Parámetros de Denavit-Hartenberg

Convención para unir marcos de referencia a eslabones de una cadena cinemática

En ingeniería mecánica , los parámetros de Denavit-Hartenberg (también llamados parámetros DH ) son los cuatro parámetros asociados con una convención particular para unir marcos de referencia a los eslabones de una cadena cinemática espacial o un manipulador de robot .

Jacques Denavit y Richard Hartenberg introdujeron esta convención en 1955 con el fin de estandarizar los marcos de coordenadas para los vínculos espaciales . ^{[1] [2]}

Richard Paul demostró su valor para el análisis cinemático de sistemas robóticos en 1981. ^[3] Si bien se han desarrollado muchas convenciones para fijar marcos de referencia, la convención de Denavit-Hartenberg sigue siendo un enfoque popular.

Convención de Denavit-Hartenberg

Una convención comúnmente utilizada para seleccionar marcos de referencia en aplicaciones robóticas es la convención de Denavit y Hartenberg (D–H), que fue introducida por Jacques Denavit y Richard S. Hartenberg. En esta convención, los marcos de coordenadas se adjuntan a las articulaciones entre dos eslabones de modo que una transformación se asocia con la articulación [ Z  ] y la segunda se asocia con el eslabón [ X  ] . Las transformaciones de coordenadas a lo largo de un robot en serie que consta de n eslabones forman las ecuaciones cinemáticas del robot:

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}][X_{n}]\!}$

donde [ T  ] es la transformación que caracteriza la ubicación y orientación del enlace final.

Para determinar las transformaciones de coordenadas [ Z  ] y [ X  ] , las articulaciones que conectan los eslabones se modelan como articulaciones articuladas o deslizantes, cada una de las cuales tiene una línea única S en el espacio que forma el eje de la articulación y define el movimiento relativo de los dos eslabones. Un robot serial típico se caracteriza por una secuencia de seis líneas S _i ( i = 1, 2, ..., 6) , una para cada articulación del robot. Para cada secuencia de líneas S _i y S _{i +1} , hay una línea normal común A _{i , i +1} . El sistema de seis ejes de articulación S _i y cinco líneas normales comunes A _{i , i +1} forman el esqueleto cinemático del robot serial típico de seis grados de libertad. Denavit y Hartenberg introdujeron la convención de que los ejes de coordenadas z se asignan a los ejes de articulación S _i y los ejes de coordenadas x se asignan a las normales comunes A _{i , i +1} .

Esta convención permite definir el movimiento de los eslabones alrededor de un eje de articulación común S _i mediante el desplazamiento del tornillo :

${\displaystyle [Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

donde θ _i es la rotación alrededor y d _i es el movimiento de deslizamiento a lo largo del eje z . Cada uno de estos parámetros podría ser una constante dependiendo de la estructura del robot. Bajo esta convención las dimensiones de cada eslabón en la cadena serial están definidas por el desplazamiento del tornillo alrededor de la normal común A _{i , i +1} desde la articulación S _i hasta S _{i +1} , que viene dada por

${\displaystyle [X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

donde α _{i , i +1} y r _{i , i +1} definen las dimensiones físicas del enlace en términos del ángulo medido alrededor y la distancia medida a lo largo del eje X.

En resumen, los marcos de referencia se presentan de la siguiente manera:

1. El eje z está en la dirección del eje de la articulación.
2. El eje x es paralelo a la normal común : (o se aleja de z _{n –1} ) Si no hay una normal común única ( ejes z paralelos), entonces d (abajo) es un parámetro libre. La dirección de x _n es de z _{n –1} a z _n , como se muestra en el video a continuación. ${\displaystyle x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}}$
   
3. El eje y se deriva de los ejes x y z al elegirlo como un sistema de coordenadas diestro .

Cuatro parámetros

Los cuatro parámetros de la convención DH clásica se muestran en texto rojo, que son θ _i , d _i , a _i , α _i . Con esos cuatro parámetros, podemos traducir las coordenadas de O _{i –1} X _{i –1} Y _{i –1} Z _{i –1} a O _i X _i Y _i Z _i .

