Los discursos y demostraciones matemáticas relacionadas con dos nuevas ciencias ( italiano : Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze pronunciado [diˈskorsi e ddimostratˈtsjoːni mateˈmaːtike inˈtorno a dˈduːe ˈnwɔːve ʃˈʃɛntse] ) publicado en 1638 fue Galileo Galilei . El último libro y un testamento científico que cubre gran parte de su trabajo en física durante los treinta años anteriores. Fue escrito en parte en italiano y en parte en latín.
Después de su Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales , la Inquisición romana había prohibido la publicación de cualquiera de las obras de Galileo, incluidas las que pudiera escribir en el futuro. [1] Después del fracaso de sus intentos iniciales de publicar Dos nuevas ciencias en Francia , Alemania y Polonia , fue publicado por Lodewijk Elzevir , que trabajaba en Leiden , Holanda Meridional , donde el auto de la Inquisición tenía menos importancia (ver Casa de Elzevir ). [2] Fray Fulgenzio Micanzio, el teólogo oficial de la República de Venecia, se había ofrecido inicialmente a ayudar a Galileo a publicar en Venecia la nueva obra, pero señaló que publicar las Dos Nuevas Ciencias en Venecia podría causarle problemas innecesarios; por tanto, el libro finalmente se publicó en Holanda. Galileo no pareció sufrir ningún perjuicio por parte de la Inquisición por publicar este libro ya que en enero de 1639 el libro llegó a las librerías de Roma y todos los ejemplares disponibles (unos cincuenta) se vendieron rápidamente. [3]
Discursos fue escrito en un estilo similar a Diálogos , en el que tres hombres (Simplicio, Sagredo y Salviati) discuten y debaten las diversas preguntas que Galileo busca responder. Sin embargo, hay un cambio notable en los hombres; Simplicio, en particular, ya no es tan ingenuo, testarudo y aristotélico como su nombre indica. Sus argumentos son representativos de las primeras creencias del propio Galileo, ya que Sagredo representa su período intermedio y Salviati propone los modelos más nuevos de Galileo.
El libro está dividido en cuatro días, cada uno de los cuales aborda diferentes áreas de la física. Galileo dedica Dos Nuevas Ciencias al Señor Conde de Noailles. [4]
En la Primera Jornada, Galileo abordó temas que se discutían en la Física de Aristóteles y también en la Mecánica de la escuela aristotélica . También proporciona una introducción a la discusión de ambas nuevas ciencias. La similitud entre los temas discutidos, las preguntas específicas que se plantean como hipótesis y el estilo y las fuentes le dan a Galileo la columna vertebral de su Primer Día. La Primera Jornada presenta a los ponentes en el diálogo: Salviati, Sagredo y Simplicio, los mismos que en el Diálogo . Estas tres personas son todos Galileo en diferentes etapas de su vida, Simplicio el más joven y Salviati, la contraparte más cercana de Galileo. El Segundo Día aborda la cuestión de la resistencia de los materiales.
Los días tercero y cuarto abordan la ciencia del movimiento. El tercer día analiza el movimiento uniforme y naturalmente acelerado; la cuestión de la velocidad terminal se abordó en el primer día. El cuarto día analiza el movimiento de proyectiles .
En Dos Ciencias, el movimiento uniforme se define como un movimiento que, durante períodos de tiempo iguales, cubre la misma distancia. Con el uso del cuantificador ″cualquiera″, se introduce la uniformidad y se expresa de manera más explícita que en definiciones anteriores. [5]
Galileo había comenzado un día más con la fuerza de percusión, pero no pudo completarlo satisfactoriamente. Se hizo referencia a esta sección con frecuencia durante los primeros cuatro días de discusión. Finalmente apareció sólo en la edición de 1718 de las obras de Galilei. [6] y a menudo se cita como "Sexto Día" siguiendo la numeración de la edición de 1898. [7] Durante este día adicional, Simplicio fue reemplazado por Aproino, un ex erudito y asistente de Galileo en Padua.
Los números de página al comienzo de cada párrafo pertenecen a la versión de 1898, [7] actualmente adoptada como estándar y se encuentran en las traducciones de Crew y Drake.
