Dinámica de vuelo de naves espaciales

Aplicación de la dinámica mecánica a la modelización del vuelo de vehículos espaciales.

Ruta de vuelo de la misión de aterrizaje lunar humano del Apolo 11 , julio de 1969

La dinámica de vuelo de naves espaciales es la aplicación de la dinámica mecánica para modelar cómo las fuerzas externas que actúan sobre un vehículo espacial o una nave espacial determinan su trayectoria de vuelo. Estas fuerzas son principalmente de tres tipos: fuerza propulsora proporcionada por los motores del vehículo; fuerza gravitacional ejercida por la Tierra y otros cuerpos celestes; y sustentación y resistencia aerodinámica (cuando se vuela en la atmósfera de la Tierra u otro cuerpo, como Marte o Venus).

Los principios de la dinámica de vuelo se utilizan para modelar el vuelo propulsado de un vehículo durante el lanzamiento desde la Tierra; el vuelo orbital de una nave espacial; maniobras para cambiar de órbita; vuelo translunar e interplanetario; lanzamiento y aterrizaje en un cuerpo celeste, con o sin atmósfera; entrada a través de la atmósfera de la Tierra u otro cuerpo celeste; y control de actitud . Generalmente están programados en los sistemas de navegación inercial de un vehículo y monitoreados en tierra por un miembro del equipo de controladores de vuelo conocido en la NASA como oficial de dinámica de vuelo , o en la Agencia Espacial Europea como navegador de la nave espacial.

La dinámica de vuelo depende de las disciplinas de la propulsión, la aerodinámica y la astrodinámica ( mecánica orbital y mecánica celeste ). No puede reducirse a un simple control de actitud; Las naves espaciales reales no tienen volante ni timón como los aviones o los barcos. A diferencia de la forma en que se representan las naves espaciales ficticias, una nave espacial en realidad no se inclina para girar en el espacio exterior, donde su trayectoria de vuelo depende estrictamente de las fuerzas gravitacionales que actúan sobre ella y de las maniobras de propulsión aplicadas.

Principios básicos

El vuelo de un vehículo espacial está determinado por la aplicación de la segunda ley del movimiento de Newton :

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$

Fvectorialava

Los cálculos de la dinámica de vuelo se realizan mediante sistemas de guía computarizados a bordo del vehículo; El estado de la dinámica de vuelo es monitoreado en tierra durante las maniobras motorizadas por un miembro del equipo de controladores de vuelo conocido en el Centro de Vuelos Espaciales Tripulados de la NASA como oficial de dinámica de vuelo , o en la Agencia Espacial Europea como navegador de la nave espacial. ^[1]

Para un vuelo atmosférico propulsado, las tres fuerzas principales que actúan sobre un vehículo son la fuerza propulsora , la fuerza aerodinámica y la gravitación . Otras fuerzas externas, como la fuerza centrífuga , la fuerza de Coriolis y la presión de la radiación solar, son generalmente insignificantes debido al tiempo relativamente corto de vuelo propulsado y al pequeño tamaño de la nave espacial, y generalmente pueden despreciarse en los cálculos de rendimiento simplificados. ^[2]

Propulsión

El empuje de un motor de cohete , en el caso general de funcionamiento en atmósfera, se aproxima mediante: ^[3]

$${\displaystyle F={\dot {m}}\;v_{e}={\dot {m}}\;v_{\text{e-opt}}+A_{e}(p_{e}-p_{\text{amb}})}$$

• ${\displaystyle {\dot {m}}}$es el flujo másico de gases de escape
• ${\displaystyle v_{e}}$es la velocidad de escape efectiva (a veces denominada c en las publicaciones)
• ${\displaystyle v_{\text{e-opt}}}$es la velocidad efectiva del chorro cuando p _amb = p _e
• ${\displaystyle A_{e}}$es el área de flujo en el plano de salida de la boquilla (o el plano donde el chorro sale de la boquilla si el flujo está separado)
• ${\displaystyle p_{e}}$es la presión estática en el plano de salida de la boquilla
• ${\displaystyle p_{\text{amb}}}$es la presión ambiental (o atmosférica)

La velocidad de escape efectiva del propulsor del cohete es proporcional al impulso específico del vacío y se ve afectada por la presión atmosférica: ^[4]

$${\displaystyle v_{e}=g_{0}\left(I_{\text{sp-vac}}-{\frac {A_{e}\,p_{\text{amb}}}{\dot {m}}}\right)}$$

dónde:

• ${\displaystyle I_{\text{sp-vac}}}$tiene unidades de segundos
• ${\displaystyle g_{0}}$es la aceleración gravitacional en la superficie de la Tierra

El impulso específico relaciona la capacidad delta-v con la cantidad de propulsor consumido según la ecuación del cohete Tsiolkovsky : ^[5]

$${\displaystyle \Delta v\ =v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$$

