Distribución de Borel

La distribución de Borel es una distribución de probabilidad discreta que surge en contextos que incluyen procesos de ramificación y teoría de colas . Lleva el nombre del matemático francés Émile Borel .

Si el número de descendientes que tiene un organismo tiene una distribución de Poisson , y si el número promedio de descendientes de cada organismo no es mayor que 1, entonces los descendientes de cada individuo finalmente se extinguirán. El número de descendientes que finalmente tiene un individuo en esa situación es una variable aleatoria distribuida según una distribución de Borel.

Definición

Se dice que una variable aleatoria discreta X  tiene una distribución de Borel ^{[1] [2]} con parámetro μ  ∈ [0,1] si la función de masa de probabilidad de X está dada por

${\displaystyle P_{\mu }(n)=\Pr(X=n)={\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}}$

para n  = 1, 2, 3 ....

Interpretación del proceso de derivación y ramificación.

Si un proceso de ramificación de Galton-Watson tiene una distribución de descendencia común de Poisson con media μ , entonces el número total de individuos en el proceso de ramificación tiene una distribución de Borel con parámetro  μ .

Sea X  el número total de individuos en un proceso de ramificación de Galton-Watson. Entonces, una correspondencia entre el tamaño total del proceso de ramificación y el tiempo de acierto para un paseo aleatorio asociado ^{[3] [4] [5]} da

${\displaystyle \Pr(X=n)={\frac {1}{n}}\Pr(S_{n}=n-1)}$

donde S _n  =  Y ₁  + … +  Y _n , y Y ₁  …  Y _n son variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente cuya distribución común es la distribución de la descendencia del proceso de ramificación. En el caso de que esta distribución común sea Poisson con media μ , la variable aleatoria S _n tiene una distribución de Poisson con media μn , lo que lleva a la función de masa de la distribución de Borel dada anteriormente.

Dado que la m -ésima generación del proceso de ramificación tiene un tamaño medio μ ^{m  − 1} , la media de X  es

${\displaystyle 1+\mu +\mu ^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-\mu }}.}$

Interpretación de la teoría de colas.

En una cola M/D/1 con tasa de llegada μ y tiempo de servicio común 1, la distribución de un período de ocupación típico de la cola es Borel con parámetro μ . ^[6]

Propiedades

Si P _μ ( n ) es la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria de Borel ( μ ), entonces la función de masa P^∗
_µ( n ) de una muestra sesgada por tamaño de la distribución (es decir, la función de masa proporcional a nP _μ ( n ) ) viene dada por

${\displaystyle P_{\mu }^{*}(n)=(1-\mu ){\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{(n-1)!}}.}$

Aldous y Pitman ^[7] muestran que

${\displaystyle P_{\mu }(n)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mu }P_{\lambda }^{*}(n)\,d\lambda .}$

En palabras, esto dice que una variable aleatoria de Borel ( μ ) tiene la misma distribución que una variable aleatoria de Borel ( μU ) sesgada por tamaño , donde U tiene una distribución uniforme en [0,1].

Esta relación conduce a varias fórmulas útiles, incluyendo

${\displaystyle \operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {\mu }{2}}.}$

Distribución Borel-Tanner

La distribución de Borel-Tanner generaliza la distribución de Borel. Sea k un número entero positivo. Si X ₁ ,  X ₂ , …  X _k son independientes y cada uno tiene una distribución de Borel con parámetro μ , entonces se dice que su suma W  =  X ₁  +  X ₂  + … +  X _k tiene una distribución de Borel-Tanner con parámetros μ y k . ^{[2] [6] [8]} Esto proporciona la distribución del número total de individuos en un proceso Poisson-Galton-Watson que comienza con k individuos en la primera generación, o del tiempo necesario para que una cola M/D/1 vacío comenzando con k trabajos en la cola. El caso k  = 1 es simplemente la distribución de Borel anterior.

Generalizando la correspondencia del paseo aleatorio dada anteriormente para k  = 1, ^{[4] [5]}

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}\Pr(S_{n}=n-k)}$

donde S _n tiene distribución de Poisson con media nμ . Como resultado, la función de masa de probabilidad viene dada por

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}{\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-k}}{(n-k)!}}}$

para norte  =  k ,  k  + 1, ... .

Referencias

1. Borel, Émile (1942). "Sur l'emploi du théorème de Bernoulli pour faciliter le calcul d'une infinité de coeficientes. Application au problème de l'attente à un guichet". CR Acad. Ciencia. 214 : 452–456.
2. Tanner, JC (1961). "Una derivación de la distribución de Borel". Biometrika . 48 (1–2): 222–224. doi :10.1093/biomet/48.1-2.222. JSTOR  2333154.
3. Nutria, R. (1949). "El proceso multiplicativo". Los anales de la estadística matemática . 20 (2): 206–224. doi : 10.1214/aoms/1177730031 .
4. Dwass, Meyer (1969). "La progenie total en un proceso de ramificación y un paseo aleatorio relacionado". Revista de probabilidad aplicada . 6 (3): 682–686. doi :10.2307/3212112. JSTOR  3212112.
5. Pitman, Jim (1997). «Enumeración de árboles y bosques relacionados con procesos de ramificación y paseos aleatorios» (PDF) . Microencuestas en probabilidad discreta: Taller DIMACS (41).
6. Haight, FA; Breuer, MA (1960). "La distribución Borel-Tanner". Biometrika . 47 (1–2): 143–150. doi :10.1093/biomet/47.1-2.143. JSTOR  2332966.
7. Aldous, D.; Pitman, J. (1998). "Cadenas de Markov con valores de árboles derivadas de procesos de Galton-Watson" (PDF) . Anales del Instituto Henri Poincaré B. 34 (5): 637. Código bibliográfico : 1998AIHPB..34..637A. CiteSeerX 10.1.1.30.9545 . doi :10.1016/S0246-0203(98)80003-4. 
8. Tanner, JC (1953). "Un problema de interferencia entre dos colas". Biometrika . 40 (1–2): 58–69. doi :10.1093/biomet/40.1-2.58. JSTOR  2333097.

enlaces externos

• Distribución de Borel-Tanner en Mathematica.