Los siguientes cuatro parámetros de transformación se conocen como parámetros D–H: ^[4]

• d : desplazamiento a lo largo del z anterior a la normal común
• θ : ángulo respecto del eje z anterior desde el eje x antiguo al eje x nuevo
• r : longitud de la normal común (también conocida como a , pero si se utiliza esta notación, no confundir con α ). Suponiendo una articulación giratoria, este es el radio respecto del z anterior .
• α : ángulo respecto de la normal común, desde el antiguo eje z hasta el nuevo eje z

Existe la posibilidad de elegir si el eje x anterior o el siguiente apuntan a lo largo de la normal común. El último sistema permite ramificar cadenas de manera más eficiente, ya que varios marcos pueden apuntar en dirección opuesta a su antecesor común, pero en el diseño alternativo el antecesor solo puede apuntar hacia un sucesor. Por lo tanto, la notación comúnmente utilizada coloca cada eje x de la cadena descendente colineal con la normal común, lo que produce los cálculos de transformación que se muestran a continuación.

Podemos observar restricciones en las relaciones entre los ejes:

• El eje x _n es perpendicular a los ejes z _{n –1} y z _n
• El eje x _n intersecta los ejes z _{n –1} y z _n
• El origen de la articulación n está en la intersección de x _n y z _n
• y _n completa un marco de referencia diestro basado en x _n y z _n

Matriz de Denavit-Hartenberg

Es común separar el desplazamiento de un tornillo en el producto de una traslación pura a lo largo de una línea y una rotación pura alrededor de la línea, ^{[5] [6]} de modo que

${\displaystyle [Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),}$

y

${\displaystyle [X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(r_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).}$

Utilizando esta notación, cada enlace puede describirse mediante una transformación de coordenadas del sistema de coordenadas concurrente al sistema de coordenadas anterior.

${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=[Z_{n-1}]\cdot [X_{n}]}$

Nótese que este es el producto de dos desplazamientos de tornillo . Las matrices asociadas a estas operaciones son:

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&0\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&r_{n}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{n}&-\sin \alpha _{n}&0\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Esto da como resultado:

${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\cos \theta _{n}\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\sin \theta _{n}\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R&&T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

donde R es la submatriz 3×3 que describe la rotación y T es la submatriz 3×1 que describe la traslación.

En algunos libros, el orden de transformación para un par de rotaciones y traslaciones consecutivas (como y ) se invierte. Esto es posible (a pesar de que, en general, la multiplicación de matrices no es conmutativa) ya que las traslaciones y rotaciones se refieren a los mismos ejes y , respectivamente. Como el orden de multiplicación de matrices para estos pares no importa, el resultado es el mismo. Por ejemplo: . ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})}$

Por lo tanto, podemos escribir la transformación de la siguiente manera: ${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}}$
${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})}$
${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})}$

Uso de matrices de Denavit y Hartenberg

La notación de Denavit y Hartenberg proporciona una metodología estándar (distal) para escribir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador. Esto resulta especialmente útil para manipuladores en serie, en los que se utiliza una matriz para representar la postura (posición y orientación) de un cuerpo con respecto a otro.

La posición del cuerpo con respecto a puede representarse mediante una matriz de posición indicada con el símbolo o ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=M_{n-1,n}}$

Esta matriz también se utiliza para transformar un punto de un marco a otro . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle M_{n-1,n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}&T_{x}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}&T_{y}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}&T_{z}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Donde la submatriz superior izquierda de representa la orientación relativa de los dos cuerpos, y la superior derecha representa su posición relativa o más específicamente la posición del cuerpo en el marco  n  − 1 representada con el elemento del marco  n . ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 3\times 1}$

La posición del cuerpo con respecto al cuerpo se puede obtener como el producto de las matrices que representan la pose de con respecto a y la de con respecto a ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle M_{i,k}=M_{i,j}M_{j,k}}$

Una propiedad importante de las matrices de Denavit y Hartenberg es que la inversa es

${\displaystyle M^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R^{T}&&-R^{T}T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

donde es tanto la transpuesta como la inversa de la matriz ortogonal , es decir . ${\displaystyle R^{T}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{ij}^{-1}=R_{ij}^{T}=R_{ji}}$

Cinemática

Se pueden definir matrices adicionales para representar la velocidad y la aceleración de los cuerpos. ^{[5] [6]} La velocidad de un cuerpo con respecto a otro cuerpo se puede representar en el marco mediante la matriz ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle W_{i,j(k)}=\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\omega _{z}&\omega _{y}&v_{x}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}&v_{y}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0&v_{z}\\\hline 0&0&0&0\end{array}}\right]}$

donde es la velocidad angular del cuerpo con respecto al cuerpo y todos los componentes se expresan en el marco ; es la velocidad de un punto del cuerpo con respecto al cuerpo (el polo). El polo es el punto que pasa por el origen del marco . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

La matriz de aceleración se puede definir como la suma de la derivada temporal de la velocidad más el cuadrado de la velocidad.