• ${\displaystyle m_{0}}$es la masa total inicial, incluido el propulsor, en kg (o lb)
• ${\displaystyle m_{1}}$es la masa total final en kg (o lb)
• ${\displaystyle v_{e}}$es la velocidad efectiva de escape en m/s (o pies/s)
• ${\displaystyle \Delta v}$es el delta-v en m/s (o pies/s)

fuerza aerodinámica

Las fuerzas aerodinámicas , presentes cerca de un cuerpo con una atmósfera importante como la Tierra , Marte o Venus , se analizan como: sustentación , definida como la componente de fuerza perpendicular a la dirección de vuelo (no necesariamente hacia arriba para equilibrar la gravedad, como en el caso de un avión); y arrastre , el componente paralelo y en dirección opuesta al vuelo. La sustentación y la resistencia se modelan como el producto de un coeficiente por la presión dinámica que actúa sobre un área de referencia: ^[6]

$${\displaystyle \mathbf {L} =C_{L}qA_{\text{ref}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {D} =C_{D}qA_{\text{ref}}}$$

dónde:

• C _L es aproximadamente lineal con α , el ángulo de ataque entre el eje del vehículo y la dirección de vuelo (hasta un valor límite), y es 0 en α = 0 para un cuerpo axisimétrico;
• C _D varía con α ² ;
• C _L y C _D varían con el número de Reynolds y el número de Mach ;
• q , la presión dinámica, es igual a 1/2 ρv ² , donde ρ es la densidad atmosférica, modelada para la Tierra como una función de la altitud en la Atmósfera Estándar Internacional (utilizando una distribución de temperatura supuesta, una variación de la presión hidrostática y la ley de los gases ideales). ); y
• Una _referencia es un área característica del vehículo, como el área de la sección transversal en el diámetro máximo.

Gravitación

La fuerza gravitacional que un cuerpo celeste ejerce sobre un vehículo espacial se modela tomando el cuerpo y el vehículo como masas puntuales; los cuerpos (Tierra, Luna, etc.) se simplifican como esferas; y la masa del vehículo es mucho menor que la masa del cuerpo, por lo que se puede despreciar su efecto sobre la aceleración gravitacional. Por tanto la fuerza gravitacional se calcula mediante:

$${\displaystyle \mathbf {W} =m\cdot g}$$

dónde:

• ${\displaystyle W}$es la fuerza gravitacional (peso);
• ${\displaystyle m}$es la masa del vehículo espacial; y
• ${\displaystyle r}$es la distancia radial del vehículo al centro del planeta; y
• ${\displaystyle r_{0}}$es la distancia radial desde la superficie del planeta hasta su centro; y
• ${\displaystyle g_{0}}$es la aceleración gravitacional en la superficie del planeta
• g es la aceleración gravitacional en altitud, que varía con el inverso del cuadrado de la distancia radial al centro del planeta: ^[7]
  $${\displaystyle g=g_{0}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{2}}$$

Vuelo propulsado

Las ecuaciones de movimiento utilizadas para describir el vuelo propulsado de un vehículo durante el lanzamiento pueden ser tan complejas como seis grados de libertad para cálculos en vuelo, o tan simples como dos grados de libertad para estimaciones preliminares de rendimiento. Los cálculos en vuelo tendrán en cuenta factores de perturbación como el achatamiento de la Tierra y la distribución no uniforme de la masa; y fuerzas gravitacionales de todos los cuerpos cercanos, incluidos la Luna, el Sol y otros planetas. Las estimaciones preliminares pueden hacer algunas suposiciones simplificadoras: un planeta esférico y uniforme; el vehículo se puede representar como una masa puntual; La solución de la trayectoria de vuelo presenta un problema de dos cuerpos ; y la trayectoria de vuelo local se encuentra en un solo plano) con una pérdida de precisión razonablemente pequeña. ^[7]

Vectores de velocidad, posición y fuerza que actúan sobre un vehículo espacial durante el lanzamiento.

El caso general de un lanzamiento desde la Tierra debe tener en cuenta el empuje del motor, las fuerzas aerodinámicas y la gravedad. La ecuación de aceleración se puede reducir de forma vectorial a escalar resolviéndola en sus componentes de tasa de cambio de tiempo tangencial (velocidad ) y angular (ángulo de la trayectoria de vuelo con respecto a la vertical local) con respecto a la plataforma de lanzamiento. Las dos ecuaciones quedan así: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}&={\frac {F\cos \alpha }{m}}-{\frac {D}{m}}-g\cos \theta \\{\dot {\theta }}&={\frac {F\sin \alpha }{mv}}+{\frac {L}{mv}}+\left({\frac {g}{v}}-{\frac {v}{r}}\right)\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

dónde:

• F es el empuje del motor;
• α es el ángulo de ataque;
• m es la masa del vehículo;
• D es la resistencia aerodinámica del vehículo ;
• L es su sustentación aerodinámica ;
• r es la distancia radial al centro del planeta; y
• g es la aceleración gravitacional en altitud.

La masa disminuye a medida que se consume el propulsor y se desprenden etapas, motores o tanques del cohete (si corresponde).

Los valores fijos de v y θ en el planeta en cualquier momento del vuelo se determinan mediante la integración numérica de las dos ecuaciones de velocidad desde el tiempo cero (cuando tanto v como θ son 0):

$${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {v}}\,dt\\\theta &=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {\theta }}\,dt\end{aligned}}}$$

El análisis de elementos finitos se puede utilizar para integrar las ecuaciones, dividiendo el vuelo en pequeños incrementos de tiempo.

