Distribución de borel

La distribución de Borel es una distribución de probabilidad discreta que surge en contextos que incluyen procesos de ramificación y teoría de colas . Recibe su nombre en honor al matemático francés Émile Borel .

Si el número de descendientes que tiene un organismo sigue una distribución de Poisson y el número medio de descendientes de cada organismo no es mayor que 1, entonces los descendientes de cada individuo acabarán extinguiéndose. El número de descendientes que un individuo acaba teniendo en esa situación es una variable aleatoria distribuida según una distribución de Borel.

Definición

Se dice que una variable aleatoria discreta X  tiene una distribución de Borel ^{[1] [2]} con parámetro μ  ∈ [0,1] si la función de masa de probabilidad de X está dada por

${\displaystyle P_{\mu }(n)=\Pr(X=n)={\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}}$

para n  = 1, 2, 3 ....

Interpretación del proceso de derivación y ramificación

Si un proceso de ramificación de Galton-Watson tiene una distribución de descendencia común de Poisson con media μ , entonces el número total de individuos en el proceso de ramificación tiene una distribución de Borel con parámetro  μ .

Sea X  el número total de individuos en un proceso de ramificación de Galton-Watson. Entonces, una correspondencia entre el tamaño total del proceso de ramificación y un tiempo de impacto para un paseo aleatorio asociado ^{[3] [4] [5]} da

${\displaystyle \Pr(X=n)={\frac {1}{n}}\Pr(S_{n}=n-1)}$

donde S _n  =  Y ₁  + … +  Y _n , y Y ₁  …  Y _n son variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica cuya distribución común es la distribución de la descendencia del proceso de ramificación. En el caso en que esta distribución común sea Poisson con media μ , la variable aleatoria S _n tiene distribución Poisson con media μn , lo que conduce a la función de masa de la distribución de Borel dada anteriormente.

Dado que la m -ésima generación del proceso de ramificación tiene un tamaño medio μ ^{m  − 1} , la media de X  es

${\displaystyle 1+\mu +\mu ^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-\mu }}.}$

Interpretación de la teoría de colas

En una cola M/D/1 con una tasa de llegada μ y un tiempo de servicio común 1, la distribución de un período de actividad típico de la cola es Borel con parámetro μ . ^[6]

Propiedades

Si P _μ ( n ) es la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria Borel( μ ), entonces la función de masa P^∗
_μ( n ) de una muestra sesgada por tamaño de la distribución (es decir, la función de masa proporcional a nP _μ ( n ) ) está dada por

${\displaystyle P_{\mu }^{*}(n)=(1-\mu ){\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{(n-1)!}}.}$

Aldous y Pitman ^[7] demuestran que

${\displaystyle P_{\mu }(n)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mu }P_{\lambda }^{*}(n)\,d\lambda .}$

En palabras, esto dice que una variable aleatoria Borel( μ ) tiene la misma distribución que una variable aleatoria Borel( μU ) sesgada por tamaño , donde U tiene la distribución uniforme en [0,1].

Esta relación conduce a varias fórmulas útiles, entre ellas:

${\displaystyle \operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {\mu }{2}}.}$

Distribución de Borel-Tanner

La distribución de Borel-Tanner generaliza la distribución de Borel. Sea k un entero positivo. Si X ₁ ,  X ₂ , …  X _k son independientes y cada uno tiene una distribución de Borel con parámetro μ , entonces se dice que su suma W  =  X ₁  +  X ₂  + … +  X _k tiene una distribución de Borel-Tanner con parámetros μ y k . ^{[2] [6] [8]} Esto da la distribución del número total de individuos en un proceso de Poisson-Galton-Watson que comienza con k individuos en la primera generación, o del tiempo que tarda una cola M/D/1 en vaciarse comenzando con k trabajos en la cola. El caso k  = 1 es simplemente la distribución de Borel anterior.

Generalizando la correspondencia de caminata aleatoria dada anteriormente para k  = 1, ^{[4] [5]}

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}\Pr(S_{n}=n-k)}$

donde S _n tiene distribución de Poisson con media nμ . Como resultado, la función de masa de probabilidad está dada por

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}{\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-k}}{(n-k)!}}}$

para n  =  k ,  k  + 1, ... .

Referencias

1. Borel, Émile (1942). "Sur l'emploi du théorème de Bernoulli pour faciliter le calcul d'une infinité de coeficientes. Application au problème de l'attente à un guichet". CR Acad. Ciencia. 214 : 452–456.
2. Tanner, JC (1961). "Una derivación de la distribución de Borel". Biometrika . 48 (1–2): 222–224. doi :10.1093/biomet/48.1-2.222. JSTOR  2333154.
3. Otter, R. (1949). "El proceso multiplicativo". Anales de estadística matemática . 20 (2): 206–224. doi : 10.1214/aoms/1177730031 .
4. Dwass, Meyer (1969). "La progenie total en un proceso de ramificación y un paseo aleatorio relacionado". Journal of Applied Probability . 6 (3): 682–686. doi :10.2307/3212112. JSTOR  3212112.
5. Pitman, Jim (1997). "Enumeraciones de árboles y bosques relacionados con procesos de ramificación y recorridos aleatorios" (PDF) . Microencuestas en probabilidad discreta: taller DIMACS (41).
6. Haight, FA; Breuer, MA (1960). "La distribución de Borel-Tanner". Biometrika . 47 (1–2): 143–150. doi :10.1093/biomet/47.1-2.143. JSTOR  2332966.
7. Aldous, D.; Pitman, J. (1998). "Cadenas de Markov con valores arbóreos derivadas de procesos de Galton-Watson" (PDF) . Annales de l'Institut Henri Poincaré B . 34 (5): 637. Bibcode :1998AIHPB..34..637A. CiteSeerX 10.1.1.30.9545 . doi :10.1016/S0246-0203(98)80003-4. 
8. Tanner, JC (1953). "Un problema de interferencia entre dos colas". Biometrika . 40 (1–2): 58–69. doi :10.1093/biomet/40.1-2.58. JSTOR  2333097.

Enlaces externos

• Distribución de Borel-Tanner en Mathematica.