Sistema de orden fraccionario

En los campos de los sistemas dinámicos y la teoría de control , un sistema de orden fraccionario es un sistema dinámico que puede modelarse mediante una ecuación diferencial fraccionaria que contiene derivadas de orden no entero . ^[1] Se dice que estos sistemas tienen dinámica fraccionaria . Las derivadas e integrales de órdenes fraccionarios se utilizan para describir objetos que pueden caracterizarse por no localidad de ley de potencia , ^[2] dependencia de largo alcance de ley de potencia o propiedades fractales . Los sistemas de orden fraccionario son útiles para estudiar el comportamiento anómalo de sistemas dinámicos en física, electroquímica , biología, viscoelasticidad y sistemas caóticos . ^[1]

Definición

Un sistema dinámico general de orden fraccionario se puede escribir en la forma ^[3]

${\displaystyle H(D^{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}})(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{l})=G(D^{\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}})(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k})}$

donde y son funciones del operador de derivada fraccionaria de órdenes y y y son funciones del tiempo. Un caso especial común de esto es el sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) en una variable: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$ ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle u_{j}}$

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{m}a_{k}D^{\alpha _{k}}\right)y(t)=\left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}D^{\beta _{k}}\right)u(t)}$

Los pedidos son en general cantidades complejas, pero dos casos interesantes son cuando los pedidos son proporcionales ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta \in R^{+}}$

y cuando también son racionales :

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta ={\frac {1}{q}},q\in Z^{+}}$

Cuando , las derivadas son de orden entero y el sistema se convierte en una ecuación diferencial ordinaria . Así, al aumentar la especialización, los sistemas LTI pueden ser de orden general, orden conmensurable, orden racional u orden entero. ${\displaystyle q=1}$

Función de transferencia

Al aplicar una transformada de Laplace al sistema LTI anterior, la función de transferencia se convierte en

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}s^{\beta _{k}}}{\sum _{k=0}^{m}a_{k}s^{\alpha _{k}}}}}$

Para órdenes generales , esta es una función de transferencia no racional. Las funciones de transferencia no racionales no pueden escribirse como una expansión en un número finito de términos (por ejemplo, una expansión binomial tendría un número infinito de términos) y en este sentido se puede decir que los sistemas de órdenes fraccionarios tienen el potencial de una memoria ilimitada. ^[3] ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$

Motivación para estudiar sistemas de orden fraccionario

Las leyes exponenciales son un enfoque clásico para estudiar la dinámica de las densidades de población, pero hay muchos sistemas en los que la dinámica se ve afectada más o menos por leyes exponenciales. En tales casos, los cambios anómalos en la dinámica se pueden describir mejor mediante funciones de Mittag-Leffler . ^[4]

La difusión anómala es un sistema dinámico más donde los sistemas de orden fraccional juegan un papel importante para describir el flujo anómalo en el proceso de difusión.

La viscoelasticidad es la propiedad de un material que muestra su naturaleza entre puramente elástica y puramente fluida. En el caso de los materiales reales, la relación entre la tensión y la deformación dada por la ley de Hooke y la ley de Newton tienen desventajas obvias. Por eso, GW Scott Blair introdujo una nueva relación entre la tensión y la deformación dada por

${\displaystyle \sigma (t)=E{D_{t}^{\alpha }}\varepsilon (t),\quad 0<\alpha <1.}$^{[ cita requerida ]}

En la teoría del caos , se ha observado que el caos se produce en sistemas dinámicos de orden 3 o más. Con la introducción de los sistemas de orden fraccionario, algunos investigadores estudian el caos en sistemas de orden total inferior a 3. ^[5]

En neurociencia , se ha descubierto que las neuronas piramidales neocorticales de ratas individuales se adaptan con una escala de tiempo que depende de la escala de tiempo de los cambios en las estadísticas del estímulo. Esta adaptación a múltiples escalas de tiempo es consistente con la diferenciación de orden fraccional, de modo que la tasa de activación de la neurona es una derivada fraccional de parámetros de estímulo que varían lentamente. ^[6]

Análisis de ecuaciones diferenciales fraccionarias

Consideremos un problema de valor inicial de orden fraccionario :

${\displaystyle {_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }}x(t)=f(t,x(t)),\quad t\in [0,T],\quad x(0)=x_{0},\quad 0<\alpha <1.}$

Existencia y singularidad

Aquí, bajo la condición de continuidad de la función f, se puede convertir la ecuación anterior en la ecuación integral correspondiente.

${\displaystyle x(t)=x_{0}+{_{0}^{C}D_{t}^{-\alpha }}f(t,x(t))=x_{0}+{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f(s,x(s))\,ds}{(t-s)^{1-\alpha }}},}$

Se puede construir un espacio de soluciones y definir, mediante esa ecuación, un automapa continuo en el espacio de soluciones, luego aplicar un teorema de punto fijo , para obtener un punto fijo , que es la solución de la ecuación anterior.