[50] Discusiones preliminares. Sagredo (considerado el joven Galileo) no puede entender por qué con las máquinas no se puede discutir de lo pequeño a lo grande: "No veo que las propiedades de los círculos, triángulos y... figuras sólidas deban cambiar con su tamaño". Salviati (hablando en nombre de Galileo) dice que la opinión común es errónea. La escala importa: un caballo que cae desde una altura de 3 o 4 codos se romperá los huesos, mientras que un gato que cae desde el doble de altura no, ni un saltamontes que cae desde una torre.
[56] El primer ejemplo es una cuerda de cáñamo que se construye a partir de pequeñas fibras que se unen de la misma manera que una cuerda alrededor de un molinete para producir algo mucho más fuerte. Entonces, el vacío que impide que dos placas muy pulidas se separen aunque se deslicen fácilmente da lugar a un experimento para comprobar si se puede expandir el agua o si se produce un vacío. De hecho, Sagredo había observado que una bomba de succión no podía levantar más de 18 codos de agua y Salviati observa que el peso de ésta es la cantidad de resistencia a un vacío. La discusión gira en torno a la resistencia de un alambre de cobre y si hay diminutos espacios vacíos dentro del metal o si hay alguna otra explicación para su resistencia.
[68] Esto lleva a una discusión sobre los infinitos y el continuo y de allí a la observación de que el número de cuadrados es igual al número de raíces. Finalmente llega a la opinión de que "si se puede decir que un número es infinito, debe ser la unidad" y demuestra una construcción en la que se aborda un círculo infinito y otro para dividir una línea.
[85] La diferencia entre un polvo fino y un líquido conduce a una discusión sobre la luz y cómo el poder concentrado del sol puede derretir metales. Deduce que la luz tiene movimiento y describe un intento (infructuoso) de medir su velocidad.
[106] Aristóteles creía que los cuerpos caían a una velocidad proporcional al peso, pero Salviati duda que Aristóteles haya probado esto alguna vez. Tampoco creía que el movimiento en el vacío fuera posible, pero como el aire es mucho menos denso que el agua, Salviati afirma que en un medio carente de resistencia (el vacío), todos los cuerpos (un mechón de lana o un trozo de plomo) caerían. a la misma velocidad. Los cuerpos grandes y pequeños caen a la misma velocidad a través del aire o del agua, siempre que tengan la misma densidad. Como el ébano pesa mil veces más que el aire (que él había medido), caerá sólo un poco más lentamente que el plomo, que pesa diez veces más. Pero la forma también importa: incluso un trozo de hoja de oro (la más densa de todas las sustancias [afirma Salviati]) flota en el aire y una vejiga llena de aire cae mucho más lentamente que el plomo.
[128] Medir la velocidad de una caída es difícil debido a los pequeños intervalos de tiempo involucrados y su primera solución utilizó péndulos de la misma longitud pero con pesas de plomo o corcho. El período de oscilación fue el mismo, incluso cuando el corcho se balanceó más ampliamente para compensar el hecho de que pronto se detuvo.
[139] Esto lleva a una discusión sobre la vibración de las cuerdas y sugiere que no solo la longitud de la cuerda es importante para el tono sino también la tensión y el peso de la cuerda.
[151] Salviati demuestra que una balanza no sólo se puede utilizar con brazos iguales sino también con brazos desiguales con pesos inversamente proporcionales a las distancias desde el punto de apoyo. A continuación muestra que el momento de un peso suspendido de una viga apoyada en un extremo es proporcional al cuadrado de la longitud. Se demuestra la resistencia a la fractura de vigas de diversos tamaños y espesores, apoyadas en uno o ambos extremos.
[169] Muestra que los huesos de los animales tienen que ser proporcionalmente más grandes para animales más grandes y la longitud de un cilindro que se romperá bajo su propio peso. Demuestra que el mejor lugar para romper un palo colocado sobre la rodilla es el medio y muestra a qué distancia de una viga se puede colocar un peso mayor sin romperlo.
[178] Demuestra que la forma óptima de una viga apoyada en un extremo y soportando una carga en el otro es parabólica. También muestra que los cilindros huecos son más fuertes que los sólidos del mismo peso.
[191] Primero define el movimiento uniforme (estable) y muestra la relación entre velocidad, tiempo y distancia. Luego define el movimiento uniformemente acelerado donde la velocidad aumenta en la misma cantidad en incrementos de tiempo. Los cuerpos que caen comienzan muy lentamente y se propone demostrar que su velocidad aumenta en simple proporcionalidad con el tiempo, no con la distancia, lo que, según él, es imposible.