Para la mayoría de los vehículos de lanzamiento , se generan niveles relativamente pequeños de sustentación y se emplea un giro por gravedad , dependiendo principalmente del tercer término de la ecuación de velocidad angular. En el momento del despegue, cuando el ángulo y la velocidad son cero, la ecuación del punto theta es matemáticamente indeterminada y no puede evaluarse hasta que la velocidad sea distinta de cero poco después del despegue. Pero observe que en esta condición, la única fuerza que puede hacer que el vehículo se incline es el empuje del motor que actúa con un ángulo de ataque distinto de cero (primer término) y tal vez con una ligera cantidad de sustentación (segundo término), hasta que se alcanza el ángulo de paso cero. En el giro por gravedad, el cabeceo se inicia aplicando un ángulo de ataque creciente (mediante el empuje del motor con cardán ), seguido de una disminución gradual del ángulo de ataque durante el resto del vuelo. ^{[7] [8]}

Una vez que se conocen la velocidad y el ángulo de la trayectoria de vuelo, la altitud y la distancia hacia abajo se calculan como: ^[7] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

Vectores de velocidad y fuerza que actúan sobre un vehículo espacial durante el descenso y aterrizaje motorizados

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{t_{0}}^{t}v\cos \theta \,dt\\r&=r_{0}+h\\s&=r_{0}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v}{r}}\sin \theta \,dt\end{aligned}}}$$

Los valores fijos en el planeta de v y θ se convierten a valores fijos en el espacio (inerciales) con las siguientes conversiones: ^[7]

$${\displaystyle v_{s}={\sqrt {v^{2}+2\omega rv\cos \varphi \sin \theta \sin A_{z}+(\omega r\cos \theta )^{2}}},}$$

ωφAz _esde acimut

$${\displaystyle \theta _{s}=\arccos \left({\frac {v\cos \theta }{v_{s}}}\right)}$$

La v _s final , θ _s y r deben coincidir con los requisitos de la órbita objetivo según lo determinado por la mecánica orbital (consulte Vuelo orbital, más arriba), donde la v _s final suele ser la velocidad periapsis (o circular) requerida y la θ _s final es 90. grados. Un análisis de descenso motorizado utilizaría el mismo procedimiento, con condiciones de contorno inversas.

Vuelo orbital

La mecánica orbital se utiliza para calcular el vuelo en órbita alrededor de un cuerpo central. Para órbitas suficientemente altas (generalmente al menos 190 kilómetros (100 millas náuticas) en el caso de la Tierra), se puede suponer que la fuerza aerodinámica es insignificante para misiones de duración relativamente corta (aunque puede haber una pequeña cantidad de resistencia que resulte en la decadencia de la órbita). energía orbital durante períodos de tiempo más largos.) Cuando la masa del cuerpo central es mucho mayor que la de la nave espacial y otros cuerpos están lo suficientemente lejos, la solución de las trayectorias orbitales puede tratarse como un problema de dos cuerpos. ^[9]

Se puede demostrar que esto da como resultado que la trayectoria sea idealmente una sección cónica (círculo, elipse, parábola o hipérbola) ^[10] con el cuerpo central ubicado en un foco. Las trayectorias orbitales son círculos o elipses; la trayectoria parabólica representa el primer escape del vehículo del campo gravitacional del cuerpo central. Las trayectorias hiperbólicas son trayectorias de escape con exceso de velocidad y se cubrirán en Vuelo interplanetario a continuación.

Las órbitas elípticas se caracterizan por tres elementos. ^[9] El semieje mayor a es el promedio del radio en la apoapsis y periapsis :

$${\displaystyle a={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}}$$

Entonces se puede calcular la excentricidad e para una elipse, conociendo los ábsides:

$${\displaystyle e={\frac {r_{a}}{a}}-1}$$

El período de tiempo para una órbita completa depende únicamente del semieje mayor y es independiente de la excentricidad: ^[11]

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$

parámetro gravitacional estándar ${\displaystyle \mu }$

Los elementos orbitales angulares de una nave espacial que orbita un cuerpo central, que definen la orientación de la órbita en relación con su plano de referencia fundamental.

La orientación de la órbita en el espacio está especificada por tres ángulos:

• La inclinación i , del plano orbital con el plano fundamental (este suele ser el plano ecuatorial de un planeta o de la luna, o en el caso de una órbita solar, el plano orbital de la Tierra alrededor del Sol, conocido como eclíptica ). La inclinación positiva es hacia el norte. , mientras que la inclinación negativa es hacia el sur.
• La longitud del nodo ascendente Ω, medida en el plano fundamental en sentido antihorario mirando hacia el sur, desde una dirección de referencia (normalmente el equinoccio de primavera ) hasta la línea donde la nave espacial cruza este plano de sur a norte. (Si la inclinación es cero, este ángulo no está definido y se toma como 0).
• El argumento del periapsis ω , medido en el plano orbital en sentido antihorario mirando hacia el sur, desde el nodo ascendente hasta el periapsis. Si la inclinación es 0, no hay ningún nodo ascendente, por lo que ω se mide desde la dirección de referencia. Para una órbita circular, no hay periapsis, por lo que ω se toma como 0.

