocidad del grupo. Este pulso podría ser una señal de comunicaciones, por ejemplo, y su información solo viaja a la velocidad del grupo, aunque consiste en frentes de onda que avanzan a una velocidad más rápida (la velocidad de fase).

Es posible calcular la velocidad del grupo a partir de la curva del índice de refracción n ( ω ) o más directamente a partir del número de onda k = ωn / c , donde ω es la frecuencia en radianes ω  = 2 πf . Mientras que una expresión para la velocidad de fase es v _p  =  ω / k , la velocidad de grupo se puede expresar usando la derivada : v _g  =  dω / dk . O en términos de la velocidad de fase v _p ,

${\displaystyle v_{\text{g}}={\frac {v_{\text{p}}}{1-{\dfrac {\omega }{v_{\text{p}}}}{\dfrac {dv_{\text{p}}}{d\omega }}}}.}$

Cuando hay dispersión, no sólo la velocidad del grupo no es igual a la velocidad de fase, sino que generalmente ella misma varía con la longitud de onda. Esto se conoce como dispersión de velocidades de grupo y hace que un pulso corto de luz se ensanche, ya que los componentes de diferentes frecuencias dentro del pulso viajan a diferentes velocidades. La dispersión de la velocidad del grupo se cuantifica como la derivada del recíproco de la velocidad del grupo con respecto a la frecuencia angular , lo que da como resultado la dispersión de la velocidad del grupo  =  d ² k / dω ² .

Si un pulso de luz se propaga a través de un material con dispersión de velocidad de grupo positiva, entonces los componentes de longitud de onda más corta viajan más lento que los componentes de longitud de onda más larga. Por lo tanto, el pulso se convierte en un chirrido positivo o en un chirrido ascendente , aumentando su frecuencia con el tiempo. Por otro lado, si un pulso viaja a través de un material con dispersión de velocidad de grupo negativa, los componentes de longitud de onda más corta viajan más rápido que los más largos, y el pulso se vuelve chirriante negativo , o chirrido descendente , disminuyendo su frecuencia con el tiempo.

Un ejemplo cotidiano de una señal chirriante negativa en el ámbito acústico es el de un tren que se acerca y choca contra deformidades en una vía soldada. El sonido del propio tren es impulsivo y se propaga mucho más rápido en las vías metálicas que en el aire, por lo que se puede oír el tren mucho antes de llegar. Sin embargo, desde lejos no se escucha como si causara impulsos, sino que conduce a un distintivo chirrido descendente, en medio de la reverberación causada por la complejidad de los modos vibratorios de la pista. La dispersión de la velocidad del grupo se puede escuchar porque el volumen de los sonidos permanece audible durante un tiempo sorprendentemente largo, hasta varios segundos.

El parámetro de dispersión de velocidad de grupo.

${\displaystyle D={\frac {1}{c}}\,{\frac {dn}{d\lambda }}}$

Se utiliza a menudo para cuantificar GVD, que es proporcional a D mediante un factor negativo:

${\displaystyle D=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}\,{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}.}$

Según algunos autores, ^[5] se dice que un medio tiene dispersión normal / dispersión anómala para una determinada longitud de onda del vacío λ ₀ si la segunda derivada del índice de refracción calculado en λ ₀ es positiva/negativa o, de manera equivalente, si D ( λ ₀ ) es negativo/positivo. Esta definición se refiere a la dispersión de velocidades de grupo y no debe confundirse con la dada en la sección anterior. Las dos definiciones no coinciden en general, por lo que el lector debe comprender el contexto.