[208] Demuestra que la distancia recorrida en un movimiento naturalmente acelerado es proporcional al cuadrado del tiempo. Describe un experimento en el que se hizo rodar una bola de acero por una ranura de una moldura de madera de 12 codos de largo (unos 5,5 m) con un extremo elevado uno o dos codos. Esto se repitió, midiendo los tiempos pesando con precisión la cantidad de agua que salía de un tubo delgado en un chorro desde el fondo de una gran jarra de agua. De esta manera pudo comprobar el movimiento uniformemente acelerado. Luego muestra que cualquiera que sea la inclinación del avión, el cuadrado del tiempo necesario para caer una altura vertical dada es proporcional a la distancia inclinada.
[221] A continuación considera el descenso a lo largo de las cuerdas de un círculo, mostrando que el tiempo es el mismo que el de la caída desde el vértice, y varias otras combinaciones de planos. Da una solución errónea al problema de la braquistocrona , afirmando demostrar que el arco del círculo es el descenso más rápido. Se dan 16 problemas con soluciones.
[268] El movimiento de los proyectiles consiste en una combinación de movimiento horizontal uniforme y un movimiento vertical naturalmente acelerado que produce una curva parabólica . Se pueden calcular dos movimientos en ángulo recto utilizando la suma de los cuadrados. Muestra en detalle cómo construir las parábolas en diversas situaciones y proporciona tablas de altitud y alcance según el ángulo proyectado.
[274] La resistencia del aire se manifiesta de dos maneras: afectando más a los cuerpos menos densos y ofreciendo mayor resistencia a los cuerpos más rápidos. Una bola de plomo caerá un poco más rápido que una bola de roble, pero la diferencia con una bola de piedra es insignificante. Sin embargo, la velocidad no aumenta indefinidamente sino que alcanza un máximo. Aunque a pequeñas velocidades el efecto de la resistencia del aire es pequeño, es mayor cuando se considera, por ejemplo, una bala disparada por un cañón.
[292] El efecto de un proyectil que golpea un objetivo se reduce si el objetivo puede moverse libremente. La velocidad de un cuerpo en movimiento puede superar la de un cuerpo más grande si su velocidad es proporcionalmente mayor que la resistencia.
[310] Una cuerda o cadena extendida nunca está nivelada, sino que también se aproxima a una parábola. (Pero ver también catenaria ).
[323] ¿Cuál es el peso del agua que cae de un balde que cuelga de un brazo de equilibrio a otro balde suspendido del mismo brazo?
[325] Apilamiento de postes de madera para cimentaciones; martillos y la fuerza de la percusión.
[336] Velocidad de caída a lo largo de planos inclinados; nuevamente sobre el principio de inercia.
Muchos científicos contemporáneos, como Gassendi , cuestionan la metodología de Galileo para conceptualizar su ley de la caída de los cuerpos. Dos de los principales argumentos son que su epistemología siguió el ejemplo del pensamiento platónico o hipotético-deductivista. Ahora se ha considerado ex supositione , o conocer el cómo y el por qué de los efectos de eventos pasados para determinar los requisitos para la producción de efectos similares en el futuro. La metodología galileana reflejaba la epistemología de Aristotélico y Arquímedes. A raíz de una carta del cardenal Belarmino en 1615, Galileo distinguió sus argumentos y los de Copérnico como suposiciones naturales en contraposición a las "ficticias" que se "introducen sólo para los cálculos astronómicos", como la hipótesis de Ptolomeo sobre excéntricas y ecuantes. [8]
Los primeros escritos de Galileo, considerados Juvenilia, o escritos juveniles, se consideran sus primeros intentos de crear notas de clase para su curso "Hipótesis de los movimientos celestes" mientras enseñaba en la Universidad de Padua . Estas notas reflejaban las de sus contemporáneos en el Collegio y contenían un "contexto aristotélico con marcadas connotaciones tomistas ( Santo Tomás de Aquino )". [9] Se cree que estos artículos anteriores lo alentaron a aplicar pruebas demostrativas para dar validez a sus descubrimientos sobre el movimiento.
El descubrimiento del folio 116v proporciona evidencia de experimentos que no se habían informado anteriormente y, por lo tanto, demostraron los cálculos reales de Galileo para la ley de la caída de los cuerpos.