Idealmente, el plano orbital es constante, pero suele estar sujeto a pequeñas perturbaciones causadas por el achatamiento planetario y la presencia de otros cuerpos.

La posición de la nave espacial en órbita está especificada por la verdadera anomalía, un ángulo medido desde el periapsis, o para una órbita circular, desde el nodo ascendente o dirección de referencia. El recto semilatus , o radio a 90 grados del periapsis, es: ^[12] ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle p=a(1-e^{2})\,}$$

El radio en cualquier posición en vuelo es:

$${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \nu }}}$$

$${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}}}$$

Tipos de órbita

Circular

Para una órbita circular, r _a = r _p = a y la excentricidad es 0. La velocidad circular en un radio dado es:

$${\displaystyle v_{c}={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}$$

Elíptico

Para una órbita elíptica, e es mayor que 0 pero menor que 1. La velocidad del periapsis es:

$${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {\mu (1+e)}{a(1-e)}}}}$$

$${\displaystyle v_{a}={\sqrt {\frac {\mu (1-e)}{a(1+e)}}}\,}$$

La condición límite es una órbita de escape parabólica , cuando e = 1 y r _a se vuelven infinitos. La velocidad de escape en el periapsis es entonces

$${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2\mu }{r_{p}}}}}$$

Ángulo de la trayectoria de vuelo

El momento angular específico de cualquier órbita cónica, h , es constante y es igual al producto del radio por la velocidad en el periapsis. En cualquier otro punto de la órbita, es igual a: ^[13]

$${\displaystyle h=rv\cos \varphi ,}$$

φrφ

$${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {r_{p}v_{p}}{rv}}\right)}$$

Tenga en cuenta que el ángulo de la trayectoria de vuelo es constante de 0 grados (90 grados desde la vertical local) para una órbita circular.

Verdadera anomalía en función del tiempo.

Se puede demostrar que la ecuación del momento angular proporcionada anteriormente también relaciona la tasa de cambio en la anomalía verdadera con r , v y φ , por lo que la anomalía verdadera se puede encontrar como una función del tiempo desde el paso del periapsis por integración: ^[14]

$${\displaystyle \nu =r_{p}v_{p}\int _{t_{p}}^{t}{\frac {1}{r^{2}}}\,dt}$$

Por el contrario, el tiempo necesario para llegar a una anomalía determinada es:

$${\displaystyle t={\frac {1}{r_{p}v_{p}}}\int _{0}^{\nu }r^{2}\,d\nu }$$

Maniobras orbitales

Una vez en órbita, una nave espacial puede encender motores de cohetes para realizar cambios en el plano a una altitud o tipo de órbita diferente, o para cambiar su plano orbital. Estas maniobras requieren cambios en la velocidad de la nave, y la ecuación clásica del cohete se utiliza para calcular los requisitos de propulsor para un delta-v determinado . Un presupuesto de delta- v sumará todos los requisitos de propulsor o determinará el delta-v total disponible a partir de una cantidad determinada de propulsor para la misión. La mayoría de las maniobras en órbita pueden modelarse como impulsivas , es decir, como un cambio casi instantáneo de velocidad, con una pérdida mínima de precisión.

Cambios en el plano

Circularización de órbita

Una órbita elíptica se convierte más fácilmente en una órbita circular en el periapsis o apoapsis aplicando un solo motor con un delta v igual a la diferencia entre la velocidad circular de la órbita deseada y la velocidad del periapsis o apoapsis de la órbita actual:

Para circularizar en el periapsis, se realiza una quemadura retrógrada:

$${\displaystyle \Delta v\ =v_{c}-v_{p}}$$

Para circularizar en la apoapsis se realiza una quemadura posigrado:

$${\displaystyle \Delta v\ =v_{c}-v_{a}}$$

Cambio de altitud por transferencia de Hohmann

Órbita de transferencia de Hohmann, 2, de una órbita (1) a una órbita superior (3)

Una órbita de transferencia de Hohmann es la maniobra más sencilla que se puede utilizar para mover una nave espacial de una altitud a otra. Se requieren dos encendidos: el primero para enviar la nave a la órbita de transferencia elíptica y el segundo para circularizar la órbita objetivo.

Para elevar una órbita circular en , la primera quemadura posigrado aumenta la velocidad a la velocidad del periapsis de la órbita de transferencia: ${\displaystyle v_{1}}$

$${\displaystyle \Delta v_{1}\ =v_{p}-v_{1}}$$

$${\displaystyle \Delta v_{2}\ =v_{2}-v_{a}}$$

Una maniobra para bajar la órbita es la imagen especular de la maniobra de elevación; ambas quemaduras se hacen retrógradas.

