Derivados de estabilidad

Una derivada de estabilidad. Este es un ejemplo de una notación abreviada común para las derivadas de estabilidad. La "M" indica que es una medida de los cambios en el momento de cabeceo . La "M" indica que los cambios se producen en respuesta a los cambios en el ángulo de ataque . Esta derivada de estabilidad se pronuncia "see-em-alpha". Es una medida de la fuerza con la que un avión quiere volar "con el morro primero", lo que es claramente muy importante. ${\displaystyle \alpha }$

Las derivadas de estabilidad , y también las derivadas de control , son medidas de cómo cambian determinadas fuerzas y momentos de una aeronave a medida que cambian otros parámetros relacionados con la estabilidad (parámetros como la velocidad aerodinámica , la altitud, el ángulo de ataque , etc.). Para una condición de vuelo "equilibrada" definida, se producen cambios y oscilaciones en estos parámetros. Las ecuaciones de movimiento se utilizan para analizar estos cambios y oscilaciones. Las derivadas de estabilidad y control se utilizan para linealizar (simplificar) estas ecuaciones de movimiento de modo que la estabilidad del vehículo pueda analizarse más fácilmente.

Las derivadas de estabilidad y control cambian a medida que cambian las condiciones de vuelo. El conjunto de derivadas de estabilidad y control a medida que cambian en un rango de condiciones de vuelo se denomina modelo aerodinámico . Los modelos aerodinámicos se utilizan en simuladores de vuelo de ingeniería para analizar la estabilidad y en simuladores de vuelo en tiempo real para entrenamiento y entretenimiento.

Estabilidadderivada vs.controlderivado

Las derivadas de estabilidad y las derivadas de control están relacionadas porque ambas son medidas de fuerzas y momentos en un vehículo a medida que cambian otros parámetros. A menudo, las palabras se usan juntas y se abrevian en el término "derivadas de estabilidad y control". Se diferencian en que las derivadas de estabilidad miden los efectos de los cambios en las condiciones de vuelo, mientras que las derivadas de control miden los efectos de los cambios en las posiciones de las superficies de control:

Derivada de estabilidad

mide cuánto cambio ocurre en una fuerza o momento que actúa sobre el vehículo cuando hay un pequeño cambio en un parámetro de condición de vuelo , como el ángulo de ataque , la velocidad aerodinámica, la altitud, etc. (Dichos parámetros se denominan "estados").

Derivada de control

mide cuánto cambio ocurre en una fuerza o momento que actúa sobre el vehículo cuando hay un pequeño cambio en la desviación de una superficie de control, como los alerones, el elevador y el timón.

Usos

Linealización (simplificación) del análisis de estabilidad

Las derivadas de estabilidad y control cambian a medida que cambian las condiciones de vuelo. Es decir, las fuerzas y los momentos sobre el vehículo rara vez son funciones simples (lineales) de sus estados. Debido a esto, la dinámica de los vehículos de vuelo atmosférico puede ser difícil de analizar. A continuación se presentan dos métodos utilizados para abordar esta complejidad.

Pequeñas oscilaciones sobre condiciones de vuelo que de otro modo serían estables

Una forma de simplificar el análisis es considerar sólo pequeñas oscilaciones sobre condiciones de vuelo que, por lo demás, serían estables. El conjunto de condiciones de vuelo (como la altitud, la velocidad aerodinámica y el ángulo de ataque) se denominan condiciones de "compensación" cuando son estables y no cambian. Cuando las condiciones de vuelo son estables, las derivadas de estabilidad y control son constantes y se pueden analizar matemáticamente con mayor facilidad. El análisis en un único conjunto de condiciones de vuelo se aplica entonces a una variedad de condiciones de vuelo diferentes.

Aplicación en simuladores para análisis de estabilidad

En un simulador de vuelo, es posible "buscar" nuevos valores para las derivadas de estabilidad y control a medida que cambian las condiciones. Por lo tanto, las "aproximaciones lineales" no son tan buenas y la estabilidad se puede evaluar en maniobras que abarcan una gama más amplia de condiciones de vuelo. Los simuladores de vuelo que se utilizan para este tipo de análisis se denominan "simuladores de ingeniería". El conjunto de valores para las derivadas de estabilidad y control (a medida que cambian en diversas condiciones de vuelo) se denomina modelo aerodinámico .

Uso en simuladores de vuelo

Además de los simuladores de ingeniería, los modelos aerodinámicos se utilizan a menudo en simuladores de vuelo en tiempo real para uso doméstico y entrenamiento de vuelo profesional.