Sus métodos de experimentación han sido probados mediante la grabación y recreación realizada por científicos como James MacLachlan, Stillman Drake, RH Taylor y otros para demostrar que no se limitó a imaginar sus ideas como argumentaba el historiador Alexandre Koyré , sino que buscó probarlas matemáticamente. .
Galileo creía que el conocimiento podía adquirirse mediante la razón y reforzarse mediante la observación y la experimentación. Por tanto, se puede argumentar que Galileo era un racionalista y también un empirista.
Las dos ciencias mencionadas en el título son la resistencia de los materiales y el movimiento de los objetos (los antepasados de la moderna ingeniería de materiales y la cinemática ). [10] En el título del libro, "mecánica" y "movimiento" están separados, ya que en la época de Galileo "mecánica" significaba sólo estática y resistencia de los materiales. [11]
La discusión comienza con una demostración de las razones por las que una estructura grande proporcionada exactamente de la misma manera que una más pequeña debe ser necesariamente más débil, lo que se conoce como ley del cuadrado-cubo . Más adelante en la discusión, este principio se aplica al grosor requerido de los huesos de un animal grande, posiblemente el primer resultado cuantitativo en biología , anticipando el trabajo de JBS Haldane Sobre ser el tamaño correcto y otros ensayos, editados por John Maynard Smith .
Galileo expresa claramente por primera vez la aceleración constante de un cuerpo en caída y pudo medirla con precisión ralentizándolo mediante un plano inclinado.
En Dos nuevas ciencias , Galileo (Salviati habla por él) utilizó una moldura de madera , "de doce codos de largo, medio codo de ancho y tres dedos de espesor" como rampa con una ranura recta, lisa y pulida para estudiar las bolas rodantes (" una bola de bronce dura, lisa y muy redonda"). Forró la ranura con " pergamino , también lo más liso y pulido posible". Inclinó la rampa en varios ángulos, reduciendo efectivamente la aceleración lo suficiente como para poder medir el tiempo transcurrido. Dejaría que la pelota rodara una distancia conocida por la rampa y usaría un reloj de agua para medir el tiempo necesario para recorrer la distancia conocida. Este reloj fue
un gran recipiente con agua colocado en una posición elevada; Al fondo de este recipiente estaba soldado un tubo de pequeño diámetro que daba un fino chorro de agua, que recogíamos en un vaso pequeño durante el tiempo de cada descenso, ya fuera a lo largo de todo el canal o a una parte de su longitud. Se pesaba el agua recogida, y después de cada descenso en una balanza muy precisa, las diferencias y proporciones de estos pesos le daban las diferencias y proporciones de los tiempos. Esto se hizo con tal precisión que, aunque la operación se repitió muchas, muchas veces, no hubo discrepancia apreciable en los resultados. [12]
Mientras que Aristóteles había observado que los objetos más pesados caen más rápidamente que los más ligeros, en Dos nuevas ciencias Galileo postuló que esto se debía no a fuerzas intrínsecamente más fuertes que actuaban sobre los objetos más pesados, sino a las fuerzas compensatorias de la resistencia del aire y la fricción. Para compensar, realizó experimentos utilizando una rampa poco inclinada, alisada para eliminar la mayor fricción posible, sobre la cual hacía rodar bolas de diferentes pesos. De esta manera, pudo proporcionar evidencia empírica de que la materia se acelera verticalmente hacia abajo a un ritmo constante, independientemente de la masa, debido a los efectos de la gravedad. [13]
El experimento no reportado que se encuentra en el folio 116V probó la tasa constante de aceleración en cuerpos que caen debido a la gravedad. [14] Este experimento consistió en dejar caer una pelota desde alturas específicas sobre un deflector para transferir su movimiento de vertical a horizontal. Los datos de los experimentos del plano inclinado se utilizaron para calcular el movimiento horizontal esperado. Sin embargo, se encontraron discrepancias en los resultados del experimento: las distancias horizontales observadas no coincidían con las distancias calculadas esperadas para una tasa de aceleración constante. Galileo atribuyó las discrepancias a la resistencia del aire en el experimento no informado y a la fricción en el experimento del plano inclinado. Estas discrepancias obligaron a Galileo a afirmar que el postulado se mantenía sólo en "condiciones ideales", es decir, en ausencia de fricción y/o resistencia del aire.