${\displaystyle H_{i,j(k)}={\dot {W}}_{i,j(k)}+W_{i,j(k)}^{2}}$

La velocidad y la aceleración en el marco de un punto del cuerpo se pueden evaluar como ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\dot {P}}=W_{i,j}P}$

${\displaystyle {\ddot {P}}=H_{i,j}P}$

También es posible demostrar que

${\displaystyle {\dot {M}}_{i,j}=W_{i,j(i)}M_{i,j}}$

${\displaystyle {\ddot {M}}_{i,j}=H_{i,j(i)}M_{i,j}}$

Las matrices de velocidad y aceleración se suman de acuerdo con las siguientes reglas

${\displaystyle W_{i,k}=W_{i,j}+W_{j,k}}$

${\displaystyle H_{i,k}=H_{i,j}+H_{j,k}+2W_{i,j}W_{j,k}}$

en otras palabras, la velocidad absoluta es la suma de la velocidad original más la velocidad relativa; para la aceleración también está presente el término de Coriolis.

Los componentes de las matrices de velocidad y aceleración se expresan en un marco arbitrario y se transforman de un marco a otro mediante la siguiente regla ${\displaystyle k}$

${\displaystyle W_{(h)}=M_{h,k}W_{(k)}M_{k,h}}$

${\displaystyle H_{(h)}=M_{h,k}H_{(k)}M_{k,h}}$

Dinámica

Para la dinámica, son necesarias tres matrices más para describir la inercia , el momento lineal y angular y las fuerzas y pares aplicados a un cuerpo. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Phi }$

Inercia : ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|c}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}&x_{g}m\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}&y_{g}m\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}&z_{g}m\\\hline x_{g}m&y_{g}m&z_{g}m&m\end{array}}\right]}$

donde es la masa, representa la posición del centro de masa, y los términos representan la inercia y se definen como ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{g},\,y_{g},\,z_{g}}$ ${\displaystyle I_{xx},\,I_{xy},\ldots }$

${\displaystyle I_{xx}=\iint x^{2}\,dm}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=\iint xy\,dm\\I_{xz}&=\cdots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

Matriz de acción , que contiene fuerza y ​​torque : ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \Phi =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-t_{z}&t_{y}&f_{x}\\t_{z}&0&-t_{x}&f_{y}\\-t_{y}&t_{x}&0&f_{z}\\\hline -f_{x}&-f_{y}&-f_{z}&0\end{array}}\right]}$

Matriz de momento , que contiene el momento lineal y angular ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\gamma _{z}&\gamma _{y}&\rho _{x}\\\gamma _{z}&0&-\gamma _{x}&\rho _{y}\\-\gamma _{y}&\gamma _{x}&0&\rho _{z}\\\hline -\rho _{x}&-\rho _{y}&-\rho _{z}&0\end{array}}\right]}$

Todas las matrices se representan con los componentes vectoriales en un determinado cuadro . La transformación de los componentes de cuadro a cuadro sigue la regla ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{(h)}&=M_{h,k}J_{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Gamma _{(h)}&=M_{h,k}\Gamma _{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Phi _{(h)}&=M_{h,k}\Phi _{(k)}M_{h,k}^{T}\end{aligned}}}$

Las matrices descritas permiten escribir las ecuaciones dinámicas de forma concisa.

Ley de Newton:

${\displaystyle \Phi =HJ-JH^{t}\,}$

Impulso:

${\displaystyle \Gamma =WJ-JW^{t}\,}$

La primera de estas ecuaciones expresa la ley de Newton y es equivalente a la ecuación vectorial (fuerza igual a masa por aceleración) más (aceleración angular en función de la inercia y la velocidad angular); la segunda ecuación permite evaluar el momento lineal y angular cuando se conocen la velocidad y la inercia. ${\displaystyle f=ma}$ ${\displaystyle t=J{\dot {\omega }}+\omega \times J\omega }$

Parámetros DH modificados

Algunos libros como Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd Edition) ^[7] utilizan parámetros DH modificados (proximales). La diferencia entre los parámetros DH clásicos (distales) y los parámetros DH modificados son las ubicaciones de los enlaces del sistema de coordenadas y el orden de las transformaciones realizadas.

