Distribución de Poisson compuesta

Aspecto de la teoría de la probabilidad.

En teoría de la probabilidad , una distribución de Poisson compuesta es la distribución de probabilidad de la suma de un número de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente , donde el número de términos que se agregarán es en sí mismo una variable distribuida por Poisson . El resultado puede ser una distribución continua o discreta .

Definición

Suponer que

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

es decir, N es una variable aleatoria cuya distribución es una distribución de Poisson con valor esperado λ, y que

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

son variables aleatorias distribuidas idénticamente que son mutuamente independientes y también independientes de N . Entonces la distribución de probabilidad de la suma de variables aleatorias iid ${\displaystyle N}$

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$

es una distribución de Poisson compuesta.

En el caso N = 0, entonces esto es una suma de 0 términos, por lo que el valor de Y es 0. De ahí la distribución condicional de Y dado que N  = 0 es una distribución degenerada.

La distribución compuesta de Poisson se obtiene marginando la distribución conjunta de ( Y , N ) sobre N , y esta distribución conjunta se puede obtener combinando la distribución condicional Y  |  N con la distribución marginal de N .

Propiedades

El valor esperado y la varianza de la distribución compuesta se pueden derivar de forma sencilla a partir de la ley de expectativa total y la ley de varianza total . De este modo

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} (Y\mid N)\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {Var} (X)\right]+\operatorname {Var} \left[N\operatorname {E} (X)\right],\\[6pt]&=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\operatorname {Var} (N).\end{aligned}}}$

Entonces, dado que E( N ) = Var( N ) si N tiene distribución de Poisson, estas fórmulas se pueden reducir a

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (N)(\operatorname {Var} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})=\operatorname {E} (N){\operatorname {E} (X^{2})}.}$

La distribución de probabilidad de Y se puede determinar en términos de funciones características :

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} (e^{itY})=\operatorname {E} \left(\left(\operatorname {E} (e^{itX}\mid N)\right)^{N}\right)=\operatorname {E} \left((\varphi _{X}(t))^{N}\right),\,}$

y por lo tanto, utilizando la función generadora de probabilidad de la distribución de Poisson, tenemos

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,}$

Un enfoque alternativo es mediante funciones generadoras acumulativas :

${\displaystyle K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E} [e^{tY}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,}$

Mediante la ley de la acumulancia total se puede demostrar que, si la media de la distribución de Poisson λ  = 1, los cumulantes de Y son los mismos que los momentos de X ₁ . ^{[ cita necesaria ]}

Se puede demostrar que toda distribución de probabilidad infinitamente divisible es un límite de las distribuciones de Poisson compuestas. ^[1] Y las distribuciones compuestas de Poisson son infinitamente divisibles por la definición.

Distribución de Poisson compuesta discreta

Cuando hay variables aleatorias iid de valores enteros positivos con , entonces esta distribución de Poisson compuesta se denomina distribución de Poisson compuesta discreta ^{[2] [3] [4]} (o distribución de Poisson tartamuda ^[5] ). Decimos que la variable aleatoria discreta que satisface la caracterización de la función generadora de probabilidad ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ ${\displaystyle P(X_{1}=k)=\alpha _{k},\ (k=1,2,\ldots )}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle P_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

tiene una distribución compuesta discreta de Poisson (DCP) con parámetros (donde , con ), que se denota por ${\displaystyle (\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$ ${\textstyle \alpha _{i}\geq 0,\lambda >0}$

${\displaystyle X\sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _{1}},\lambda {\alpha _{2}},\ldots )}$

Además, si , decimos que tiene una distribución de orden de Poisson compuesta discreta . Cuando , DCP se convierte en distribución de Poisson y distribución de Hermite , respectivamente. Cuando , DCP se convierte en una distribución de Poisson con tartamudeo triple y una distribución de Poisson con tartamudeo cuádruple, respectivamente. ^[6] Otros casos especiales incluyen: distribución geométrica de desplazamiento , distribución binomial negativa , distribución geométrica de Poisson , distribución de Neyman tipo A , distribución de Luria-Delbrück en el experimento de Luria-Delbrück . Para un caso más especial de DCP, consulte el artículo de revisión ^[7] y las referencias que contiene. ${\displaystyle X\sim {\operatorname {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=1,2}$ ${\displaystyle r=3,4}$

La caracterización de Feller de la distribución de Poisson compuesta establece que un valor entero no negativo rv es infinitamente divisible si y sólo si su distribución es una distribución de Poisson compuesta discreta. ^[8] Se puede demostrar que la distribución binomial negativa es discreta infinitamente divisible , es decir, si X tiene una distribución binomial negativa, entonces para cualquier entero positivo n , existen variables aleatorias iid discretas X ₁ , ...,  X _n cuyas La suma tiene la misma distribución que X. La distribución geométrica de desplazamiento es una distribución de Poisson compuesta discreta, ya que es un caso trivial de distribución binomial negativa . ${\displaystyle X}$

Esta distribución puede modelar llegadas de lotes (como en una cola masiva ^{[5] [9]} ). La distribución de Poisson compuesta discreta también se utiliza ampliamente en la ciencia actuarial para modelar la distribución del monto total de la reclamación. ^[3]

Cuando algunos son negativos, se trata de la distribución de Poisson pseudocompuesta discreta. ^[3] Definimos que cualquier variable aleatoria discreta que satisfaga la caracterización de la función generadora de probabilidad ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

tiene una distribución de Poisson pseudocompuesta discreta con parámetros donde y , con . ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=:(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\alpha _{i}}=1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\left|{\alpha _{i}}\right|}<\infty }$ ${\displaystyle {\alpha _{i}}\in \mathbb {R} ,\lambda >0}$