Cambio de altitud por transferencia bielíptica

Una transferencia bielíptica desde una órbita inicial circular baja (azul oscuro) a una órbita circular más alta (rojo)

Una maniobra de cambio de altitud un poco más complicada es la transferencia bielíptica , que consta de dos órbitas semielípticas; la primera, la quemadura posigrado envía la nave espacial a una apoapsis arbitrariamente alta elegida en algún punto alejado del cuerpo central. En este punto, una segunda quemadura modifica el periapsis para que coincida con el radio de la órbita final deseada, donde se realiza una tercera quemadura retrógrada para inyectar la nave espacial en la órbita deseada. ^[15] Si bien esto requiere un tiempo de transferencia más largo, una transferencia bielíptica puede requerir menos propulsor total que la transferencia Hohmann cuando la relación entre los radios de la órbita inicial y objetivo es 12 o mayor. ^{[16] [17]} ${\displaystyle r_{b}}$

Quemadura 1 (posigrado):

$${\displaystyle \Delta v_{1}\ ={v_{p}}_{1}-v_{1}}$$

$${\displaystyle \Delta v_{2}\ ={v_{a}}_{2}-{v_{a}}_{1}}$$

$${\displaystyle \Delta v_{3}\ =v_{2}-{v_{p}}_{2}}$$

Cambio de avión

Las maniobras de cambio de avión se pueden realizar solas o junto con otros ajustes de órbita. Para una maniobra de cambio de plano de rotación pura, que consiste únicamente en un cambio en la inclinación de la órbita, el momento angular específico, h , de las órbitas inicial y final son iguales en magnitud pero no en dirección. Por tanto, el cambio en el momento angular específico se puede escribir como:

$${\displaystyle \Delta h=2h\sin \left({\frac {|\Delta i|}{2}}\right)}$$

hi^[18]v

$${\displaystyle \Delta v={\frac {2h\sin {\frac {|\Delta i|}{2}}}{r}}}$$

A partir de la definición de h , esto también se puede escribir como:

$${\displaystyle \Delta v=2v\cos \varphi \sin \left({\frac {\left|\Delta i\right|}{2}}\right)}$$

vφaproximación de ángulo pequeño

$${\displaystyle \Delta v=v\cos(\varphi )\left|\Delta i\right|}$$

El delta- v total para una maniobra combinada se puede calcular mediante una suma vectorial del delta- v de rotación pura y el delta- v para el otro cambio orbital planificado.

Vuelo translunar

Una trayectoria translunar típica

Los vehículos enviados a misiones lunares o planetarias generalmente no se lanzan mediante inyección directa a la trayectoria de salida, sino que primero se colocan en una órbita terrestre baja de estacionamiento ; esto permite la flexibilidad de una ventana de lanzamiento más grande y más tiempo para verificar que el vehículo esté en condiciones adecuadas para el vuelo.

La velocidad de escape no es necesaria para volar a la Luna; más bien, el apogeo del vehículo se eleva lo suficiente como para llevarlo a través de un punto donde ingresa a la esfera de influencia gravitacional (SOI) de la Luna. Esto se define como la distancia desde un satélite a la cual su atracción gravitacional sobre una nave espacial es igual a la de su cuerpo central, que es

$${\displaystyle r_{\text{SOI}}=D\left({\frac {m_{s}}{m_{c}}}\right)^{2/5},}$$

Dm _cm _s^[19]

Una solución precisa de la trayectoria requiere tratamiento como un problema de tres cuerpos , pero se puede hacer una estimación preliminar utilizando una aproximación cónica parcheada de las órbitas alrededor de la Tierra y la Luna, parcheada en el punto SOI y teniendo en cuenta el hecho de que la Luna está un marco de referencia giratorio alrededor de la Tierra.

Inyección translunar

Esto debe programarse para que la Luna esté en posición de capturar el vehículo y podría modelarse en una primera aproximación como una transferencia de Hohmann. Sin embargo, la duración de la combustión del cohete suele ser lo suficientemente larga y ocurre durante un cambio suficiente en el ángulo de la trayectoria de vuelo, por lo que esto no es muy preciso. Debe modelarse como una maniobra no impulsiva , requiriendo la integración mediante análisis de elementos finitos de las aceleraciones debidas al empuje propulsor y la gravedad para obtener la velocidad y el ángulo de la trayectoria de vuelo: ^[7]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}&={\frac {F\cos \alpha }{m}}-g\cos \theta \\{\dot {\theta }}&={\frac {F\sin \alpha }{mv}}+\left({\frac {g}{v}}-{\frac {v}{r}}\right)\sin \theta ,\\v&=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {v}}\,dt\\\theta &=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {\theta }}\,dt\end{aligned}}}$$

• F es el empuje del motor;
• α es el ángulo de ataque;
• m es la masa del vehículo;
• r es la distancia radial al centro del planeta; y
• g es la aceleración gravitacional , que varía con el inverso del cuadrado de la distancia radial: ^[7]
  $${\displaystyle g=g_{0}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{2}}$$

La altitud , la distancia hacia abajo y la distancia radial desde el centro de la Tierra se calculan como: ^[7] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{t_{0}}^{t}v\cos \theta \,dt\\r&=r_{0}+h\\s&=r_{0}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v}{r}}\sin \theta \,dt\end{aligned}}}$$

Correcciones a mitad de camino

Una trayectoria lunar simple permanece en un plano, lo que resulta en un sobrevuelo u órbita lunar dentro de un pequeño rango de inclinación hacia el ecuador de la Luna. Esto también permite un "retorno libre", en el que la nave espacial regresaría a la posición adecuada para reingresar a la atmósfera terrestre si no fuera inyectada en la órbita lunar. Generalmente se requieren cambios de velocidad relativamente pequeños para corregir errores de trayectoria. Esta trayectoria se utilizó para las misiones lunares tripuladas Apolo 8 , Apolo 10 , Apolo 11 y Apolo 12 .