Control de dispersión

El resultado de GVD, ya sea negativo o positivo, es en última instancia la extensión temporal del pulso. Esto hace que la gestión de la dispersión sea extremadamente importante en los sistemas de comunicaciones ópticas basados ​​en fibra óptica, ya que si la dispersión es demasiado alta, un grupo de pulsos que representan un flujo de bits se dispersarán en el tiempo y se fusionarán, haciendo que el flujo de bits sea ininteligible. Esto limita la longitud de la fibra por la que se puede enviar una señal sin regeneración. Una posible respuesta a este problema es enviar señales por la fibra óptica a una longitud de onda en la que el GVD sea cero (p. ej., alrededor de 1,3 a 1,5 μm en fibras de sílice ), de modo que los pulsos en esta longitud de onda sufran una dispersión mínima por dispersión. En la práctica, sin embargo, este enfoque causa más problemas de los que resuelve porque el GVD cero amplifica inaceptablemente otros efectos no lineales (como la mezcla de cuatro ondas ). Otra posible opción es utilizar pulsos de solitón en régimen de dispersión negativa, una forma de pulso óptico que utiliza un efecto óptico no lineal para automantener su forma. Sin embargo, los solitones tienen el problema práctico de que requieren que se mantenga un cierto nivel de potencia en el pulso para que el efecto no lineal tenga la intensidad correcta. En cambio, la solución que se utiliza actualmente en la práctica es realizar una compensación de dispersión, típicamente haciendo coincidir la fibra con otra fibra de dispersión de signos opuestos para que los efectos de dispersión se cancelen; En última instancia, dicha compensación está limitada por efectos no lineales, como la modulación de fase propia , que interactúan con la dispersión para hacer que sea muy difícil deshacerla.

El control de la dispersión también es importante en los láseres que producen pulsos cortos . La dispersión general del resonador óptico es un factor importante a la hora de determinar la duración de los pulsos emitidos por el láser. Se pueden disponer un par de prismas para producir una dispersión negativa neta, que se puede utilizar para equilibrar la dispersión normalmente positiva del medio láser. También se pueden utilizar rejillas de difracción para producir efectos dispersivos; Estos se utilizan a menudo en sistemas de amplificador láser de alta potencia. Recientemente se ha desarrollado una alternativa a los prismas y las rejillas: los espejos chirriantes . Estos espejos dieléctricos están recubiertos de manera que diferentes longitudes de onda tienen diferentes longitudes de penetración y, por lo tanto, diferentes retardos de grupo. Las capas de recubrimiento se pueden adaptar para lograr una dispersión neta negativa.

En guías de ondas

Las guías de ondas son altamente dispersivas debido a su geometría (y no solo a su composición material). Las fibras ópticas son una especie de guía de ondas para frecuencias ópticas (luz) muy utilizadas en los sistemas de telecomunicaciones modernos. La velocidad a la que se pueden transportar datos en una sola fibra está limitada por el ensanchamiento del pulso debido a la dispersión cromática, entre otros fenómenos.

En general, para un modo de guía de ondas con una frecuencia angular ω ( β ) con una constante de propagación β (de modo que los campos electromagnéticos en la dirección de propagación z oscilen proporcionalmente a e ^{i ( βz − ωt )} ), el parámetro de dispersión de velocidad de grupo D se define como ^[6]

${\displaystyle D=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}{\frac {d^{2}\beta }{d\omega ^{2}}}={\frac {2\pi c}{v_{g}^{2}\lambda ^{2}}}{\frac {dv_{g}}{d\omega }},}$

donde λ  = 2 π c / ω es la longitud de onda del vacío y v _g  =  dω / dβ es la velocidad del grupo. Esta fórmula generaliza la de la sección anterior para medios homogéneos e incluye tanto la dispersión de la guía de ondas como la dispersión del material. La razón para definir la dispersión de esta manera es que | D | es la dispersión del pulso temporal (asintótica) Δ t por unidad de ancho de banda Δ λ por unidad de distancia recorrida, comúnmente reportada en ps /( nm ⋅ km ) para fibras ópticas.

En el caso de las fibras ópticas multimodo , la llamada dispersión modal también conducirá a un ensanchamiento del pulso. Incluso en fibras monomodo , el ensanchamiento del pulso puede ocurrir como resultado de la dispersión del modo de polarización (ya que todavía hay dos modos de polarización). Estos no son ejemplos de dispersión cromática, ya que no dependen de la longitud de onda ni del ancho de banda de los pulsos propagados.

Dispersión de orden superior en anchos de banda amplios

Cuando una amplia gama de frecuencias (un ancho de banda amplio) está presente en un único paquete de ondas, como en un pulso ultracorto o un pulso chirriado u otras formas de transmisión de espectro ensanchado , puede no ser exacto aproximar la dispersión mediante una constante a lo largo del espectro. todo el ancho de banda y se requieren cálculos más complejos para calcular efectos como la dispersión del pulso.