Distribución compuesta de Poisson Gamma

Si X tiene una distribución gamma , de la cual la distribución exponencial es un caso especial, entonces la distribución condicional de Y  |  N es nuevamente una distribución gamma. Se puede demostrar que la distribución marginal de Y es una distribución Tweedie ^[10] con poder de varianza 1 <  p  <2 (prueba mediante comparación de la función característica (teoría de la probabilidad) ). Para ser más explícito, si

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),}$

y

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {\Gamma } (\alpha ,\beta )}$

iid, entonces la distribución de

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

es un modelo de dispersión exponencial reproductiva con ${\displaystyle ED(\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{aligned}}}$

El mapeo de los parámetros Tweedie a los parámetros Poisson y Gamma es el siguiente: ${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2},p}$ ${\displaystyle \lambda ,\alpha ,\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Procesos compuestos de Poisson

Un proceso de Poisson compuesto con distribución de velocidad y tamaño de salto G es un proceso estocástico de tiempo continuo dado por ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i},}$

donde la suma es por convención igual a cero siempre que N ( t ) = 0. Aquí, es un proceso de Poisson con tasa , y son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con función de distribución G , que también son independientes de ^[11] ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$ ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$

Para la versión discreta del proceso compuesto de Poisson, se puede utilizar en el análisis de supervivencia para los modelos de fragilidad. ^[12]

Aplicaciones

Revfeim utilizó una distribución de Poisson compuesta, en la que los sumandos tienen una distribución exponencial , para modelar la distribución de la lluvia total en un día, donde cada día contiene un número de eventos distribuidos por Poisson, cada uno de los cuales proporciona una cantidad de lluvia que tiene una distribución exponencial. ^[13] Thompson aplicó el mismo modelo a las precipitaciones totales mensuales. ^[14]

Ha habido aplicaciones para reclamaciones de seguros ^{[15] [16]} y tomografía computarizada por rayos X. ^{[17] [18] [19]}

Ver también

• Proceso de Poisson compuesto
• Distribución de ermitas
• Distribución binomial negativa
• Distribución geométrica
• Distribución geométrica de Poisson
• Distribución gamma
• distribución de veneno
• Modelo inflado cero

Referencias

1. Lukács, E. (1970). Funciones características . Londres: Griffin. ISBN 0-85264-170-2.
2. Johnson, NL, Kemp, AW y Kotz, S. (2005) Distribuciones discretas univariadas, tercera edición, Wiley, ISBN 978-0-471-27246-5 . 
3. Huiming, Zhang; Yunxiao Liu; Bo Li (2014). "Notas sobre el modelo de Poisson compuesto discreto con aplicaciones a la teoría del riesgo". Seguros: Matemáticas y Economía . 59 : 325–336. doi :10.1016/j.insmatheco.2014.09.012.
4. Huiming, Zhang; Bo Li (2016). "Caracterizaciones de distribuciones de Poisson compuestas discretas". Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos . 45 (22): 6789–6802. doi :10.1080/03610926.2014.901375. S2CID  125475756.
5. Kemp, CD (1967). "Distribuciones "tartamudeo - Poisson". Revista de investigación estadística y social de Irlanda . 21 (5): 151–157. hdl : 2262/6987.
6. Patel, YC (1976). Estimación de los parámetros de las distribuciones Stuttering-Poisson triple y cuádruple. Tecnometría, 18(1), 67-73.
7. Wimmer, G., Altmann, G. (1996). La distribución múltiple de Poisson, sus características y variedad de formas. Revista biométrica, 38(8), 995-1011.
8. Feller, W. (1968). Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . vol. Yo (3ª ed.). Nueva York: Wiley.
9. Adelson, RM (1966). "Distribuciones de Poisson compuestas". Revista de la Sociedad de Investigación Operativa . 17 (1): 73–75. doi :10.1057/jors.1966.8.
10. Jørgensen, doblado (1997). La teoría de los modelos de dispersión . Chapman y Hall. ISBN 978-0412997112.
11. SM Ross (2007). Introducción a los modelos de probabilidad (novena ed.). Boston: Prensa académica. ISBN 978-0-12-598062-3.
12. Ata, N.; Özel, G. (2013). "Funciones de supervivencia para los modelos de fragilidad basados ​​​​en el proceso de Poisson compuesto discreto". Revista de simulación y computación estadística . 83 (11): 2105-2116. doi :10.1080/00949655.2012.679943. S2CID  119851120.
13. Revfeim, KJA (1984). "Un modelo inicial de la relación entre eventos de lluvia y precipitaciones diarias". Revista de Hidrología . 75 (1–4): 357–364. Código Bib : 1984JHyd...75..357R. doi :10.1016/0022-1694(84)90059-3.
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15. Jørgensen, doblado; Paes De Souza, Marta C. (enero de 1994). "Ajustar el modelo de Poisson compuesto de Tweedie a los datos de reclamaciones de seguros". Revista actuarial escandinava . 1994 (1): 69–93. doi :10.1080/03461238.1994.10413930.
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17. Whiting, Bruce R. (3 de mayo de 2002). Antonuk, Larry E.; Yaffe, Martín J. (eds.). "Estadísticas de señales en tomografía computarizada de rayos X". Imágenes Médicas 2002: Física de las Imágenes Médicas . 4682 . Sociedad Internacional de Óptica y Fotónica: 53–60. Código Bib : 2002SPIE.4682...53W. doi :10.1117/12.465601. S2CID  116487704.
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