Teorema de jeans

Teoría matemática

En astrofísica y mecánica estadística , el teorema de Jeans , llamado así en honor a James Jeans , establece que cualquier solución en estado estable de la ecuación de Boltzmann sin colisiones depende de las coordenadas del espacio de fases solo a través de integrales de movimiento en el potencial dado y, a la inversa, cualquier función de las integrales es una solución en estado estable.

El teorema de Jeans se analiza con mayor frecuencia en el contexto de potenciales caracterizados por tres integrales globales. En tales potenciales, todas las órbitas son regulares, es decir, no caóticas ; el potencial de Kepler es un ejemplo. En potenciales genéricos, algunas órbitas respetan solo una o dos integrales y el movimiento correspondiente es caótico. El teorema de Jeans se puede generalizar a tales potenciales de la siguiente manera: ^[1]

La densidad del espacio de fases de un sistema estelar estacionario es constante dentro de cada región bien conectada.

Una región bien conectada es aquella que no se puede descomponer en dos regiones finitas de modo que todas las trayectorias se encuentren, en todo momento, en una o en la otra. Los toros invariantes de órbitas regulares son regiones de este tipo, pero también lo son las partes más complejas del espacio de fases asociadas con trayectorias caóticas. Por lo tanto, no se requiere la integrabilidad del movimiento para un estado estable.

Descripción matemática

Considere la ecuación de Boltzmann sin colisiones para la función de distribución ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} \cdot \nabla _{v}f=0.}$

Consideremos el enfoque lagrangiano para el movimiento de la partícula, en cuyo caso, las ecuaciones requeridas son

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {\mathbf {F} }{m}}.}$

Sean las soluciones de estas ecuaciones

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6},t)}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6},t)}$

donde s son las constantes de integración. Supongamos que a partir del conjunto anterior podemos resolver , es decir, podemos encontrar ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t).}$

Consideremos ahora una función arbitraria de 's, ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle f=f(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{6}).}$

Entonces esta función es la solución de la ecuación de Boltzmann sin colisiones, como se puede verificar sustituyendo esta función en la ecuación de Boltzmann sin colisiones para encontrar ^{[2] [3]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{6}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}\left[{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \alpha _{i}+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} \cdot \nabla _{v}\alpha _{i}\right]=\sum _{i=1}^{6}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}{\frac {d\alpha _{i}}{dt}}=0.}$

Esto demuestra el teorema.

Un conjunto trivial de constantes de integración son la posición inicial y las velocidades iniciales de la partícula. En este caso, cualquier función ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle f=f(\mathbf {x} _{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t),\mathbf {v} _{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t))}$

es una solución de la ecuación de Boltzmann sin colisiones.

Véase también

• Ecuaciones de jeans

Referencias

1. Merritt, David (2013). Dinámica y evolución de los núcleos galácticos. Princeton, NJ: Princeton University Press . pp. 67–68. ISBN 978-0-691-12101-7. Número de serie LCCN  2013936624.
2. Watson, KM (1956). Uso de la ecuación de Boltzmann para el estudio de gases ionizados de baja densidad. I. Physical Review, 102(1), 12.
3. Chandrasekhar, S., (1960). Física del plasma. Prensa de la Universidad de Chicago.