Simulación numérica

Para la simulación numérica de la solución de las ecuaciones anteriores, Kai Diethelm ha sugerido el método de Adams-Bashforth lineal fraccional de múltiples pasos o métodos de cuadratura . ^[7]

Véase también

• Atenuación acústica
• Diferencial integral
• Cálculo fraccionario
• Control de orden fraccionario
• Integrador de orden fraccionario
• Ecuación fraccionaria de Schrödinger
• Mecánica cuántica fraccional

Referencias

1. Monje, Concepción A. (2010). Sistemas y controles de orden fraccionario: fundamentos y aplicaciones . Springer. ISBN 9781849963350.
2. Cattani, Carlo; Srivastava, Hari M.; Yang, Xiao-Jun (2015). Dinámica fraccionaria. Walter de Gruyter KG. pag. 31.ISBN​ 9783110472097.
3. Vinagre, Blas M.; Monje, CA; Calderon, Antonio J. "Sistemas de orden fraccional y acciones de control de orden fraccional" (PDF) . 41.ª Conferencia IEEE sobre decisión y control .
4. Rivero, M. (2011). "Dinámica fraccional de poblaciones". Appl. Math. Comput . 218 (3): 1089–95. doi :10.1016/j.amc.2011.03.017.
5. Petras, Ivo; Bednarova, Dagmar (2009). "Sistemas caóticos de orden fraccional". Conferencia IEEE de 2009 sobre tecnologías emergentes y automatización de fábricas . págs. 1–8. doi :10.1109/ETFA.2009.5347112. ISBN 978-1-4244-2727-7. Número de identificación del sujeto  15126209.
6. Lundstrom, Brian N.; Higgs, Matthew H.; Spain, William J.; Fairhall, Adrienne L. (noviembre de 2008). "Diferenciación fraccional por neuronas piramidales neocorticales". Nature Neuroscience . 11 (11): 1335–1342. doi :10.1038/nn.2212. ISSN  1546-1726. PMC 2596753 . PMID  18931665. 
7. Diethelm, Kai. "Un estudio de métodos numéricos en cálculo fraccionario" (PDF) . CNAM . Consultado el 6 de septiembre de 2017 .

Lectura adicional

• West, Bruce; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). "3. Dinámica fraccional". Física de operadores fractales . Springer. págs. 77–120. ISBN 978-0-387-95554-4.
• Zaslavsky, George M. (23 de diciembre de 2004). Caos hamiltoniano y dinámica fraccional. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-852604-9.
• Lakshmikantham, V.; Leela, S.; Devi, J. Vasundhara (2009). Teoría de sistemas dinámicos fraccionarios. Cambridge Scientific.^{[ enlace muerto permanente ]}
• Tarasov, VE (2010). Dinámica fraccional: aplicaciones del cálculo fraccional a la dinámica de partículas, campos y medios . Springer. ISBN 978-3-642-14003-7.
• Caponetto, R.; Dongola, G.; Fortuna, L.; Petras, I. (2010). Sistemas de orden fraccionario: aplicaciones de modelado y control. World Scientific. Bibcode :2010fosm.book.....C. Archivado desde el original el 2012-03-25 . Consultado el 2016-10-17 .
• Klafter, J.; Lim, SC; Metzler, R., eds. (2011). Dinámica fraccional. Avances recientes . World Scientific. doi :10.1142/8087. ISBN. 978-981-4340-58-8.

• Li, Changpin; Wu, Yujiang; Ye, Ruisong, eds. (2013). Avances recientes en dinámica no lineal aplicada con análisis numérico: dinámica fraccional, dinámica de redes, dinámica clásica y dinámica fractal con sus simulaciones numéricas . Ciencias matemáticas interdisciplinarias. Vol. 15. World Scientific. doi :10.1142/8637. ISBN. 978-981-4436-45-8.
• Igor Podlubny (27 de octubre de 1998). Ecuaciones diferenciales fraccionarias: Introducción a las derivadas fraccionarias, ecuaciones diferenciales fraccionarias, métodos para su solución y algunas de sus aplicaciones. Elsevier. ISBN 978-0-08-053198-4.
• Miller, Kenneth S. (1993). Ross, Bertram (ed.). Introducción al cálculo fraccionario y ecuaciones diferenciales fraccionarias . Wiley. ISBN 0-471-58884-9.
• Oldham, Keith B.; Spanier, Jerome (1974). El cálculo fraccionario: teoría y aplicaciones de la diferenciación y la integración en orden arbitrario . Matemáticas en la ciencia y la ingeniería. Vol. V. Academic Press. ISBN 0-12-525550-0.

Enlaces externos

• Aplicaciones del cálculo fraccional en control automático y robótica Un tutorial sobre cálculo fraccional, sistemas de orden fraccional y teoría de control de orden fraccional.