Disco (matemáticas)

Disco con
  circunferencia C

  diámetro D

  radio R

  centro u origen O

En geometría , un disco ( también escrito disc ) ^[1] es la región en un plano delimitada por un círculo . Se dice que un disco está cerrado si contiene el círculo que constituye su límite, y abierto si no lo contiene. ^[2]

Para un radio de , un disco abierto se denota generalmente como y un disco cerrado es . Sin embargo, en el campo de la topología, el disco cerrado se denota generalmente como mientras que el disco abierto es . ${\estilo de visualización r}$ $Estilo de visualización D_{r}$ ${\overline {D_{r}}}$ $Estilo de visualización D^{2}}$ $\nombreoperador {int} D^{2}$

Fórmulas

En coordenadas cartesianas , el disco abierto de centro y radio R viene dado por la fórmula: ^[1] ${\estilo de visualización (a,b)}$

D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}<R^{2}\}

mientras que el disco cerrado del mismo centro y radio viene dado por:

{\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}\leq R^{2}\}.

El área de un disco cerrado o abierto de radio R es π R ² (ver área de un disco ). ^[3]

Propiedades

El disco tiene simetría circular . ^[4]

El disco abierto y el disco cerrado no son topológicamente equivalentes (es decir, no son homeomorfos ), ya que tienen diferentes propiedades topológicas entre sí. Por ejemplo, todo disco cerrado es compacto mientras que todo disco abierto no lo es. ^[5] Sin embargo, desde el punto de vista de la topología algebraica, comparten muchas propiedades: ambos son contráctiles ^[6] y, por lo tanto, son homotópicamente equivalentes a un único punto. Esto implica que sus grupos fundamentales son triviales, y todos los grupos de homología son triviales excepto el 0, que es isomorfo a Z. La característica de Euler de un punto (y, por lo tanto, también la de un disco cerrado o abierto) es 1. ^[7]

Toda función continua del disco cerrado hacia sí mismo tiene al menos un punto fijo (no requerimos que la función sea biyectiva o incluso sobreyectiva ); este es el caso n = 2 del teorema del punto fijo de Brouwer . ^[8] La afirmación es falsa para el disco abierto: ^[9]

Consideremos, por ejemplo, la función que asigna cada punto del disco unitario abierto a otro punto del disco unitario abierto a la derecha del dado, pero para el disco unitario cerrado fija cada punto del semicírculo. $f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)$ $x^{2}+y^{2}=1,x>0.$

Como distribución estadística

La distancia promedio a una ubicación desde puntos en un disco

En estadística, se encuentra ocasionalmente una distribución uniforme en un disco circular unitario. Se da con mayor frecuencia en la investigación de operaciones en las matemáticas de la planificación urbana, donde se puede utilizar para modelar una población dentro de una ciudad. Otros usos pueden aprovechar el hecho de que es una distribución para la que es fácil calcular la probabilidad de que se cumpla un conjunto dado de desigualdades lineales. ( Las distribuciones gaussianas en el plano requieren cuadratura numérica ).

"Un ingenioso argumento a través de funciones elementales" muestra que la distancia euclidiana media entre dos puntos del disco $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}es128/45π⁠ ≈ 0,90541$ ,^[10] mientras que la integración directa en coordenadas polares muestra que la distancia cuadrática media es $1$ .

Si se nos da una ubicación arbitraria a una distancia $q$ del centro del disco, también es interesante determinar la distancia promedio $b (q)$ desde los puntos de la distribución hasta esta ubicación y el cuadrado promedio de dichas distancias. El último valor se puede calcular directamente como $q 2 + ⁠ 1 / 2 ⁠$ .

Distancia media a un punto interno arbitrario

La distancia media desde un disco a un punto interno

Para encontrar $b (q)$ necesitamos mirar por separado los casos en los que la ubicación es interna o externa, es decir en los que $q ≶ 1$ , y encontramos que en ambos casos el resultado sólo puede expresarse en términos de integrales elípticas completas .

