Un proceso de Poisson compuesto es un proceso estocástico de tiempo continuo con saltos. Los saltos llegan aleatoriamente según un proceso de Poisson y el tamaño de los saltos también es aleatorio, con una distribución de probabilidad especificada. Para ser precisos, un proceso de Poisson compuesto, parametrizado por una distribución de velocidad y tamaño de salto G , es un proceso dado por![{\displaystyle \lambda >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y(t)=\sum _ {i=1}^{N(t)}D_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde, es la variable de conteo de un proceso de Poisson con tasa , y son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con función de distribución G , que también son independientes de![{\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando son variables aleatorias con valores enteros no negativos, entonces este proceso de Poisson compuesto se conoce como proceso de Poisson tartamudo.![{\ Displaystyle D_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades del proceso de Poisson compuesto.
El valor esperado de un proceso de Poisson compuesto se puede calcular utilizando un resultado conocido como ecuación de Wald como:
![{\displaystyle \operatorname {E} (Y(t))=\operatorname {E} (D_{1}+\cdots +D_{N(t)})=\operatorname {E} (N(t))\ nombre del operador {E} (D_ {1})=\nombre del operador {E} (N(t))\nombre del operador {E} (D)=\lambda t\nombre del operador {E} (D).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Haciendo un uso similar de la ley de la varianza total , la varianza se puede calcular como:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (Y(t))&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (Y(t)\mid N(t)))+\operatorname { var} (\operatorname {E} (Y(t)\mid N(t)))\\[5pt]&=\operatorname {E} (N(t)\operatorname {var} (D))+\operatorname {var} (N(t)\nombreoperador {E} (D))\\[5pt]&=\nombreoperador {var} (D)\nombreoperador {E} (N(t))+\nombreoperador {E} ( D)^{2}\operatorname {var} (N(t))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\lambda t+\operatorname {E} (D)^{2}\lambda t \\[5pt]&=\lambda t(\operatorname {var} (D)+\operatorname {E} (D)^{2})\\[5pt]&=\lambda t\operatorname {E} (D ^{2}).\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por último, utilizando la ley de probabilidad total , la función generadora de momento se puede dar de la siguiente manera:
![{\displaystyle \Pr(Y(t)=i)=\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (e^{sY})&=\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i)\\[5pt]& =\sum _{i}e^{si}\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)\\[5pt ]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\\ [5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(D_{1}+D_{2}+\cdots +D_{ n}=i)\\[5pt]&=\sum _ {n}\Pr(N(t)=n)M_{D}(s)^{n}\\[5pt]&=\sum _ n}\Pr(N(t)=n)e^{n\ln(M_{D}(s))}\\[5pt]&=M_{N(t)}(\ln(M_{D} (s)))\\[5pt]&=e^{\lambda t\left(M_{D}(s)-1\right)}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Exponenciación de medidas
Sean N , Y y D como se indica arriba. Sea μ la medida de probabilidad según la cual D se distribuye, es decir
![{\displaystyle \mu (A)=\Pr(D\in A).\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sea δ 0 la distribución de probabilidad trivial que pone toda la masa en cero. Entonces la distribución de probabilidad de Y ( t ) es la medida
![{\displaystyle \exp(\lambda t(\mu -\delta _ {0}))\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la exp exponencial ( ν ) de una medida finita ν en subconjuntos de Borel de la línea real se define por
![{\displaystyle \exp(\nu )=\sum _{n=0}^{\infty }{\nu ^{*n} \over n!}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle \nu ^{*n}=\underbrace {\nu *\cdots *\nu } _{n{\text{ factores}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es una convolución de medidas y la serie converge débilmente .
Ver también