Ecuaciones de jeans

Sistema de ecuaciones diferenciales

Simulación de N-cuerpos de la Universidad de Texas. Gobernada por ecuaciones de Jeans en un potencial gravitacional

Las ecuaciones de Jeans son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de un conjunto de estrellas en un campo gravitacional . Las ecuaciones de Jeans relacionan los momentos de velocidad de segundo orden con la densidad y el potencial de un sistema estelar para sistemas sin colisión. Son análogas a las ecuaciones de Euler para el flujo de fluidos y pueden derivarse de la ecuación de Boltzmann sin colisión . Las ecuaciones de Jeans pueden presentarse en una variedad de formas diferentes, dependiendo de la estructura de lo que se esté modelando. La mayor parte del uso de estas ecuaciones se ha encontrado en simulaciones con una gran cantidad de objetos ligados gravitacionalmente.

Historia

Las ecuaciones de Jeans fueron derivadas originalmente por James Clerk Maxwell . Sin embargo, James Jeans las aplicó por primera vez a la astronomía en 1915 mientras trabajaba en hidrodinámica estelar. Desde entonces, se han calculado múltiples soluciones a las ecuaciones de forma analítica y numérica. Algunas soluciones notables incluyen una solución esféricamente simétrica, derivada por James Binney en 1983 y soluciones axisimétricas encontradas en 1995 por Richard Arnold. ^{[1] [2]}

Matemáticas

Derivación de la ecuación de Boltzmann

La ecuación de Boltzmann sin colisión, también llamada ecuación de Vlasov, es una forma especial de la ecuación de Liouville y se expresa por: ^[3]

${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+v{\partial f \over \partial r}-{\partial \Phi \over \partial r}{\partial f \over \partial v}=0}$ O en forma vectorial: ${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}f-{\vec {\nabla }}\Phi \cdot {\partial f \over \partial {\vec {v}}}=0}$

Combinando la ecuación de Vlasov con la ecuación de Poisson para la gravedad: se obtienen las ecuaciones de Jeans. $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

Más explícitamente, si n = n ( x , t ) es la densidad de estrellas en el espacio, en función de la posición x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) y el tiempo t , v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) es la velocidad, y Φ = Φ( x , t ) es el potencial gravitacional , las ecuaciones de Jeans pueden escribirse como: ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (n\langle {v_{j}}\rangle )}{\partial t}}+n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}v_{j}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0\qquad (j=1,2,3.)}$

Aquí, la notación ⟨...⟩ significa un promedio en un punto y tiempo dados (x,t), de modo que, por ejemplo, es el promedio del componente 1 de la velocidad de las estrellas en un punto y tiempo dados. El segundo conjunto de ecuaciones puede escribirse alternativamente como ${\displaystyle \langle {v_{1}}\rangle }$

${\displaystyle n{\frac {\partial \langle {v_{j}}\rangle }{\partial t}}+\sum _{i}n\langle {v_{i}}\rangle {\frac {\partial {\langle {v_{j}}\rangle }}{\partial x_{i}}}=-n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}-\sum _{i}{\frac {\partial (n\sigma _{ij}^{2})}{\partial x_{i}}}\qquad (j=1,2,3.)}$

donde la parte espacial del tensor de tensión-energía se define como: y mide la dispersión de velocidad en los componentes i y j en un punto dado. ${\displaystyle \sigma _{ij}^{2}=\langle {v_{i}v_{j}}\rangle -\langle {v_{i}}\rangle \langle {v_{j}}\rangle }$

Algunas suposiciones dadas con respecto a estas ecuaciones incluyen:

• El flujo en el espacio de fases debe conservar la masa.
• La densidad alrededor de una estrella dada permanece igual o es incompresible .

Nótese que las ecuaciones de Jeans contienen 9 incógnitas (3 velocidades promedio y 6 términos del tensor de tensión), pero solo 3 ecuaciones. Esto significa que las ecuaciones de Jeans no son cerradas. Para resolver diferentes sistemas, se hacen varias suposiciones sobre el tensor de tensión. ^[6]

Ecuaciones de jeans esféricas

Un uso fundamental de la ecuación de Jean es en cuerpos gravitacionales esféricos. En coordenadas esféricas , las ecuaciones son: ^[6]

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{r}\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}^{2}\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[2\langle v_{r}^{2}\rangle -\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle ]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}$

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\theta }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\theta }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\theta }\rangle +(\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle )\cot(\theta )]=0}$

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\phi }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\phi }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\phi }\rangle +2\langle v_{\theta }v_{\phi }\rangle \cot(\theta )]=0}$

Utilizando el tensor de tensión con el supuesto de que es diagonal y , podemos reducir estas ecuaciones a una única ecuación simplificada: ${\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}=\sigma _{\phi }^{2}}$

${\displaystyle {\partial (\rho \sigma _{r}^{2}) \over \partial r}+{2\rho \over r}[\sigma _{r}^{2}-\sigma _{\theta }^{2}]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}$

Nuevamente, hay dos funciones desconocidas ( y ) que requieren suposiciones para resolver la ecuación. ${\displaystyle \sigma _{r}^{2}(r)}$ ${\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}(r)}$

Aplicaciones

Las ecuaciones de Jeans han encontrado una gran utilidad en la investigación gravitacional de simulación de N-cuerpos . ^[7] La ​​escala de estas simulaciones puede variar en tamaño desde solo nuestro sistema solar hasta el universo entero. Usando mediciones de densidad numérica estelar y varios valores cinemáticos, se pueden estimar parámetros dentro de las ecuaciones de Jeans. Esto permite que se realicen varios análisis a través de la lente de las ecuaciones de Jeans. Esto es particularmente útil cuando se simulan distribuciones de halos de materia oscura , debido a su comportamiento isotérmico y no interactivo. Las búsquedas de estructura en la formación de galaxias, la formación de materia oscura y la formación del universo pueden tener observaciones complementadas con simulaciones usando ecuaciones de Jeans.

