La descomposición de Wold

En matemáticas , particularmente en teoría de operadores , la descomposición de Wold o descomposición de Wold-von Neumann , llamada así en honor a Herman Wold y John von Neumann , es un teorema de clasificación para operadores lineales isométricos en un espacio de Hilbert determinado . Afirma que toda isometría es una suma directa de copias del desplazamiento unilateral y un operador unitario .

En el análisis de series de tiempo , el teorema implica que cualquier proceso estocástico estacionario de tiempo discreto se puede descomponer en un par de procesos no correlacionados, uno determinista y el otro un proceso de media móvil .

Detalles

Sea H un espacio de Hilbert , L ( H ) los operadores acotados en H y V ∈ L ( H ) una isometría. La descomposición de Wold establece que toda isometría V toma la forma

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U}$

para algún conjunto de índices A , donde S es el desplazamiento unilateral en un espacio de Hilbert H _α , y U es un operador unitario (posiblemente vacío). La familia { H _α } consta de espacios de Hilbert isomórficos.

Se puede esbozar una prueba de la siguiente manera. Las aplicaciones sucesivas de V dan secuencias descendentes de copias de H incrustadas isomórficamente en sí mismo:

${\displaystyle H=H\supset V(H)\supset V^{2}(H)\supset \cdots =H_{0}\supset H_{1}\supset H_{2}\supset \cdots ,}$

donde V ( H ) denota el rango de V . Lo definido anteriormente H _i  =  V ⁱ ( H ). Si uno define

${\displaystyle M_{i}=H_{i}\ominus H_{i+1}=V^{i}(H\ominus V(H))\quad {\text{for}}\quad i\geq 0\;,}$

entonces

${\displaystyle H=\left(\bigoplus _{i\geq 0}M_{i}\right)\oplus \left(\bigcap _{i\geq 0}H_{i}\right)=K_{1}\oplus K_{2}.}$

Está claro que K ₁ y K ₂ son subespacios invariantes de V .

Entonces V ( K ₂ ) = K ₂ . En otras palabras, V restringido a K ₂ es una isometría sobreyectiva, es decir, un operador unitario U.

Además, cada _Mi es isomorfo a otro, siendo V un isomorfismo entre _Mi y _Mi +1 _: V " desplaza _" Mi _a Mi ₊₁ . Supongamos que la dimensión de cada M _i es algún número cardinal α . Vemos que K ₁ se puede escribir como una suma directa de espacios de Hilbert.

${\displaystyle K_{1}=\oplus H_{\alpha }}$

donde cada H _α es un subespacio invariante de V y V restringido a cada H _α es el desplazamiento unilateral S . Por lo tanto

${\displaystyle V=V\vert _{K_{1}}\oplus V\vert _{K_{2}}=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U,}$

que es una descomposición Wold de V .

Observaciones

De la descomposición de Wold se desprende inmediatamente que el espectro de cualquier isometría propia, es decir, no unitaria, es la unidad de disco en el plano complejo.

Una isometría V se dice pura si, en la notación de la prueba anterior, la multiplicidad de una isometría pura V es la dimensión del núcleo de V* , es decir , la cardinalidad del conjunto de índices A en la descomposición de Wold de V. En otras palabras, una isometría pura de multiplicidad N toma la forma ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}H_{i}=\{0\}.}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{1\leq \alpha \leq N}S.}$

En esta terminología, la descomposición de Wold expresa una isometría como una suma directa de una isometría pura y un operador unitario.

Un subespacio M se llama subespacio errante de V si V ⁿ ( M ) ⊥  V ^m ( M ) para todo n  ≠  m . En particular, cada M _i definido anteriormente es un subespacio errante de  V .

Una secuencia de isometrías.

La descomposición anterior se puede generalizar ligeramente a una secuencia de isometrías, indexadas por números enteros.

El álgebra C* generada por una isometría

Considere una isometría V ∈ L ( H ). Denota por C* ( V ) el álgebra C* generada por V , es decir, C* ( V ) es la clausura normal de polinomios en V y V* . La descomposición de Wold se puede aplicar para caracterizar C* ( V ).

Sean C ( T ) las funciones continuas en el círculo unitario T . Recordamos que el C*-álgebra C* ( S ) generada por el desplazamiento unilateral S toma la siguiente forma

C* ( S ) = { T _f + K | T _f es un operador de Toeplitz con símbolo continuo f ∈ C ( T ) y K es un operador compacto }.

En esta identificación, S = T _z donde z es la función identidad en C ( T ). El álgebra C* ( S ) se llama álgebra de Toeplitz .

El teorema (Coburn) C* ( V ) es isomorfo al álgebra de Toeplitz y V es la imagen isomorfa de T _z .

La prueba depende de las conexiones con C ( T ) en la descripción del álgebra de Toeplitz y de que el espectro de un operador unitario está contenido en el círculo T .

Se necesitarán las siguientes propiedades del álgebra de Toeplitz:

1. ${\displaystyle T_{f}+T_{g}=T_{f+g}.\,}$
2. ${\displaystyle T_{f}^{*}=T_{\bar {f}}.}$
3. El semiconmutador es compacto. ${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}\,}$

La descomposición de Wold dice que V es la suma directa de copias de T _z y luego algo de U unitario :

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}T_{z}\right)\oplus U.}$

Entonces invocamos el cálculo funcional continuo f → f ( U ), y definimos

${\displaystyle \Phi :C^{*}(S)\rightarrow C^{*}(V)\quad {\text{by}}\quad \Phi (T_{f}+K)=\bigoplus _{\alpha \in A}(T_{f}+K)\oplus f(U).}$

Ahora se puede verificar que Φ es un isomorfismo que asigna el desplazamiento unilateral a V :

Según la propiedad 1 anterior, Φ es lineal. El mapa Φ es inyectivo porque T _f no es compacto para cualquier f ∈ C ( T ) distinto de cero y, por lo tanto, T _f + K = 0 implica f = 0. Dado que el rango de Φ es un álgebra C*, Φ es sobreyectivo por la minimalidad de C* ( V ). La propiedad 2 y el cálculo funcional continuo aseguran que Φ conserve la operación *. Finalmente, la propiedad del semiconmutador muestra que Φ es multiplicativa. Por tanto, el teorema se cumple.

Referencias

• Coburn, L. (1967). "El álgebra C * de una isometría". Toro. América. Matemáticas. Soc. 73 (5): 722–726. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11845-7 .
• Constantinescu, T. (1996). Parámetros de Schur, Problemas de Factorización y Dilatación. Teoría del Operador, Avances y Aplicaciones. vol. 82. Birkhäuser. ISBN 3-7643-5285-X.
• Douglas, RG (1972). Técnicas de álgebra de Banach en teoría del operador. Prensa académica. ISBN 0-12-221350-5.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985). Clases Hardy y teoría del operador. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-503591-7.