Nombres para los ejes de los vehículos

Los vehículos aéreos utilizan un sistema de coordenadas de ejes para ayudar a nombrar parámetros importantes que se utilizan en el análisis de estabilidad. Todos los ejes pasan por el centro de gravedad (llamado "CG"):

• El eje "X" o "x" corre de atrás hacia adelante a lo largo del cuerpo, llamado eje de balanceo .
• El eje "Y" o "y" corre de izquierda a derecha a lo largo del ala, llamado eje de cabeceo .
• La "Z" o "z" va de arriba hacia abajo, llamado Eje de Guiñada .

Dependiendo de la situación se utilizan dos alineaciones ligeramente diferentes de estos ejes: "ejes fijos al cuerpo" y "ejes de estabilidad".

Ejes fijos al cuerpo

Los ejes fijos de la carrocería, o "ejes de la carrocería", se definen y fijan con respecto a la carrocería del vehículo: ^[1]

• El eje X de la carrocería está alineado a lo largo de la carrocería del vehículo y generalmente es positivo hacia la dirección normal del movimiento.
• El eje Y de la carrocería forma un ángulo recto con respecto al eje X de la carrocería y está orientado a lo largo de las alas del vehículo. Si no hay alas (como en el caso de un misil), se define una dirección "horizontal" de manera que resulte útil. El eje Y de la carrocería suele tomarse como positivo en el lado derecho del vehículo.
• El eje del cuerpo Z es perpendicular al plano del cuerpo del ala (XY) y generalmente apunta hacia abajo.

Ejes de estabilidad

Los aviones (normalmente no misiles) operan con un ángulo de ataque "compensado" nominalmente constante . El ángulo del morro (el eje X) no se alinea con la dirección del aire que se aproxima. La diferencia entre estas direcciones es el ángulo de ataque . Por lo tanto, para muchos propósitos, los parámetros se definen en términos de un sistema de ejes ligeramente modificado llamado "ejes de estabilidad". El sistema de ejes de estabilidad se utiliza para alinear el eje X con la dirección del flujo que se aproxima. Básicamente, el sistema de ejes del cuerpo gira sobre el eje Y del cuerpo según el ángulo de ataque compensado y luego se "vuelve a fijar" al cuerpo del avión: ^[1]

• El eje de estabilidad X está alineado con la dirección del aire que se aproxima en vuelo estable . (Se proyecta hacia el plano formado por los ejes X y Z del cuerpo si hay deslizamiento lateral ).
• El eje de estabilidad Y es el mismo que el eje fijo del cuerpo Y.
• El eje de estabilidad Z es perpendicular al plano formado por el eje de estabilidad X y el eje del cuerpo Y.

Nombres de fuerzas, momentos y velocidades.

Fuerzas y velocidades a lo largo de cada uno de los ejes

Las fuerzas que actúan sobre el vehículo a lo largo de los ejes de la carrocería se denominan "fuerzas en el eje de la carrocería":

• X, o F _X , se utiliza para indicar fuerzas sobre el vehículo a lo largo del eje X
• Y, o F _Y , se utiliza para indicar fuerzas sobre el vehículo a lo largo del eje Y
• Z, o F _Z , se utiliza para indicar fuerzas sobre el vehículo a lo largo del eje Z
• u (minúscula) se utiliza para la velocidad del flujo que se aproxima a lo largo del eje del cuerpo X
• v (minúscula) se utiliza para la velocidad del flujo que se aproxima a lo largo del eje del cuerpo Y
• w (minúscula) se utiliza para la velocidad del flujo que se aproxima a lo largo del eje del cuerpo Z

Resulta útil pensar en estas velocidades como proyecciones del vector del viento relativo sobre los tres ejes de la carrocería, en lugar de en términos del movimiento de traslación del vehículo en relación con el fluido. A medida que la carrocería gira en relación con la dirección del viento relativo , estos componentes cambian, incluso cuando no hay un cambio neto en la velocidad .