Telescopio SDSS que proporciona datos para la estimación de parámetros de la ecuación de Jeans.

Halo de materia oscura de la Vía Láctea

Representación artística del halo de materia oscura que rodea la Vía Láctea. Las simulaciones de la ecuación de Jeans establecen límites al tamaño de este halo

Un ejemplo de este tipo de análisis lo constituyen las restricciones que se pueden imponer al halo de materia oscura dentro de la Vía Láctea . Utilizando las mediciones del Sloan Digital Sky Survey de nuestra galaxia, los investigadores pudieron simular la distribución del halo de materia oscura utilizando las ecuaciones de Jeans. ^[8] Al comparar los valores medidos con los resultados de la simulación de la ecuación de Jeans, confirmaron la necesidad de materia oscura adicional y establecieron límites a su tamaño de elipsoide. Estimaron que la relación entre el eje menor y el eje mayor de este halo era de 0,47 ± 0,14. Este método se ha aplicado a muchos otros halos galácticos ^[9] y ha producido resultados similares con respecto a la topología del halo de materia oscura. ${\displaystyle \pm }$

Limitaciones de la simulación

Sin embargo, el factor limitante de estas simulaciones ha sido la información requerida para aproximar los valores de los parámetros del tensor de tensión que dictan el comportamiento de las ecuaciones de Jeans. Además, se pueden imponer algunas restricciones a las simulaciones de ecuaciones de Jeans para producir resultados confiables ^{[10] [11].} Algunas de estas limitaciones incluyen un requisito de resolución de longitud de onda, suavizado gravitacional variable y una resolución mínima de partículas de estructura vertical.

Véase también

• Teorema de jeans

Referencias

1. Arnold, Richard (1995). "Soluciones axisimétricas de la ecuación de Jeans". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 276 : 293–300. Bibcode :1995MNRAS.276..293A. doi : 10.1093/mnras/276.1.293 . ISSN  1365-2966.
2. Cappellari, Michele (1 de junio de 2020). "Solución eficiente de las ecuaciones de Jeans axisimétricas alineadas esféricamente anisotrópicas de la hidrodinámica estelar para la dinámica galáctica". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 494 (4): 4819–4837. arXiv : 1907.09894 . doi : 10.1093/mnras/staa959 ​​. ISSN  0035-8711.
3. "La ecuación de Boltzmann sin colisiones". www.cv.nrao.edu . Consultado el 23 de abril de 2022 .
4. Binney, James ; Tremaine, Scott (1988). "4.2". Dinámica galáctica (1.ª ed.). Princeton University Press . págs. 195–197. Código Bibliográfico :1988gady.book.....B. ISBN 0-691-08445-9.
5. Merritt, David (2013). Dinámica y evolución de los núcleos galácticos. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press.
6. Van Den Bosch, Frank. "Notas de la conferencia de astronomía de Yale" (PDF) .
7. Haas, Brian L.; Hash, David B.; Bird, Graeme A.; Lumpkin, Forrest E.; Hassan, HA (1994). "Tasas de relajación térmica en métodos de simulación directa de Monte Carlo". Física de fluidos . 6 (6): 2191–2201. Bibcode :1994PhFl....6.2191H. doi :10.1063/1.868221. ISSN  1070-6631.
8. Loebman, Sarah R.; Ivezić, Željko; Quinn, Thomas R.; Governato, Fabio; Brooks, Alyson M.; Christensen, Charlotte R.; Jurić, Mario (26 de septiembre de 2012). "Restricciones en la forma del halo de materia oscura de la Vía Láctea a partir de las ecuaciones de Jeans aplicadas a los datos del Sloan Digital Sky Survey". The Astrophysical Journal . 758 (1): L23. arXiv : 1209.2708 . Código Bibliográfico :2012ApJ...758L..23L. doi :10.1088/2041-8205/758/1/l23. ISSN  2041-8205. S2CID  18220516.
9. Adams, Joshua J.; Gebhardt, Karl; Blanc, Guillermo A.; Fabricius, Maximilian H.; Hill, Gary J.; Murphy, Jeremy D.; van den Bosch, Remco CE; van de Ven, Glenn (3 de enero de 2012). "La distribución central de materia oscura de NGC 2976". The Astrophysical Journal . 745 (1): 92. arXiv : 1110.5951 . Bibcode :2012ApJ...745...92A. doi :10.1088/0004-637x/745/1/92. hdl :2152/35153. ISSN  0004-637X. S2CID  118429887.
10. Nelson, Andrew F. (2006). "Requisitos numéricos para simulaciones de discos autogravitantes y no autogravitantes". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 373 (3): 1039–1073. arXiv : astro-ph/0609493 . Bibcode :2006MNRAS.373.1039N. doi : 10.1111/j.1365-2966.2006.11119.x . ISSN  0035-8711. S2CID  17175349.
11. Truelove, J. Kelly; Klein, Richard I.; McKee, Christopher F.; Holliman Ii, John H.; Howell, Louis H.; Greenough, Jeffrey A. (1997). "La condición de Jeans: una nueva restricción en la resolución espacial en simulaciones de hidrodinámica autogravitacional isotérmica". The Astrophysical Journal . 489 (2): L179–L183. Bibcode :1997ApJ...489L.179T. doi : 10.1086/310975 . S2CID  120393398.