Borrador: Análisis a escala de la convección natural externa

Análisis de escala de la convección natural externa

La convección natural externa es un proceso de transferencia de calor en el que el movimiento del fluido es impulsado por fuerzas de flotabilidad resultantes de las diferencias de temperatura dentro del fluido. Este fenómeno ocurre cuando un fluido cerca de una superficie calentada se vuelve menos denso y se eleva, mientras que un fluido más frío entra para reemplazarlo, creando un patrón de circulación continua. A diferencia de la convección forzada , la convección natural externa no depende de dispositivos mecánicos como ventiladores o bombas para impulsar el movimiento del fluido. ^[1]

Ecuaciones de la capa límite laminar

Diagrama que muestra las capas límite térmicas ( ) e hidrodinámicas ( ) a lo largo de una pared vertical calentada. Ilustra los perfiles de temperatura ( 𝑇 ) y velocidad ( 𝑢 ) del fluido, destacando las distintas escalas para los efectos térmicos e hidrodinámicos ${\displaystyle \delta _{T}}$ ${\displaystyle \delta }$

La capa límite laminar es un concepto clave en dinámica de fluidos y transferencia de calor , que describe la región del flujo de fluido cerca de una superficie sólida donde predominan las fuerzas viscosas . Esta capa límite es crucial para comprender la transferencia de calor desde una pared calentada al fluido circundante, especialmente durante el flujo laminar, donde el fluido se mueve en capas suaves y paralelas, sin turbulencias .

Las ecuaciones completas de Navier-Stokes para el flujo bidimensional de propiedad constante y estable para el sistema de flujo impulsado por flotabilidad:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0}$ ( Ecuación de continuidad )

${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial x}}+\mu \nabla ^{2}u}$

( Ecuación de momento en dirección x)

${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial y}}+\mu \nabla ^{2}v-\rho g}$

(Ecuación de momento en dirección y)

${\displaystyle u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}=\alpha \nabla ^{2}T}$ ( Ecuación de energía )

dónde:

• ${\displaystyle u}$y son los componentes de velocidad en las direcciones - y -, respectivamente, ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad dinámica ,
• ${\displaystyle P}$es la presión ,
• ${\displaystyle g}$es la aceleración debida a la gravedad ,
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad ,
• ${\displaystyle T}$es la temperatura en cualquier punto dado del fluido, y
• ${\displaystyle \alpha }$es la difusividad térmica

Estas ecuaciones, con condiciones de límite apropiadas, permiten determinar los campos de velocidad y temperatura dentro de la capa límite.

El término de fuerza corporal, −ρg, en la ecuación del momento vertical se puede simplificar considerando la región de la capa límite, donde , , y , donde es la longitud característica y es el espesor de la capa límite térmica . ${\displaystyle x\sim \delta _{T}}$ ${\displaystyle y\sim H}$ ${\displaystyle \delta _{T}\ll H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \delta _{T}}$

Como resultado, solo el término sigue siendo relevante en el operador (del) . La ecuación de momento transversal (horizontal) se reduce para indicar que la presión en la capa límite solo depende de la posición longitudinal (vertical). ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

La ecuación simplificada para la presión queda:

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {dP}{dy}}={\frac {dP_{\infty }}{dy}}}$

Las ecuaciones de la capa límite para el momento y la energía son las siguientes:

Ecuación del momento:

${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=-{\frac {dP_{\infty }}{dy}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}-\rho g}$

Ecuación de energía:

${\displaystyle u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}}$

Además, al considerar que el gradiente de presión está determinado por la distribución de presión hidrostática en el fluido del yacimiento de densidad , con , la ecuación de momento se simplifica a, ^[2] ${\displaystyle {\frac {dP_{\infty }}{dy}}}$ ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ ${\displaystyle {\frac {dP_{\infty }}{dy}}=-\rho _{\infty }g}$

${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+(\rho _{\infty }-\rho )g}$

Aproximación de Boussinesq

En muchos casos prácticos, especialmente en la convección natural, se aplica la aproximación de Boussinesq para simplificar el análisis de los efectos de la flotabilidad en la ecuación del momento. Esta aproximación supone que las variaciones de densidad son despreciables, excepto en el término de flotabilidad. La forma linealizada de la variación de la densidad con la temperatura es:

${\displaystyle \rho \approx \rho _{\infty }\left[1-\beta \left(T-T_{\infty }\right)+\cdots \right]}$

donde β es el coeficiente de expansión de volumen a presión constante, ^[3]

${\displaystyle \beta =-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{P}}$

Esto permite escribir la ecuación del momento como:

${\displaystyle u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+g\beta (T_{0}-T_{\infty })}$

donde, es la viscosidad cinemática ${\displaystyle \nu }$

Esta ecuación captura el equilibrio entre las fuerzas inerciales , los efectos viscosos y las fuerzas de flotabilidad debido a las diferencias de temperatura.