En particular, el parámetro de dispersión D definido anteriormente se obtiene a partir de una sola derivada de la velocidad del grupo. Las derivadas superiores se conocen como dispersión de orden superior . ^{[7] [8]} Estos términos son simplemente una expansión en serie de Taylor de la relación de dispersión β ( ω ) del medio o guía de ondas alrededor de alguna frecuencia particular. Sus efectos se pueden calcular mediante la evaluación numérica de las transformadas de Fourier de la forma de onda, mediante la integración de aproximaciones de envolvente de orden superior que varían lentamente , mediante un método de pasos divididos (que puede utilizar la relación de dispersión exacta en lugar de una serie de Taylor), o mediante la evaluación directa. simulación de las ecuaciones de Maxwell completas en lugar de una ecuación envolvente aproximada.

Formulación generalizada de los altos órdenes de dispersión – Óptica de Lah-Laguerre

La descripción de la dispersión cromática de forma perturbativa mediante coeficientes de Taylor es ventajosa para problemas de optimización en los que es necesario equilibrar la dispersión de varios sistemas diferentes. Por ejemplo, en los amplificadores láser de pulso chirp, los pulsos primero se estiran en el tiempo mediante una camilla para evitar daños ópticos. Luego, en el proceso de amplificación, los pulsos acumulan inevitablemente fases lineales y no lineales que atraviesan los materiales. Y por último, los impulsos se comprimen en varios tipos de compresores. Para cancelar cualquier orden residual más alta en la fase acumulada, generalmente se miden y equilibran las órdenes individuales. Sin embargo, para sistemas uniformes, esta descripción perturbativa a menudo no es necesaria (es decir, propagación en guías de ondas). Los órdenes de dispersión se han generalizado de forma computacionalmente amigable, en forma de transformadas de tipo Lah-Laguerre. ^{[9] [10]}

Los órdenes de dispersión están definidos por la expansión de Taylor de la fase o del vector de onda. ${\displaystyle {\begin{array}{c}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} =\varphi \left.\ \right|_{\omega _{0}}+\left.\ {\frac {\partial \varphi }{\partial \omega }}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2}}\left.\ {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \omega ^{2}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!}}\left.\ {\frac {\partial ^{p}\varphi }{\partial \omega ^{p}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\ldots \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} =k\left.\ \right|_{\omega _{0}}+\left.\ {\frac {\partial k}{\partial \omega }}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2}}\left.\ {\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!}}\left.\ {\frac {\partial ^{p}k}{\partial \omega ^{p}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\ldots \end{array}}}$

Las relaciones de dispersión para el vector de onda y la fase se pueden expresar como: ${\displaystyle k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }$ ${\displaystyle \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c}}\left(p{\frac {{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\ \end{array}}}$, ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c}}\left(p{\frac {{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\end{array}}(1)}$

Las derivadas de cualquier función diferenciable en la longitud de onda o en el espacio de frecuencias se especifican mediante una transformada de Lah como: ${\displaystyle f\mathrm {(} \omega \mathrm {|} \lambda \mathrm {)} }$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial {p}}{\partial {\omega }^{p}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\lambda }^{p}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\omega }^{m}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array}}(2)}$

Los elementos matriciales de la transformación son los coeficientes de Lah: ${\displaystyle {\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} }}{\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {1)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {1)!} }}}$

Escrita para GDD, la expresión anterior establece que una constante con longitud de onda GGD tendrá cero órdenes superiores. Los órdenes superiores evaluados desde el GDD son:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}GDD\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}GDD\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}}$

Al sustituir la ecuación (2) expresada para el índice de refracción o la trayectoria óptica en la ecuación (1), se obtienen expresiones en forma cerrada para los órdenes de dispersión. En general, la dispersión de orden POD es una transformada de tipo Laguerre de orden negativo dos: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle OP}$ ${\displaystyle p^{th}}$

${\displaystyle POD={\frac {d^{p}\varphi (\omega )}{d\omega ^{p}}}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c}})^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)}}(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}OP(\lambda )}{d\lambda ^{m}}}}$ ${\displaystyle ,}$

Primeros diez órdenes de dispersión de sílice fundida (p = 2 - GDD, p = 3 - TOD, p = 4 - FOD, p = 5 - FiOD, p = 6 - SiOD, p = 7 - SeOD, p = 8 - EOD, p = 9 - NOD, p = 10 - TeOD)

