Distribución de Poisson mixta

Una distribución de Poisson mixta es una distribución de probabilidad discreta univariada en estocásticos. Resulta de suponer que la distribución condicional de una variable aleatoria, dado el valor del parámetro de tasa, es una distribución de Poisson , y que el parámetro de tasa en sí se considera una variable aleatoria. Por tanto, es un caso especial de distribución de probabilidad compuesta . Las distribuciones mixtas de Poisson se pueden encontrar en matemáticas actuariales como un enfoque general para la distribución del número de reclamaciones y también se examinan como modelo epidemiológico . ^[1] No debe confundirse con la distribución de Poisson compuesta o el proceso de Poisson compuesto . ^[2]

Definición

Una variable aleatoria X satisface la distribución mixta de Poisson con densidad π ( λ ) si tiene la distribución de probabilidad ^[3]

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$

Si denotamos las probabilidades de la distribución de Poisson por q _λ ( k ), entonces

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$

Propiedades

• La varianza es siempre mayor que el valor esperado . Esta propiedad se llama sobredispersión . Esto contrasta con la distribución de Poisson, donde la media y la varianza son iguales.
• En la práctica, casi sólo se utilizan como densidades π ( λ ) densidades de distribuciones gamma , distribuciones normales logarítmicas y distribuciones gaussianas inversas . Si elegimos la densidad de la distribución gamma , obtenemos la distribución binomial negativa , lo que explica por qué también se llama distribución gamma de Poisson.

En lo siguiente, sea el valor esperado de la densidad y la varianza de la densidad. ${\displaystyle \mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$ ${\displaystyle \pi (\lambda )\,}$ ${\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$

Valor esperado

El valor esperado de la distribución mixta de Poisson es

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }.}$

Diferencia

Para la varianza se obtiene ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.}$

Oblicuidad

La asimetría se puede representar como

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.}$

Función característica

La función característica tiene la forma.

${\displaystyle \varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,}$

¿Dónde está la función generadora de momento de la densidad? ${\displaystyle M_{\pi }}$

Función generadora de probabilidad

Para la función generadora de probabilidad , se obtiene ^[3]

${\displaystyle m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,}$

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos de la distribución mixta de Poisson es

${\displaystyle M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,}$

Ejemplos

Tabla de distribuciones mixtas de Poisson

Literatura

• Jan Grandell: Procesos mixtos de Poisson. Chapman & Hall, Londres 1997, ISBN 0-412-78700-8.
• Tom Britton: modelos estocásticos de epidemias con inferencia. Springer, 2019, doi :10.1007/978-3-030-30900-8

Referencias

1. Willmot, Gordon E.; Lin, X. Sheldon (2001), "Distribuciones mixtas de Poisson", Aproximaciones de Lundberg para distribuciones compuestas con aplicaciones de seguros , Lecture Notes in Statistics, vol. 156, Nueva York, NY: Springer New York, págs. 37–49, doi :10.1007/978-1-4613-0111-0_3, ISBN 978-0-387-95135-5, recuperado 2022-07-08
2. Willmot, Gord (1986). "Distribuciones de Poisson compuestas mixtas". Boletín ASTIN . 16 (T1): S59-S79. doi : 10.1017/S051503610001165X . ISSN  0515-0361.
3. Willmot, Gord (29 de agosto de 2014). "Distribuciones de Poisson compuestas mixtas". Boletín Astin . 16 : 5–7. doi : 10.1017/S051503610001165X . S2CID  17737506.
4. Karlis, Dimitris; Xekalaki, Evdokia (2005). "Distribuciones mixtas de Poisson". Revista estadística internacional . 73 (1): 35–58. doi :10.1111/j.1751-5823.2005.tb00250.x. ISSN  0306-7734. JSTOR  25472639. S2CID  53637483.