Condiciones de contorno

Para el análisis de capas límite laminares, se deben aplicar condiciones de límite adecuadas.

Normalmente, para una pared impermeable , antideslizante e isotérmica , la velocidad y la temperatura en la pared vienen dadas por:

${\displaystyle u=v=0\quad {\text{and}}\quad T=T_{0}\quad {\text{at}}\quad x=0}$

A grandes distancias de la pared, el flujo alcanza un estado no perturbado, donde la velocidad y la temperatura se aproximan a las de la corriente libre:

${\displaystyle v=0\quad {\text{and}}\quad T=T_{\infty }\quad {\text{as}}\quad x\to \infty }$

Análisis de escala

En la convección natural externa, se realiza un análisis de escala para comprender el equilibrio entre varias fuerzas (como la inercia , la flotabilidad y la fricción ) y los mecanismos de transferencia de energía, incluidas la convección y la conducción .

Análisis de escala de ecuaciones de capa límite

• El dominio de análisis de escala se puede describir como y , para la región de la capa límite térmica ${\displaystyle x\sim \delta _{T}}$ ${\displaystyle y\sim H}$
• En esta región, el efecto del calentamiento influye en el comportamiento del fluido, provocando cambios notables.
• En estado estable, el calor conducido desde la pared hacia el fluido es transportado hacia arriba por el fluido, formando una corriente de entalpía .

La siguiente ecuación representa un equilibrio entre la convección longitudinal y la conducción transversal :

${\displaystyle u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}}$

Esto se puede aproximar así:

${\displaystyle u{\frac {\Delta T}{\delta _{T}}},\,v{\frac {\Delta T}{H}}\sim \alpha {\frac {\Delta T}{\delta _{T}^{2}}}}$

Aquí, el lado izquierdo representa los componentes de transferencia de calor por convección en las direcciones x e y, y el lado derecho representa la transferencia de calor por conducción en la dirección x. Además, es la escala de la variable . ${\displaystyle \Delta T=T_{0}-T_{\infty }}$ ${\displaystyle T-T_{\infty }}$

Del principio de conservación de masa en la misma capa:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0}$(Ecuación de continuidad)

Las velocidades están relacionadas por la aproximación:

${\displaystyle {\frac {u}{\delta _{T}}}\sim {\frac {v}{H}}}$

Esto indica que los dos términos de convección en la ecuación son del orden de . ${\displaystyle {\frac {v\Delta T}{H}}}$

El balance energético implica dos escalas características:

${\displaystyle {\frac {v\Delta T}{H}}\sim \alpha {\frac {\Delta T}{\delta _{T}^{2}}}}$

Lo que resulta en:

${\displaystyle v\sim {\frac {\alpha H}{\delta _{T}^{2}}}}$

Determinación del espesor de la capa límite térmica

El espesor de la capa límite térmica, , sigue sin determinarse. Para resolverlo, examinamos la ecuación del momento vertical, considerando la interacción entre tres fuerzas: ${\displaystyle \delta _{T}}$

${\displaystyle u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+g\beta (T-T_{\infty })}$

Estas fuerzas pueden aproximarse de la siguiente manera:

• Inercia : ${\displaystyle {\frac {uv}{\delta _{T}}},\,{\frac {v^{2}}{H}}}$

• Fricción : ${\displaystyle {\frac {\nu v}{\delta _{T}^{2}}}}$
• Flotabilidad : ${\displaystyle g\beta \Delta T}$

Dividiendo los términos por y aplicando , las expresiones resultantes son: ${\displaystyle g\beta \Delta T}$ ${\displaystyle v\sim {\frac {\alpha H}{\delta _{T}^{2}}}}$

• Inercia : ${\displaystyle \left({\frac {H}{\delta _{T}}}\right)^{4}{\text{Ra}}_{H}^{-1}{\text{Pr}}^{-1}}$

• Fricción : ${\displaystyle \left({\frac {H}{\delta _{T}}}\right)^{4}{\text{Ra}}_{H}^{-1}}$
• Flotabilidad : ${\displaystyle 1}$

dónde:

• ${\displaystyle H}$es una longitud característica,
• ${\displaystyle \delta _{T}}$es el espesor de la capa límite térmica .
• ${\displaystyle Ra_{H}}$es el número de Rayleigh ,
• ${\displaystyle Pr}$es el número de Prandtl .