Momentos y velocidades angulares alrededor de cada uno de los ejes

• L se utiliza para indicar el " momento de rodadura ", que se produce alrededor del eje X. Si se produce alrededor del eje X del cuerpo o del eje X de estabilidad depende del contexto (por ejemplo, un subíndice).
• M se utiliza para indicar el nombre del " momento de cabeceo ", que está alrededor del eje Y.
• N se utiliza para indicar el nombre del " momento de guiñada ", que se produce alrededor del eje Z. Si se produce alrededor del eje Z del cuerpo o del eje Z de estabilidad depende del contexto (por ejemplo, un subíndice).
• "P" o "p" se utiliza para la velocidad angular sobre el eje X ("velocidad de alabeo sobre el eje de alabeo"). El hecho de que se trate del eje X del cuerpo o del eje X de estabilidad depende del contexto (por ejemplo, un subíndice).
• "Q" o "q" se utiliza para la velocidad angular sobre el eje Y ("Velocidad de paso sobre el eje de paso").
• "R" o "r" se utiliza para la velocidad angular sobre el eje Z ("velocidad de guiñada sobre el eje de guiñada"). El hecho de que se trate del eje Z del cuerpo o del eje Z de estabilidad depende del contexto (por ejemplo, un subíndice).

Ecuaciones de movimiento

El uso de las derivadas de estabilidad se demuestra de forma más conveniente con configuraciones de misiles o cohetes, porque estos presentan una mayor simetría que los aeroplanos y las ecuaciones de movimiento son correspondientemente más simples. Si se supone que el vehículo está controlado por el balanceo, los movimientos de cabeceo y guiñada pueden tratarse de forma aislada. Es una práctica común considerar el plano de guiñada, de modo que solo sea necesario considerar el movimiento 2D. Además, se supone que el empuje es igual a la resistencia, y la ecuación de movimiento longitudinal puede ignorarse.

.

El cuerpo está orientado en un ángulo (psi) con respecto a los ejes inerciales. El cuerpo está orientado en un ángulo (beta) con respecto al vector de velocidad, de modo que los componentes de la velocidad en los ejes del cuerpo son: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle u=U\cos \beta }$

${\displaystyle v=U\sin \beta }$

¿Dónde está la velocidad? ${\displaystyle U}$

Las fuerzas aerodinámicas se generan con respecto a los ejes de la carrocería, que no es un sistema inercial. Para calcular el movimiento, las fuerzas deben referirse a los ejes inerciales. Esto requiere que los componentes de la velocidad de la carrocería se resuelvan a través del ángulo de rumbo en ejes inerciales. ${\displaystyle (\beta )}$

Resolviendo en ejes fijos (inerciales):

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\beta )\cos(\psi )-U\sin(\beta )\sin(\psi )=U\cos(\beta +\psi )}$

${\displaystyle v_{f}=U\sin(\beta )\cos(\psi )+U\cos(\beta )\sin(\psi )=U\sin(\beta +\psi )}$

La aceleración con respecto a los ejes inerciales se obtiene diferenciando estos componentes de la velocidad con respecto al tiempo:

${\displaystyle {\frac {du_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\cos(\beta +\psi )-U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta +\psi )}$

${\displaystyle {\frac {dv_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\sin(\beta +\psi )+U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta +\psi )}$

Según la segunda ley de Newton , esto es igual a la fuerza que actúa dividida por la masa . Ahora bien, las fuerzas surgen de la distribución de la presión sobre el cuerpo y, por lo tanto, se generan en los ejes del cuerpo y no en los ejes inerciales, por lo que las fuerzas del cuerpo deben resolverse en ejes inerciales, ya que la segunda ley de Newton no se aplica en su forma más simple a un marco de referencia en aceleración.

Resolviendo las fuerzas corporales:

${\displaystyle X_{f}=X\cos(\psi )-Y\sin(\psi )}$

${\displaystyle Y_{f}=Y\cos(\psi )+X\sin(\psi )}$

Segunda ley de Newton, asumiendo masa constante:

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}}$

${\displaystyle Y_{f}=m{\frac {dv_{f}}{dt}}}$

donde m es la masa. Igualando los valores inerciales de aceleración y fuerza y ​​descomponiéndolos en ejes corporales, se obtienen las ecuaciones de movimiento:

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\beta )-mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta )}$

${\displaystyle Y=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\beta )+mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta )}$

El deslizamiento lateral, , es una cantidad pequeña, por lo que las ecuaciones de movimiento de pequeña perturbación se convierten en: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle Y=mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}}$

La primera se asemeja a la expresión habitual de la segunda ley de Newton, mientras que la segunda es esencialmente la aceleración centrífuga . La ecuación de movimiento que rige la rotación del cuerpo se deriva de la derivada temporal del momento angular :