Parámetros DH modificados

En comparación con los parámetros DH clásicos, las coordenadas de la trama se colocan en el eje i  − 1, no en el eje i de la convención DH clásica. Las coordenadas de se colocan en el eje i , no en el eje i  + 1 de la convención DH clásica. ${\displaystyle O_{i-1}}$ ${\displaystyle O_{i}}$

Otra diferencia es que según la convención modificada, la matriz de transformación viene dada por el siguiente orden de operaciones:

${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{x_{n-1}}(\alpha _{n-1})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n-1}}(a_{n-1})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})}$

Por lo tanto, la matriz de los parámetros DH modificados se convierte en

${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&a_{n-1}\\\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&-\sin \alpha _{n-1}&-d_{n}\sin \alpha _{n-1}\\\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \alpha _{n-1}&d_{n}\cos \alpha _{n-1}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Tenga en cuenta que algunos libros (por ejemplo: ^[8] ) utilizan y para indicar la longitud y la torsión del enlace n  − 1 en lugar del enlace  n . En consecuencia, se forma solo con parámetros que utilizan el mismo subíndice. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}}$

Se han publicado estudios sobre las convenciones DH y sus diferencias. ^{[9] [10]}

Véase también

• Cinemática directa
• Cinemática inversa
• Cadena cinemática
• Cinemática
• Convenciones de robótica
• Sistemas mecánicos

Referencias

1. Denavit, Jacques; Hartenberg, Richard Scheunemann (1955). "Una notación cinemática para mecanismos de pares inferiores basada en matrices". Journal of Applied Mechanics . 22 (2): 215–221. doi :10.1115/1.4011045.
2. Hartenberg, Richard Scheunemann; Denavit, Jacques (1965). Síntesis cinemática de eslabones. Serie McGraw-Hill en ingeniería mecánica. Nueva York: McGraw-Hill. p. 435. Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2013. Consultado el 13 de enero de 2012 .
3. Paul, Richard (1981). Manipuladores de robots: matemáticas, programación y control: el control informático de los manipuladores de robots. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 978-0-262-16082-7Archivado desde el original el 15 de febrero de 2017. Consultado el 22 de septiembre de 2016 .
4. Spong, Mark W.; Vidyasagar, M. (1989). Dinámica y control de robots . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 9780471503521.
5. Legnani, Giovanni; Casolo, Federico; Righettini, Paolo; Zappa, Bruno (1996). "Un enfoque matricial homogéneo para la cinemática y dinámica 3D — I. Teoría". Mecanismo y teoría de máquinas . 31 (5): 573–587. doi :10.1016/0094-114X(95)00100-D.
6. Legnani, Giovanni; Casolo, Federico; Righettini, Paolo; Zappa, Bruno (1996). "Un enfoque matricial homogéneo para la cinemática y dinámica 3D—II. Aplicaciones a cadenas de cuerpos rígidos y manipuladores seriales". Mecanismo y teoría de máquinas . 31 (5): 589–605. doi :10.1016/0094-114X(95)00101-4.
7. John J. Craig, Introducción a la robótica: mecánica y control (3.ª edición) ISBN 978-0201543612 
8. Khalil, Wisama; Dombre, Etienne (2002). Modelado, identificación y control de robots. Nueva York: Taylor Francis. ISBN 1-56032-983-1Archivado desde el original el 12 de marzo de 2017. Consultado el 22 de septiembre de 2016 .
9. Lipkin, Harvey (2005). "Una nota sobre la notación Denavit–Hartenberg en robótica". Volumen 7: 29.ª Conferencia sobre mecanismos y robótica, partes A y B. Vol. 2005. págs. 921–926. doi :10.1115/DETC2005-85460. ISBN 0-7918-4744-6.
10. Waldron, Kenneth; Schmiedeler, James (2008). "Cinemática". Springer Handbook of Robotics . págs. 9–33. doi :10.1007/978-3-540-30301-5_2. ISBN 978-3-540-23957-4.