Se puede obtener una mayor flexibilidad en la cobertura de la órbita lunar o del lugar de aterrizaje (a mayores ángulos de inclinación lunar) realizando una maniobra de cambio de avión en pleno vuelo; sin embargo, esto elimina la opción de retorno gratuito, ya que el nuevo avión tomaría la trayectoria de retorno de emergencia de la nave espacial lejos del punto de reentrada atmosférica de la Tierra y dejaría la nave espacial en una órbita terrestre alta. Este tipo de trayectoria se utilizó en las últimas cinco misiones Apolo (13 a 17).

Inserción de la órbita lunar

En el programa Apolo , la quema de inserción en la órbita lunar retrógrada se realizó a una altitud de aproximadamente 110 kilómetros (59 millas náuticas) en la cara oculta de la Luna. Este se convirtió en el pericintión de las órbitas iniciales, con un apocintión del orden de 300 kilómetros (160 millas náuticas). El delta v era de aproximadamente 1.000 metros por segundo (3.300 pies/s). Dos órbitas más tarde, la órbita se circunscribió a 110 kilómetros (59 millas náuticas). ^[20] Para cada misión, el oficial de dinámica de vuelo preparó 10 soluciones de inserción en la órbita lunar para poder elegir aquella con el consumo óptimo (mínimo) de combustible y que mejor cumpliera con los requisitos de la misión; Esto se cargó en la computadora de la nave espacial y tuvo que ser ejecutado y monitoreado por los astronautas en la cara oculta de la Luna, mientras estaban fuera de contacto por radio con la Tierra. ^[20]

Vuelo interplanetario

Para abandonar completamente el campo gravitacional de un planeta para llegar a otro, es necesaria una trayectoria hiperbólica relativa al planeta de salida, sumando (o restando) el exceso de velocidad a la velocidad orbital del planeta de salida alrededor del Sol. La órbita de transferencia heliocéntrica deseada a un planeta superior tendrá su perihelio en el planeta de salida, lo que requerirá que el exceso de velocidad hiperbólica se aplique en la dirección posigrado, cuando la nave espacial esté alejada del Sol. Para un destino de planeta inferior , el afelio estará en el planeta de salida y el exceso de velocidad se aplicará en dirección retrógrada cuando la nave espacial esté hacia el Sol. Para realizar cálculos precisos de la misión, los elementos orbitales de los planetas deben obtenerse a partir de una efeméride , ^[21] como la publicada por el Jet Propulsion Laboratory de la NASA .

Supuestos simplificadores

A los efectos del análisis preliminar de la misión y los estudios de viabilidad, se pueden hacer ciertas suposiciones simplificadas para permitir el cálculo delta-v con un error muy pequeño: ^[24]

• Todas las órbitas de los planetas, excepto Mercurio, tienen una excentricidad muy pequeña y, por lo tanto, se puede suponer que son circulares a una velocidad orbital constante y a una distancia media del Sol.
• Todas las órbitas de los planetas (excepto Mercurio) son casi coplanares, con una inclinación muy pequeña hacia la eclíptica (3,39 grados o menos; la inclinación de Mercurio es de 7,00 grados).
• Los efectos perturbadores de la gravedad de los otros planetas son insignificantes.
• La nave espacial pasará la mayor parte de su tiempo de vuelo únicamente bajo la influencia gravitacional del Sol, excepto durante breves períodos en los que se encuentre en la esfera de influencia de los planetas de salida y destino.

Dado que las naves espaciales interplanetarias pasan un largo período de tiempo en órbita heliocéntrica entre los planetas, que se encuentran a distancias relativamente grandes entre sí, la aproximación cónica parcheada es mucho más precisa para las trayectorias interplanetarias que para las trayectorias translunares. ^[24] El punto de parche entre la trayectoria hiperbólica relativa al planeta de salida y la órbita de transferencia heliocéntrica ocurre en el radio de la esfera de influencia del planeta en relación con el Sol, como se definió anteriormente en Vuelo orbital. Dada la proporción de masa del Sol de 333.432 veces la de la Tierra y una distancia de 149.500.000 kilómetros (80.700.000 millas náuticas), el radio de la esfera de influencia de la Tierra es de 924.000 kilómetros (499.000 millas náuticas) (aproximadamente 1.000.000 kilómetros). ^[25]

Órbita de transferencia heliocéntrica

La órbita de transferencia necesaria para llevar la nave espacial desde la órbita del planeta de salida al planeta de destino se elige entre varias opciones:

• Una órbita de transferencia de Hohmann requiere la menor cantidad posible de propulsor y delta-v; esta es la mitad de una órbita elíptica con afelio y perihelio tangencial a las órbitas de ambos planetas, con el tiempo de vuelo de ida más largo igual a la mitad del período de la elipse. Esto se conoce como misión de clase conjuntiva . ^{[26] [27]} No existe la opción de "retorno gratuito", porque si la nave espacial no entra en órbita alrededor del planeta de destino y en su lugar completa la órbita de transferencia, el planeta de salida no estará en su posición original. Utilizar otra transferencia Hohmann para regresar requiere un tiempo de permanencia significativo en el planeta de destino, lo que resulta en un tiempo total de misión de ida y vuelta muy largo. ^[28] El escritor de ciencia ficción Arthur C. Clarke escribió en su libro de 1951 The Exploration of Space que un viaje de ida y vuelta de la Tierra a Marte requeriría 259 días de ida y otros 259 días de regreso, con una estadía de 425 días en Marte.
• Aumentar la velocidad del ápside de salida (y por lo tanto el semieje mayor) da como resultado una trayectoria que cruza la órbita del planeta de destino de manera no tangencial antes de alcanzar el ápside opuesto, aumentando delta-v pero reduciendo el tiempo de tránsito de salida por debajo del máximo. ^[28]
• Una maniobra de asistencia por gravedad , a veces conocida como "maniobra de tirachinas" o misión Crocco en honor a su proponente de 1956, Gaetano Crocco , da como resultado una misión de clase oposición con un tiempo de permanencia en el destino mucho más corto. ^{[29] [27]} Esto se logra pasando por otro planeta, utilizando su gravedad para alterar la órbita. Un viaje de ida y vuelta a Marte, por ejemplo, se puede acortar significativamente de los 943 días necesarios para la misión de conjunción a menos de un año, pasando por Venus al regresar a la Tierra.

Salida hiperbólica

El exceso de velocidad hiperbólica requerida v _∞ (a veces llamada velocidad característica ) es la diferencia entre la velocidad de salida de la órbita de transferencia y la velocidad orbital heliocéntrica del planeta de salida. Una vez determinado esto, la velocidad de inyección relativa al planeta de salida en el periapsis es: ^[30]

$${\displaystyle v_{p}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{p}}}+v_{\infty }^{2}}}\,}$$

El vector de exceso de velocidad para una hipérbola se desplaza desde la tangente del periapsis en un ángulo característico, por lo tanto, la quemadura de inyección del periapsis debe adelantarse al punto de partida planetario en el mismo ángulo: ^[31]

$${\displaystyle \delta =\arcsin {\frac {1}{e}}}$$

La ecuación geométrica para la excentricidad de una elipse no se puede utilizar para una hipérbola. Pero la excentricidad se puede calcular a partir de formulaciones dinámicas como: ^[32]

$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2\varepsilon h^{2}}{\mu ^{2}}}}},}$$

h^[31]

$${\displaystyle h=r_{p}v_{p},}$$

ε^[31]

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}\,}$$

Además, las ecuaciones para r y v dadas en Vuelo orbital dependen del semieje mayor y, por lo tanto, no se pueden utilizar para una trayectoria de escape. Pero establecer el radio en el periapsis igual a la ecuación r con anomalía cero da una expresión alternativa para el recto semilatus:

$${\displaystyle p=r_{p}(1+e),\,}$$

$${\displaystyle r={\frac {r_{p}(1+e)}{1+e\cos \nu }}\,}$$

Al sustituir la expresión alternativa por p también se obtiene una expresión alternativa para a (que está definida para una hipérbola, pero que ya no representa el semieje mayor). Esto da una ecuación de velocidad versus radio que también se puede utilizar en cualquier excentricidad:

$${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1-e^{2}}{r_{p}(1+e)}}\right)}}\,}$$

Las ecuaciones para el ángulo de la trayectoria de vuelo y la anomalía versus el tiempo dadas en Vuelo orbital también se pueden utilizar para trayectorias hiperbólicas.

Iniciar ventanas

Hay una gran variación con el tiempo en el cambio de velocidad requerido para una misión, debido a las posiciones relativas de los planetas que varían constantemente. Por lo tanto, las ventanas de lanzamiento óptimas a menudo se eligen a partir de los resultados de los gráficos de chuletas de cerdo que muestran contornos de energía característica ( v _∞ ² ) trazados versus el tiempo de salida y llegada.

Entrada atmosférica

La entrada, el descenso y el aterrizaje controlados de un vehículo se logran eliminando el exceso de energía cinética a través del calentamiento aerodinámico debido al arrastre, lo que requiere algún medio de protección térmica y/o empuje retrógrado. El descenso terminal suele lograrse mediante paracaídas y/o frenos de aire .

control de actitud

Dado que las naves espaciales pasan la mayor parte de su tiempo de vuelo navegando sin motor a través del vacío del espacio, se diferencian de los aviones en que su trayectoria de vuelo no está determinada por su actitud (orientación), excepto durante el vuelo atmosférico para controlar las fuerzas de sustentación y resistencia, y durante el vuelo. vuelo propulsado para alinear el vector de empuje. No obstante, el control de actitud a menudo se mantiene en vuelo sin motor para mantener la nave espacial en una orientación fija con fines de observación astronómica , comunicaciones o generación de energía solar ; o colocarlo en un giro controlado para control térmico pasivo , o crear gravedad artificial dentro de la nave.