${\displaystyle POD={\frac {d^{p}k(\omega )}{d\omega ^{p}}}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c}})^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)}}(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}n(\lambda )}{d\lambda ^{m}}}}$

Los elementos matriciales de las transformadas son los coeficientes de Laguerre sin signo de orden menos 2, y se dan como: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} }}{\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {2)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {2)!} }}}$

Los primeros diez órdenes de dispersión, escritos explícitamente para el vector de onda, son: ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GD}}}={\frac {\partial }{\partial \omega }}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} -\lambda {\frac {\partial n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}\right)=v_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} }\end{array}}}$

El índice de refracción del grupo se define como: . ${\displaystyle n_{g}}$ ${\displaystyle n_{g}=cv_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} }}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GDD}}}={\frac {{\partial }^{2}}{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {2} {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}+\omega {\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)\left({\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}\right)\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TOD}}}={\frac {{\partial }^{3}}{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {3} {\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {2} }{\Bigl (}\mathrm {3} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FOD}}}={\frac {{\partial }^{4}}{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {4} {\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {3} }{\Bigl (}\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {8} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FiOD}}}={\frac {{\partial }^{5}}{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {5} {\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {15} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SiOD}}}={\frac {{\partial }^{6}}{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {6} {\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {360} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {480} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {180} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {24} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+{\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SeOD}}}={\frac {{\partial }^{7}}{\partial {\omega }^{\mathrm {7} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {7} {\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {6} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {7} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {2100} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {420} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {35} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {EOD}}}={\frac {{\partial }^{8}}{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {8} {\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {7} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {20160} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {25200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {6720} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {840} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {48} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {NOD}}}={\frac {{\partial }^{9}}{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {9} {\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {181440} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {423360} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {317520} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {105840} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {17640} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {1512} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {63} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TeOD}}}={\frac {{\partial }^{10}}{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {10} {\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{10}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {1814400} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {4838400} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {4233600} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{1693440}{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\\+\mathrm {352800} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+\mathrm {80} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac {{\partial }^{10}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$

Explícitamente, escritos para la fase , los primeros diez órdenes de dispersión se pueden expresar como una función de la longitud de onda usando las transformadas de Lah (ecuación (2)) como: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial {p}}{\partial {\omega }^{p}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\lambda }^{p}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\omega }^{m}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}={-}\left({\frac {\mathrm {2} \pi c}{{\omega }^{\mathrm {2} }}}\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \lambda }}={-}\left({\frac {{\lambda }^{\mathrm {2} }}{\mathrm {2} \pi c}}\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}={\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}\right)={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {2} }\left(\mathrm {2} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+{\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}\right)\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {3} }\left(\mathrm {6} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {6} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}\right)\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {24} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {36} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{\mathrm {5} }\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {120} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {240} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {20} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {720} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {1800} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {1200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {300} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {30} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}\mathrm {\ +} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {7} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {5040} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {15120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {12600} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {630} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {42} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {40320} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {58800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {11760} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {1176} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\mathrm {56} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\\+{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {\partial ^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {362880} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {1451520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {1693440} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {846720} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {211680} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {28224} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {2016} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {72} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {\partial ^{\mathrm {9} }\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {10} }{\Bigl (}\mathrm {3628800} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {16329600} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {21772800} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {12700800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {3810240} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {635040} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {60480} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {3240} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+\mathrm {90} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac {{\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$

Dispersión espacial

En electromagnetismo y óptica, el término dispersión generalmente se refiere a la dispersión temporal o de frecuencia antes mencionada. La dispersión espacial se refiere a la respuesta no local del medio al espacio; esto puede reformularse como la dependencia del vector de onda de la permitividad. Para un medio anisotrópico ejemplar , la relación espacial entre el campo eléctrico y el de desplazamiento eléctrico se puede expresar como una convolución : ^[11]