Si consideramos una ubicación interna, nuestro objetivo (mirando el diagrama) es calcular el valor esperado de $r$ bajo una distribución cuya densidad $es$ $1 / π ⁠$ para $0 \leq r \leq s (θ)$ , integrando en coordenadas polares centradas en la ubicación fija para la cual el área de una celda es $r d r dθ$ ; por lo tanto $b(q)={\frac {1}{\pi}}\int _{0}^{2\pi}}{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi}}\int _{0}^{2\pi}s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .$

Aquí $s (θ)$ se puede encontrar en términos de $q$ y $θ$ usando la Ley de cosenos . Los pasos necesarios para evaluar la integral, junto con varias referencias, se encontrarán en el artículo de Lew et al.; ^[10] el resultado es que donde $K$ y $E$ son integrales elípticas completas de primera y segunda clase. ^[11] $b$ $(0) =$ $⁠$ $b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}$ $2 / 3 ⁠$ ; $b (1) = ⁠ 32 / 9π ⁠ \approx 1.13177$ .

Distancia media a un punto externo arbitrario

La distancia media desde un disco a un punto externo

Pasando a una ubicación externa, podemos plantear la integral de manera similar, obteniendo esta vez

$b(q)={\frac {2}{3\pi}}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta$ donde la ley de los cosenos nos dice que $s + (θ)$ y $s - (θ)$ son las raíces de $s$ de la ecuación. Por lo tanto, podemos sustituir $u$ $=$ $q$ $sinθ$ para obtener usando integrales estándar. ^[12] $s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.$ $b(q)={\frac {4}{3\pi}}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .$ ${\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{alineado}}$

Por lo tanto, nuevamente $b (1) = ⁠ 32 / 9π ⁠$ , mientras que también^[13] $\lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.$

Véase también

Disco unitario , un disco con radio uno
Anillo (matemáticas) , la región entre dos círculos concéntricos
Bola (matemáticas) , término habitual para el análogo tridimensional de un disco.
Álgebra de discos , un espacio de funciones en un disco
Segmento circular
Disco ortocentroidal , que contiene ciertos centros de un triángulo

Referencias

^ ab Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), Diccionario Oxford conciso de matemáticas, Oxford University Press, pág. 138, ISBN 9780199679591.
^ Arnold, BH (2013), Conceptos intuitivos en topología elemental, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, pág. 58, ISBN 9780486275765.
^ Rotman, Joseph J. (2013), Un viaje a las matemáticas: una introducción a las pruebas, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, pág. 44, ISBN 9780486151687.
^ Altmann, Simon L. (1992). Iconos y simetrías . Oxford University Press. ISBN 9780198555995. simetría circular del disco.
^ Maudlin, Tim (2014), Nuevos fundamentos para la geometría física: la teoría de las estructuras lineales, Oxford University Press, pág. 339, ISBN 9780191004551.
^ Cohen, Daniel E. (1989), Teoría de grupos combinatorios: un enfoque topológico, Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 14, Cambridge University Press, pág. 79, ISBN 9780521349369.
^ En dimensiones superiores, la característica de Euler de una bola cerrada sigue siendo igual a +1, pero la característica de Euler de una bola abierta es +1 para bolas de dimensión par y -1 para bolas de dimensión impar. Véase Klain, Daniel A.; Rota, Gian-Carlo (1997), Introducción a la probabilidad geométrica , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, págs. 46-50..
^ Arnold (2013), pág. 132.
^ Arnold (2013), Ex. 1, pág. 135.
^ ab JS Lew et al., "Sobre las distancias medias en un disco circular" (1977).
^ Abramowitz y Stegun , 17.3.
^ Gradshteyn y Ryzhik 3.155.7 y 3.169.9, teniendo debidamente en cuenta la diferencia de notación con respecto a Abramowitz y Stegun. (Compare A&S 17.3.11 con G&R 8.113.) Este artículo sigue la notación de A&S.
^ Abramowitz y Stegun, 17.3.11 y siguientes.