${\displaystyle N=C{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}}$

donde C es el momento de inercia sobre el eje de guiñada. Suponiendo una velocidad constante, sólo hay dos variables de estado; y , que se escribirán de forma más compacta como la velocidad de guiñada r. Hay una fuerza y ​​un momento, que para una condición de vuelo dada serán funciones de , r y sus derivadas temporales. Para configuraciones típicas de misiles, las fuerzas y los momentos dependen, en el corto plazo, de y r. Las fuerzas pueden expresarse en la forma: ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Y=Y_{0}+{\frac {\partial Y}{\partial \beta }}\beta +{\frac {\partial Y}{\partial r}}r}$

donde es la fuerza correspondiente a la condición de equilibrio (generalmente llamada el ajuste ) cuya estabilidad se está investigando. Es una práctica común emplear una abreviatura: ${\displaystyle Y_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}=Y_{\beta }}$

La derivada parcial y todos los términos similares que caracterizan los incrementos de fuerzas y momentos debidos a incrementos en las variables de estado se denominan derivadas de estabilidad. Normalmente, es insignificante para las configuraciones de misiles, por lo que las ecuaciones de movimiento se reducen a: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial r}}}$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r}$

Contribuciones derivadas de la estabilidad

Cada derivada de estabilidad está determinada por la posición, el tamaño, la forma y la orientación de los componentes del misil. En los aviones, la estabilidad direccional determina características como el diedro de los planos principales, el tamaño de la aleta y el área del plano de cola , pero la gran cantidad de derivadas de estabilidad importantes involucradas impide una discusión detallada en este artículo. El misil se caracteriza por solo tres derivadas de estabilidad y, por lo tanto, proporciona una introducción útil a la dinámica más compleja de los aviones.

Este diagrama muestra la sustentación perpendicular al eje longitudinal del cuerpo. En la mayoría de los usos técnicos, la sustentación es perpendicular al flujo que se aproxima. Es decir, perpendicular al eje de estabilidad longitudinal .

Consideremos primero que un cuerpo en un ángulo de ataque genera una fuerza de sustentación en dirección opuesta al movimiento del cuerpo. Por esta razón, siempre es negativa. ${\displaystyle Y_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Y_{\beta }}$

Este diagrama muestra la sustentación perpendicular al eje longitudinal del cuerpo. En la mayoría de los usos técnicos, la sustentación es perpendicular al flujo que se aproxima. Es decir, perpendicular al eje de estabilidad longitudinal .

En ángulos de ataque bajos, la sustentación es generada principalmente por las alas, las aletas y la región de la nariz del cuerpo. La sustentación total actúa a una distancia por delante del centro de gravedad (tiene un valor negativo en la figura), esto, en la jerga de los misiles, es el centro de presión. Si la sustentación actúa por delante del centro de gravedad, el momento de guiñada será negativo y tenderá a aumentar el ángulo de ataque, aumentando aún más tanto la sustentación como el momento. De ello se deduce que el centro de presión debe estar por detrás del centro de gravedad para la estabilidad estática. es el margen estático y debe ser negativo para la estabilidad estática longitudinal . Alternativamente, el ángulo de ataque positivo debe generar un momento de guiñada positivo en un misil estáticamente estable, es decir, debe ser positivo. Es una práctica común diseñar misiles maniobrables con un margen estático cercano a cero (es decir, estabilidad estática neutra). ${\displaystyle x_{cp}}$ ${\displaystyle x_{cp}}$ ${\displaystyle N_{\beta }}$

La necesidad de lo positivo explica por qué las flechas y los dardos tienen vuelo y los cohetes no guiados tienen aletas. ${\displaystyle N_{\beta }}$

.

El efecto de la velocidad angular es principalmente disminuir la sustentación del morro y aumentar la sustentación de la cola, las cuales actúan en cierto sentido para oponerse a la rotación. por lo tanto, siempre es negativo. Hay una contribución del ala, pero como los misiles tienden a tener pequeños márgenes estáticos (normalmente inferiores a un calibre ), esta suele ser pequeña. Además, la contribución de la aleta es mayor que la del morro, por lo que hay una fuerza neta , pero esta suele ser insignificante en comparación con y normalmente se ignora. ${\displaystyle N_{r}}$ ${\displaystyle Y_{r}}$ ${\displaystyle Y_{\beta }}$

Respuesta

La manipulación de las ecuaciones de movimiento produce una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden en el ángulo de ataque : ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}-\left({\frac {Y_{\beta }}{mU}}+{\frac {N_{r}}{C}}\right){\frac {d\beta }{dt}}+\left({\frac {N_{\beta }}{C}}+{\frac {Y_{\beta }}{mU}}{\frac {N_{r}}{C}}\right)\beta =0}$

