Medida discreta

Representación esquemática de la medida de Dirac mediante una línea coronada por una flecha. La medida de Dirac es una medida discreta cuyo soporte es el punto 0. La medida de Dirac de cualquier conjunto que contenga 0 es 1, y la medida de cualquier conjunto que no contenga 0 es 0.

En matemáticas , más precisamente en la teoría de la medida , una medida en la línea real se denomina medida discreta (con respecto a la medida de Lebesgue ) si se concentra en un conjunto numerable como máximo . El soporte no necesita ser un conjunto discreto . Geométricamente, una medida discreta (en la línea real, con respecto a la medida de Lebesgue) es una colección de masas puntuales.

Definición y propiedades

Dadas dos medidas σ-finitas (positivas) y en un espacio medible . Entonces se dice que es discreto con respecto a si existe un subconjunto numerable como máximo en tal que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

1. Todos los singletons con son mensurables (lo que implica que cualquier subconjunto de es medible) ${\displaystyle \{s\}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle \nu (S)=0\,}$
3. ${\displaystyle \mu (X\setminus S)=0.\,}$

Una medida de es discreta (con respecto a ) si y solo si tiene la forma ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\delta _{s_{i}}}$

con y medidas de Dirac en el conjunto definido como ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \delta _{s_{i}}}$ ${\displaystyle S=\{s_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \delta _{s_{i}}(X)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}s_{i}\in X\\0&{\mbox{ if }}s_{i}\not \in X\\\end{cases}}}$

Para todos . ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

También se puede definir el concepto de discreción para medidas con signo . Entonces, en lugar de las condiciones 2 y 3 anteriores, se debería pedir que sea cero en todos los subconjuntos medibles de y sea cero en los subconjuntos medibles de ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\backslash S.}$

Ejemplo deR

Se dice que una medida definida en los conjuntos medibles de Lebesgue de la línea real con valores en es discreta si existe una secuencia (posiblemente finita) de números ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$

${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots \,}$

de tal manera que

${\displaystyle \mu (\mathbb {R} \backslash \{s_{1},s_{2},\dots \})=0.}$

Nótese que los dos primeros requisitos de la sección anterior siempre se satisfacen para un subconjunto como máximo contable de la línea real si es la medida de Lebesgue. ${\displaystyle \nu }$

El ejemplo más simple de una medida discreta en la línea real es la función delta de Dirac. Se tiene y ${\displaystyle \delta .}$ ${\displaystyle \delta (\mathbb {R} \backslash \{0\})=0}$ ${\displaystyle \delta (\{0\})=1.}$

De manera más general, se puede demostrar que cualquier medida discreta en la línea real tiene la forma

${\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}$

para una secuencia apropiadamente elegida (posiblemente finita) de números reales y una secuencia de números de la misma longitud. ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$

Véase también

• Punto aislado  – Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Teorema de descomposición de Lebesgue
• Singleton (matemáticas)  : conjunto con exactamente un elemento
• Medida singular  – medida o distribución de probabilidad cuyo soporte es cero Medida de Lebesgue (u otra)Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

• "¿Por qué una medida atómica discreta debe admitir una descomposición en medidas de Dirac? Además, ¿qué es una "clase atómica"?". math.stackexchange.com . 24 de febrero de 2022.
• Kurbatov, VG (1999). Operadores diferenciales funcionales y ecuaciones . Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5624-1.

Enlaces externos

• AP Terekhin (2001) [1994], "Medida discreta", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press