stringtranslate.com

Desigualdad de Remez

En matemáticas , la desigualdad de Remez , descubierta por el matemático soviético Evgeny Yakovlevich Remez (Remez 1936), da un límite a las normas superiores de ciertos polinomios , límite que se alcanza mediante los polinomios de Chebyshev .

La desigualdad

Sea σ un número positivo fijo arbitrario. Defina la clase de polinomios π n ( σ ) como aquellos polinomios p de grado n para los cuales

en algún conjunto de medida ≥ 2 contenido en el intervalo cerrado [−1, 1+ σ ]. Entonces la desigualdad de Remez establece que

donde T n ( x ) es el polinomio de Chebyshev de grado n , y la norma suprema se toma sobre el intervalo [−1, 1+ σ ].

Observe que T n aumenta en , por lo tanto

El Ri, combinado con una estimación de los polinomios de Chebyshev, implica el siguiente corolario : Si J  ⊂  R es un intervalo finito y E  ⊂  J es un conjunto medible arbitrario , entonces

para cualquier polinomio p de grado n .

Extensiones: lema de Nazarov-Turán

Se han demostrado desigualdades similares a ( ) para diferentes clases de funciones y se conocen como desigualdades de tipo Remez. Un ejemplo importante es la desigualdad de Nazarov para sumas exponenciales (Nazarov 1993):

Desigualdad de Nazarov . Sea
sea ​​una suma exponencial (con λ k  ∈ C arbitrario ), y sea J  ⊂  R un intervalo finito, E  ⊂  J —un conjunto medible arbitrario. Entonces
donde C > 0 es una constante numérica.

En el caso especial cuando λ k son imaginarios puros y enteros, y el subconjunto E es en sí mismo un intervalo, la desigualdad fue demostrada por Pál Turán y se conoce como lema de Turán.

Esta desigualdad también se extiende de la siguiente manera

para algún A > 0 independiente de p , E y n . Cuando

Una desigualdad similar se cumple para p > 2. Para p = ∞ hay una extensión a polinomios multidimensionales.

Demostración: La aplicación del lema de Nazarov conduce a

de este modo

Ahora fija un conjunto y elige tal que , es decir

Tenga en cuenta que esto implica:

Ahora

lo que completa la prueba.

Desigualdad de Pólya

Uno de los corolarios de Ri es la desigualdad de Pólya , que fue demostrada por George Pólya (Pólya 1928), y establece que la medida de Lebesgue de un conjunto de subniveles de un polinomio p de grado n está acotada en términos del coeficiente principal LC( p ) de la siguiente manera:

Referencias