${\displaystyle D_{i}(t,r)=E_{i}(t,r)+\int _{0}^{\infty }\int f_{ik}(\tau ;r,r')E_{k}(t-\tau ,r')\,dV'\,d\tau ,}$

donde el núcleo es la respuesta dieléctrica (susceptibilidad); sus índices lo convierten en general en un tensor para tener en cuenta la anisotropía del medio. La dispersión espacial es insignificante en la mayoría de los casos macroscópicos, donde la escala de variación es mucho mayor que las dimensiones atómicas, porque el núcleo dieléctrico muere a distancias macroscópicas. Sin embargo, puede provocar efectos macroscópicos no despreciables, especialmente en medios conductores como metales , electrolitos y plasmas . La dispersión espacial también desempeña un papel en la actividad óptica y el ensanchamiento Doppler , ^[11] así como en la teoría de los metamateriales . ^[12] ${\displaystyle f_{ik}}$ ${\displaystyle E_{k}(t-\tau ,r')}$

En gemología

En la terminología técnica de la gemología , la dispersión es la diferencia en el índice de refracción de un material en las  longitudes de onda de Fraunhofer B y G (686,7 nm y 430,8 nm) o C y F (656,3 nm y 486,1 nm) , y pretende expresar la Grado en el que un prisma cortado de la piedra preciosa demuestra "fuego". Fuego es un término coloquial utilizado por los gemólogos para describir la naturaleza dispersiva de una piedra preciosa o la falta de ella. La dispersión es una propiedad material. La cantidad de fuego que demuestra una piedra preciosa determinada es función de los ángulos de las facetas de la piedra preciosa, la calidad del pulido, el entorno de iluminación, el índice de refracción del material, la saturación del color y la orientación del espectador en relación con la piedra preciosa. ^{[13] [14]}

En imágenes

En lentes fotográficas y microscópicas, la dispersión provoca aberración cromática , lo que provoca que los diferentes colores de la imagen no se superpongan correctamente. Se han desarrollado diversas técnicas para contrarrestar esto, como el uso de acromáticas , lentes multielementos con vidrios de diferente dispersión. Están construidos de tal manera que se anulan las aberraciones cromáticas de las diferentes partes.

Emisiones de púlsar

Los púlsares son estrellas de neutrones que giran y emiten pulsos a intervalos muy regulares que van desde milisegundos hasta segundos. Los astrónomos creen que los pulsos se emiten simultáneamente en una amplia gama de frecuencias. Sin embargo, como se observa en la Tierra, los componentes de cada pulso emitido en frecuencias de radio más altas llegan antes que los emitidos en frecuencias más bajas. Esta dispersión se produce debido al componente ionizado del medio interestelar , principalmente los electrones libres, que hacen que la velocidad del grupo dependa de la frecuencia. El retraso adicional agregado a una frecuencia ν es

${\displaystyle t=k_{\text{DM}}\cdot \left({\frac {\text{DM}}{\nu ^{2}}}\right),}$

donde la constante de dispersión k _DM viene dada por ^[15]

${\displaystyle k_{\text{DM}}={\frac {e^{2}}{2\pi m_{\text{e}}c}}\approx 4.149~{\text{GHz}}^{2}\,{\text{pc}}^{-1}\,{\text{cm}}^{3}\,{\text{ms}},}$

y la medida de dispersión (DM) es la densidad de columna de electrones libres ( contenido total de electrones ), es decir, la densidad numérica de electrones n _e integrados a lo largo del camino recorrido por el fotón desde el púlsar hasta la Tierra, y está dada por

${\displaystyle {\text{DM}}=\int _{0}^{d}n_{e}\,dl}$

con unidades de pársecs por centímetro cúbico (1 pc/cm ³ = 30,857 × 10^21m  - ² ). ^[dieciséis]

Normalmente, en las observaciones astronómicas, este retraso no se puede medir directamente, ya que se desconoce el momento de la emisión. Lo que se puede medir es la diferencia en los tiempos de llegada en dos frecuencias diferentes. El retardo Δ t entre un componente de alta frecuencia ν _hi y un componente de baja frecuencia ν _lo de un pulso será

${\displaystyle \Delta t=k_{\text{DM}}\cdot {\text{DM}}\cdot \left({\frac {1}{\nu _{\text{lo}}^{2}}}-{\frac {1}{\nu _{\text{hi}}^{2}}}\right).}$

Reescribir la ecuación anterior en términos de Δ t permite determinar el DM midiendo los tiempos de llegada del pulso en múltiples frecuencias. Esto, a su vez, puede utilizarse para estudiar el medio interestelar, además de permitir combinar observaciones de púlsares en diferentes frecuencias.