La física aristotélica argumentó que la Tierra no debe moverse porque los humanos no pueden percibir los efectos de este movimiento. [15] Una justificación popular de esto es el experimento de un arquero disparando una flecha hacia el aire. Si la Tierra se estuviera moviendo, argumentó Aristóteles, la flecha debería caer en un lugar diferente al del punto de lanzamiento. Galileo refutó este argumento en Diálogos sobre los dos principales sistemas mundiales . Puso el ejemplo de los marineros a bordo de un barco en el mar. El barco está evidentemente en movimiento, pero los marineros no pueden percibir este movimiento. Si un marinero dejara caer un objeto pesado desde el mástil, este objeto caería en la base del mástil en lugar de detrás de él (debido al movimiento hacia adelante del barco). Este fue el resultado del movimiento simultáneo horizontal y vertical del barco, los marineros y la pelota. [dieciséis]
Uno de los experimentos de Galileo sobre la caída de cuerpos fue el que describía la relatividad de los movimientos, explicando que, en las circunstancias adecuadas, "un movimiento puede superponerse a otro sin efecto sobre ninguno de los dos...". En Dos nuevas ciencias , Galileo defendió este argumento y se convertiría en la base de la primera ley de Newton , la ley de inercia.
Plantea la cuestión de qué sucede con una pelota lanzada desde el mástil de un velero o con una flecha disparada al aire sobre cubierta. Según la física de Aristóteles , la bola que se deja caer debería aterrizar en la popa del barco mientras cae directamente desde el punto de origen. Del mismo modo, la flecha disparada hacia arriba no debe caer en el mismo lugar si el barco está en movimiento. Galileo ofrece que hay dos movimientos independientes en juego. Uno es el movimiento vertical acelerado causado por la gravedad, mientras que el otro es el movimiento horizontal uniforme causado por el barco en movimiento que continúa influyendo en la trayectoria de la pelota a través del principio de inercia. La combinación de estos dos movimientos da como resultado una curva parabólica. El observador no puede identificar esta curva parabólica porque la bola y el observador comparten el movimiento horizontal que les imparte el barco, lo que significa que sólo se percibe el movimiento vertical perpendicular. Sorprendentemente, nadie había probado esta teoría con los sencillos experimentos necesarios para obtener un resultado concluyente hasta que Pierre Gassendi publicó los resultados de dichos experimentos en sus cartas tituladas De Motu Impresso a Motore Translato (1642). [17]
El libro también contiene una discusión sobre el infinito . Galileo considera el ejemplo de los números y sus cuadrados . Comienza señalando que:
No se puede negar que hay tantos [cuadrados] como números porque cada número es una raíz [cuadrada] de algún cuadrado: 1 ↔ 1, 2 ↔ 4, 3 ↔ 9, 4 ↔ 16, etc.
(En lenguaje moderno, hay una biyección entre los elementos del conjunto de números enteros positivos N y el conjunto de cuadrados S, y S es un subconjunto propio de densidad cero .) Pero observa lo que parece ser una contradicción:
Sin embargo, al principio dijimos que hay muchos más números que cuadrados, ya que la mayor parte de ellos no son cuadrados. No sólo eso, sino que el número proporcional de cuadrados disminuye a medida que pasamos a números mayores.
Resuelve la contradicción negando la posibilidad de comparar números infinitos (y de comparar números infinitos y finitos):
Sólo podemos inferir que la totalidad de todos los números es infinita, que el número de cuadrados es infinito y que el número de sus raíces es infinito; ni el número de cuadrados es menor que la totalidad de todos los números, ni éste mayor que el primero; y finalmente los atributos "igual", "mayor" y "menor" no son aplicables a cantidades infinitas, sino sólo a cantidades finitas.
Esta conclusión, de que adscribir tamaños a conjuntos infinitos debería considerarse imposible, debido a los resultados contradictorios obtenidos de estas dos formas aparentemente naturales de intentar hacerlo, es una solución al problema que es consistente con los métodos, pero menos poderosa que ellos. utilizado en las matemáticas modernas. La resolución del problema puede generalizarse considerando la primera definición de Galileo de lo que significa que los conjuntos tengan tamaños iguales, es decir, la capacidad de ponerlos en correspondencia uno a uno. Esto resulta en una forma de comparar los tamaños de conjuntos infinitos que está libre de resultados contradictorios.