El control de actitud se mantiene con respecto a un marco de referencia inercial u otra entidad (la esfera celeste, ciertos campos, objetos cercanos, etc.). La actitud de una embarcación se describe mediante ángulos relativos a tres ejes de rotación mutuamente perpendiculares, denominados balanceo, cabeceo y guiñada. La orientación se puede determinar mediante calibración utilizando un sistema de guía externo, como determinar los ángulos con respecto a una estrella de referencia o al Sol, y luego monitorearse internamente utilizando un sistema inercial de giroscopios mecánicos u ópticos . La orientación es una cantidad vectorial descrita por tres ángulos para la dirección instantánea y las velocidades instantáneas de balanceo en los tres ejes de rotación. El aspecto de control implica tanto el conocimiento de la orientación instantánea y las velocidades de balanceo como la capacidad de cambiar las velocidades de balanceo para asumir una nueva orientación usando un sistema de control de reacción u otros medios.

La segunda ley de Newton, aplicada al movimiento rotacional en lugar del lineal, se convierte en: ^[33]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{x}=I_{x}{\boldsymbol {\alpha }}_{x},}$$

parI _xmomento de inerciaaceleración angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{x}}$ ${\displaystyle \alpha _{x}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{x}={\tfrac {180}{\pi }}{\boldsymbol {\tau }}_{x}/I_{x},}$$

De manera análoga al movimiento lineal, la velocidad de rotación angular (grados por segundo) se obtiene integrando α en el tiempo: ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{x}}$

$${\displaystyle {\omega _{x}}=\int _{t_{0}}^{t}{\alpha _{x}}dt}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{x}}$

$${\displaystyle \theta _{x}=\int _{t_{0}}^{t}{\omega _{x}}dt}$$

Los tres principales momentos de inercia I _x , I _y e I _{z alrededor de los ejes de balanceo, cabeceo y guiñada se determinan a través del} centro de masa del vehículo .

El par de control de un vehículo de lanzamiento a veces se proporciona aerodinámicamente mediante aletas móviles y, por lo general, montando los motores en cardanes para vectorizar el empuje alrededor del centro de masa. El torque se aplica frecuentemente a las naves espaciales, operando sin fuerzas aerodinámicas, mediante un sistema de control de reacción , un conjunto de propulsores ubicados alrededor del vehículo. Los propulsores se disparan, ya sea manualmente o bajo control de guía automática, en ráfagas cortas para lograr la velocidad de rotación deseada y luego se disparan en la dirección opuesta para detener la rotación en la posición deseada. El par sobre un eje específico es:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}),}$$

rFFr ).

Para situaciones en las que el consumo de propulsor puede ser un problema (como satélites o estaciones espaciales de larga duración), se pueden utilizar medios alternativos para proporcionar el par de control, como ruedas de reacción ^[34] o giroscopios de momento de control . ^[35]

Notas

1. "ESA - Dinámica de vuelo". Agencia Espacial Europea . Consultado el 22 de junio de 2020 .
2. Bate, Mueller y White (1971), págs. 11-12.
3. George P. Sutton y Oscar Biblarz (2001). Elementos de propulsión de cohetes (7ª ed.). Wiley Interciencia. ISBN 0-471-32642-9.Véase la ecuación 2-14.
4. Sutton, George P.; Biblarz, Óscar (2001). Elementos de propulsión de cohetes. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-32642-7. Archivado desde el original el 12 de enero de 2014 . Consultado el 28 de mayo de 2016 .
5. George P. Sutton y Oscar Biblarz (2001). Elementos de propulsión de cohetes (7ª ed.). Wiley Interciencia. ISBN 0-471-32642-9.Véase la ecuación 3-33.
6. Anderson (2004), págs. 257-261.
7. Kromis (1967), pág. 11:154.
8. Glasstone (1965), pág. 209, §4.97.
9. Perry (1967), pág. 11:151.
10. Bate, Mueller y White (1971), págs. 11–40.
11. Bate, Mueller y White (1971), pág. 33.
12. Bate, Mueller y White (1971), pág. 24.
13. Bate, Mueller y White (1971), pág. 18.
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23. Bate, Mueller y White (1971), pág. 361.
24. Bate, Mueller y White (1971), págs.359, 362.
25. Bate, Mueller y White (1971), pág. 368.
26. Mattfeld y col. (2015), pág. 3.
27. Drake y otros. 2017.
28. Bate, Mueller y White (1971), págs.
29. Mattfeld y col. (2015), págs. 3–4.
30. Bate, Mueller y White (1971), pág. 369.
31. Bate, Mueller y White (1971), pág. 371.
32. Bate, Mueller y White (1971), pág. 372.
33. Cerveza y Johnston (1972), pág. 499.
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