Ver también

• número de abad
• Cálculo de las propiedades del vidrio incl. dispersión
• ecuación de cauchy
• Relación de dispersión
• Ráfaga de radio rápida (astronomía)
• Teorema de fluctuación
• Relaciones Verde-Kubo
• Retraso de grupo
• Dispersión intramodal
• Relaciones Kramers-Kronig
• Función de respuesta lineal
• Teoría de la dispersión de prismas múltiples
• ecuación de sellmeier
• Pulso ultracorto
• Matriz en fase con imágenes virtuales

Referencias

1. Nacido, Max ; Wolf, Emil (octubre de 1999). Principios de la Óptica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 14-24. ISBN 0-521-64222-1.
2. Compensación de dispersión. Consultado el 25 de agosto de 2015.
3. Cálculo de la dispersión media de vidrios.
4. Born, M. y Wolf, E. (1980) " Principios de óptica ", 6ª ed., p. 93. Prensa de Pérgamo.
5. Saleh, BEA y Teich, MC Fundamentos de la fotónica (2ª ed.), Wiley, 2007.
6. Ramaswami, Rajiv y Sivarajan, Kumar N. (1998) Redes ópticas: una perspectiva práctica . Prensa académica: Londres.
7. Dispersión cromática, Enciclopedia de física y tecnología láser (Wiley, 2008).
8. Mai, Wending; Campbell, Sawyer D.; Merlán, Eric B.; Kang, Lei; Werner, Pingjuan L.; Chen, Yifan; Werner, Douglas H. (1 de octubre de 2020). "Método prismático discontinuo en el dominio del tiempo de Galerkin con un modelo de dispersión generalizado integrado para un análisis óptico eficiente de metasuperficies". Materiales ópticos expreso . 10 (10): 2542–2559. Código Bib : 2020OMExp..10.2542M. doi : 10.1364/OME.399414 . ISSN  2159-3930.
9. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (24 de octubre de 2022). "Formalismo óptico analítico de Lah-Laguerre para dispersión cromática perturbativa". Óptica Express . 30 (22): 40779–40808. Código Bib : 2022OExpr..3040779P. doi : 10.1364/OE.457139 . PMID  36299007.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
10. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (30 de agosto de 2020). "Teoría de la dispersión cromática, revisada". arXiv : 2011.00066 [física.óptica].
11. Landau, LD ; Lifshitz, EM ; Pitaevskii, LP (1984). Electrodinámica de Medios Continuos . vol. 8 (2ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-7506-2634-7.
12. Demetriadou, A.; Pendry, JB (1 de julio de 2008). "Domar la dispersión espacial en metamaterial de alambre". Revista de Física: Materia Condensada . 20 (29): 295222. Código bibliográfico : 2008JPCM...20C5222D. doi :10.1088/0953-8984/20/29/295222. S2CID  120249447.
13. Schumann, Walter (2009). Piedras preciosas del mundo (cuarta edición recientemente revisada y ampliada). Compañía editorial Sterling. págs. 41–42. ISBN 978-1-4027-6829-3. Consultado el 31 de diciembre de 2011 .
14. "¿Qué es la dispersión de piedras preciosas?". Sociedad Internacional de Gemas (GemSociety.org) . Consultado el 9 de marzo de 2015 .
15. "Radioastronomía de un solo plato: técnicas y aplicaciones", Actas de la conferencia ASP, vol. 278. Editado por Snezana Stanimirovic, Daniel Altschuler , Paul Goldsmith y Chris Salter. ISBN 1-58381-120-6 . San Francisco: Sociedad Astronómica del Pacífico, 2002, p. 251–269. 
16. Lorimer, DR y Kramer, M., Manual de astronomía de Pulsar , vol. 4 de Cambridge Observing Handbooks for Research Astronomers ( Cambridge University Press , Cambridge, Reino Unido; Nueva York, EE.UU., 2005), 1.ª edición.

enlaces externos

• Wiki dispersivo Archivado el 23 de julio de 2017 en Wayback Machine , que analiza los aspectos matemáticos de la dispersión.
• Dispersión - Enciclopedia de física y tecnología láser
• Animaciones que demuestran la dispersión óptica por QED.
• Demostración web interactiva sobre dispersión cromática Instituto de Telecomunicaciones, Universidad de Stuttgart