Estas cuestiones del infinito surgen de problemas de círculos rodantes. Si dos círculos concéntricos de diferentes radios ruedan a lo largo de líneas, entonces si el más grande no se desliza, parece claro que el más pequeño debe deslizarse. ¿Pero de qué manera? Galileo intenta aclarar la cuestión considerando los hexágonos y luego extendiéndolos a rodar 100.000 gónos, o n-gonos, donde muestra que se produce un número finito de deslizamientos en la forma interior. Finalmente, concluye que "la línea atravesada por el círculo mayor consta entonces de un número infinito de puntos que la llenan completamente; mientras que la trazada por el círculo más pequeño consta de un número infinito de puntos que dejan espacios vacíos y sólo llenan parcialmente el círculo". línea", lo que no se consideraría satisfactorio ahora.
Dos nuevas ciencias fue una contribución tan grande a la física que los estudiosos han sostenido durante mucho tiempo que el libro anticipó las leyes del movimiento de Isaac Newton.
—Stephen Hawking [18]
Galileo... es el padre de la física moderna; de hecho, de la ciencia moderna.
—Albert Einstein [19]
Parte de Dos nuevas ciencias era matemática pura, como ha señalado el matemático Alfréd Rényi , quien dijo que era el libro sobre matemáticas más significativo en más de 2000 años: las matemáticas griegas no trataban del movimiento, por lo que nunca formularon matemáticas. leyes del movimiento, aunque Arquímedes desarrolló la diferenciación y la integración. Dos Nuevas Ciencias abrieron el camino para tratar matemáticamente la física al tratar matemáticamente el movimiento por primera vez. El matemático griego Zenón había diseñado sus paradojas para demostrar que el movimiento no podía tratarse matemáticamente y que cualquier intento de hacerlo conduciría a paradojas. (Consideraba esto como una limitación inevitable de las matemáticas). Aristóteles reforzó esta creencia, diciendo que las matemáticas sólo podían tratar con objetos abstractos que fueran inmutables. Galileo utilizó los mismos métodos de los griegos para demostrar que el movimiento podía tratarse matemáticamente. Su idea era separar las paradojas del infinito de las paradojas de Zenón. Lo hizo en varios pasos. Primero, demostró que la secuencia infinita S de los cuadrados 1, 4, 9, 16, ... contenía tantos elementos como la secuencia N de todos los números enteros positivos (infinito); esto ahora se conoce como la paradoja de Galileo . Luego, utilizando geometría de estilo griego, mostró un intervalo de línea corto que contenía tantos puntos como un intervalo más largo. En algún momento formula el principio general de que un conjunto infinito más pequeño puede tener tantos puntos como un conjunto infinito más grande que lo contenga. Entonces quedó claro que las paradojas de Zenón sobre el movimiento resultaban enteramente de este comportamiento paradójico de cantidades infinitas. Renyi dijo que, una vez superado este obstáculo de 2000 años de antigüedad, Galileo pasó a introducir sus leyes matemáticas del movimiento, anticipándose a Newton. [20]
Pierre Gassendi defendió las opiniones de Galileo en su libro De Motu Impresso a Motore Translato . En el artículo de Howard Jones, La defensa de Galileo de Gassendi: la política de la discreción , Jones dice que Gassendi mostró una comprensión de los argumentos de Galileo y una comprensión clara de sus implicaciones para las objeciones físicas al movimiento de la Tierra.
La ley de la caída de los cuerpos fue publicada por Galileo en 1638. Pero en el siglo XX algunas autoridades cuestionaron la realidad de los experimentos de Galileo. En particular, el historiador de la ciencia francés Alexandre Koyré basa sus dudas en el hecho de que los experimentos descritos en Dos nuevas ciencias para determinar la ley de aceleración de los cuerpos que caen requerían mediciones precisas del tiempo, lo que parecía imposible con la tecnología de 1600. Según Koyré, la ley se creó deductivamente y los experimentos fueron meramente experimentos mentales ilustrativos . De hecho, el reloj de agua de Galileo (descrito anteriormente) proporcionó mediciones del tiempo suficientemente precisas para confirmar sus conjeturas.
Sin embargo, investigaciones posteriores validaron los experimentos. Los experimentos con cuerpos que caen (en realidad bolas rodantes) se replicaron utilizando los métodos descritos por Galileo, [21] y la precisión de los resultados fue consistente con el informe de Galileo. Investigaciones posteriores sobre los documentos de trabajo inéditos de Galileo de 1604 mostraron claramente la realidad de los experimentos e incluso indicaron los resultados particulares que condujeron a la ley del tiempo cuadrado. [22]