Para fluidos de alta presión

En el caso de fluidos con un número de Prandtl alto (Pr >> 1), la capa límite térmica es generalmente delgada en comparación con la capa límite de velocidad. Esta diferencia surge debido a la baja difusividad térmica del fluido en relación con su difusividad de momento. Esta característica influye en las relaciones de escala específicas dentro de la capa límite térmica.

En estos casos, el equilibrio entre las fuerzas de fricción y flotabilidad produce un espesor de capa límite térmica, , que se escala como: ${\displaystyle \delta _{T}}$

${\displaystyle \delta _{T}\sim H\,\mathrm {Ra_{H}} ^{-1/4}}$

La velocidad característica ( ) dentro de la capa límite está determinada por la difusividad térmica ( ) y el espesor de la capa límite térmica, lo que da como resultado: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle v\sim {\frac {\alpha H}{\delta _{T}^{2}}}\sim {\frac {\alpha }{H}}\,\mathrm {Ra_{H}} ^{1/2}}$

El coeficiente de transferencia de calor por convección ( ) es inversamente proporcional a . En consecuencia, el número de Nusselt ( ), definido como , donde es la conductividad térmica , escala como: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \delta _{T}}$ ${\displaystyle \mathrm {Nu} }$ ${\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {hH}{k}}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathrm {Nu} \sim \mathrm {Ra_{H}} ^{1/4}}$

Estas relaciones de escala para el espesor de la capa límite térmica, la velocidad y el número de Nusselt han sido validadas por estudios experimentales, lo que confirma su aplicabilidad en la convección de fluidos con alto número de Prandtl. ^[4]

Conservación del momento en la capa viscosa

El movimiento del fluido no está confinado a una capa límite térmica de espesor . La capa calentada puede arrastrar viscosamente una capa adyacente de fluido no calentado, teniendo la capa exterior un espesor , donde >> . ${\displaystyle \delta _{T}}$ ${\displaystyle \delta _{T}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{T}}$

En este caso, se considera la conservación del momento en la capa límite de espesor . Como la capa exterior del fluido permanece isotérmica, no hay influencia de las fuerzas de flotación. La capa es impulsada por fuerzas viscosas de la capa más delgada, mientras que su propia inercia se opone a ellas. Esto da como resultado un equilibrio entre la inercia y la fricción en la capa con espesor : ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{T}}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle v{\frac {v}{H}}\sim \nu {\frac {v}{\delta ^{2}}}}$

La escala de velocidad vertical está determinada por el mecanismo impulsor, en concreto la capa. Eliminando las dos ecuaciones siguientes, el sistema se puede simplificar: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \delta _{T}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v{\frac {v}{H}}\sim \nu {\frac {v}{\delta ^{2}}}}$ y ${\displaystyle v\sim {\frac {\alpha }{H}}\,\mathrm {Ra_{H}} ^{1/2}}$

Por tanto, la escala de longitud característica para la convección térmica se puede expresar como:

${\displaystyle \delta \sim H\cdot Ra_{H}^{-1/4}\cdot Pr^{1/2}}$

donde, es la escala de longitud característica. ${\displaystyle \delta }$

Esta relación indica cómo la escala de longitud característica está influenciada por los números de Rayleigh y Prandtl en un sistema de convección.

La relación entre el espesor de la capa exterior y el de la capa interior viene dada por: ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta _{T}}}\sim {\text{Pr}}^{1/2}>1}$

Esta relación indica que la escala de longitud característica es mayor que el espesor de la capa límite térmica cuando la raíz cuadrada del número de Prandtl es mayor que uno.

Características de flujo de la capa límite con dos escalas de longitud en una placa vertical calentada para fluidos de alto Prandtl

En conclusión, cuanto mayor sea el número de Prandtl, más gruesa será la capa de fluido no calentado que la capa calentada impulsa hacia arriba. Esta diferencia fundamental entre las capas límite de convección forzada y las capas límite de convección natural se ilustra mediante el perfil de velocidad, que se describe mediante dos escalas de longitud ( y ) en lugar de una única escala de longitud ( ) como en la convección forzada. ${\displaystyle \delta _{T}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Referencias

1. Incropera, FP y DeWitt, DP (2007). Fundamentos de transferencia de calor y masa (6.ª ed.). John Wiley & Sons.
2. Bejan, A. (2013). *Transferencia de calor por convección* (4.ª ed., pág. 174). John Wiley & Sons.
3. DA Nield y A. Bejan, Convección en medios porosos, 4.ª ed., Springer, Nueva York, 2013.
4. Bejan, A. (2013). *Transferencia de calor por convección* (4.ª ed., pág. 177). John Wiley & Sons.