El comportamiento cualitativo de esta ecuación se considera en el artículo sobre estabilidad direccional . Dado que y son ambos negativos, la amortiguación es positiva. La rigidez no solo depende del término de estabilidad estática , sino que también contiene un término que determina efectivamente el ángulo de ataque debido a la rotación del cuerpo. La distancia del centro de sustentación, incluido este término, por delante del centro de gravedad se denomina margen de maniobra. Debe ser negativo para la estabilidad. ${\displaystyle Y_{\beta }}$ ${\displaystyle N_{r}}$ ${\displaystyle N_{\beta }}$

Esta oscilación amortiguada en el ángulo de ataque y la velocidad de guiñada, después de una perturbación, se denomina modo "veleta", debido a la tendencia de una veleta a apuntar hacia el viento.

Comentarios

Las variables de estado elegidas fueron el ángulo de ataque y la velocidad de guiñada r, y se ha omitido la perturbación de velocidad u, junto con las derivadas asociadas, por ejemplo . Esto puede parecer arbitrario. Sin embargo, dado que la escala de tiempo de la variación de la velocidad es mucho mayor que la de la variación del ángulo de ataque, sus efectos son despreciables en lo que respecta a la estabilidad direccional del vehículo. De manera similar, también se ignoró el efecto del balanceo en el movimiento de guiñada, porque los misiles generalmente tienen configuraciones de relación de aspecto baja y la inercia de balanceo es mucho menor que la inercia de guiñada, en consecuencia, se espera que el bucle de balanceo sea mucho más rápido que la respuesta de guiñada, y se ignora. Estas simplificaciones del problema basadas en conocimiento a priori representan el enfoque de un ingeniero. Los matemáticos prefieren mantener el problema lo más general posible y solo simplificarlo al final del análisis, si es que lo hacen. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Y_{u}}$

La dinámica de las aeronaves es más compleja que la de los misiles, principalmente porque las simplificaciones, como la separación de los modos rápido y lento, y la similitud entre los movimientos de cabeceo y guiñada, no son obvias a partir de las ecuaciones de movimiento y, en consecuencia, se posponen hasta una etapa posterior del análisis. Las aeronaves de transporte subsónico tienen configuraciones de relación de aspecto alta, por lo que la guiñada y el balanceo no pueden considerarse como desacoplados. Sin embargo, esto es simplemente una cuestión de grado; las ideas básicas necesarias para comprender la dinámica de las aeronaves se cubren en este análisis más simple del movimiento de los misiles.

Derivadas de control

La deflexión de las superficies de control modifica la distribución de la presión sobre el vehículo, y esto se soluciona incluyendo perturbaciones en las fuerzas y momentos debido a la deflexión del control. La deflexión de la aleta normalmente se denota (zeta). Al incluir estos términos, las ecuaciones de movimiento se convierten en: ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r+{\frac {Y_{\zeta }}{mU}}\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r+{\frac {N_{\zeta }}{C}}\zeta }$

La inclusión de las derivadas de control permite estudiar la respuesta del vehículo y utilizar las ecuaciones de movimiento para diseñar el piloto automático.

Ejemplos

• CL _{${\displaystyle \beta }$} , llamado efecto diedro , es una derivada de estabilidad que mide los cambios en el momento de rodadura a medida que cambia el ángulo de deslizamiento lateral . La "L" indica _el momento de rodadura y la "L" indica el ángulo de deslizamiento lateral. ${\displaystyle \beta }$

Véase también

• Estabilidad estática longitudinal
• Punto neutro
• Centro aerodinámico
• Dinámica de vuelo
• Estabilidad direccional

Referencias

1. Roskam, Jan (1979). "4". Dinámica de vuelo de aviones y controles automáticos de vuelo . Vol. 1. Ottawa, Kansas: Roskam Aviation and Engineering Corporation. pág. 113.Número de tarjeta de catálogo de la Biblioteca del Congreso: 78-31382

• Babister AW: Estabilidad y respuesta dinámica de aeronaves . Elsever 1980, ISBN 0-08-024768-7 
• Friedland B: Diseño de sistemas de control . McGraw-Hill Book Company 1987. ISBN 0-07-100420-3 
• Roskam Jan: Dinámica de vuelo de aviones y controles automáticos de vuelo . Roskam Aviation and Engineering Corporation 1979. Segunda impresión 1982. Número de catálogo de la Biblioteca del Congreso: 78-31382.