De cero al infinito

libro de teoría de números

De cero al infinito: lo que hace que los números sean interesantes es un libro de matemáticas populares y teoría de números de Constance Reid . Fue publicado originalmente en 1955 por Thomas Y. Crowell Company. ^[1] La cuarta edición fue publicada en 1992 por la Asociación Matemática de América en su serie MAA Spectrum. ^{[2] [3] [4]} AK Peters publicó una quinta "edición del cincuentenario" en 2006. ^{[5] [6] [7] [8] [9] [10]}

Fondo

Reid no era una matemática profesional, pero provenía de una familia matemática que incluía a su hermana Julia Robinson y su cuñado Raphael M. Robinson . ^[11] Había trabajado como maestra de escuela, pero en el momento de la publicación de From Zero to Infinity era "ama de casa y escritora independiente". ^[1] Se hizo conocida por sus numerosos libros sobre matemáticas y matemáticos, dirigidos a un público popular, de los cuales este fue el primero. ^[11]

El interés de Reid por la teoría de números surgió cuando su hermana utilizó las computadoras para descubrir los números primos de Mersenne . Publicó un artículo sobre un tema estrechamente relacionado, los números perfectos , en Scientific American en 1953, y escribió este libro poco después. ^[4] Su título previsto era Qué hace que los números sean interesantes ; el título De cero al infinito fue un cambio realizado por el editor. ^[8]

Temas

Los doce capítulos de Del Cero al Infinito están numerados por los diez dígitos decimales, ( el número de Euler , aproximadamente 2,71828), y el número cardinal infinito más pequeño . El tema de cada capítulo está relacionado de alguna manera con el número de capítulo, con un nivel de sofisticación generalmente creciente a medida que avanza el libro: ^{[4] [5] [10]} ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

• El capítulo 0 analiza la historia de los sistemas numéricos, el desarrollo de la notación posicional y su necesidad de un símbolo marcador de posición para el cero, y la comprensión mucho posterior del cero como un número en sí mismo. Analiza las propiedades especiales que tiene el cero entre todos los demás números y el concepto de formas indeterminadas que surgen de la división por cero . ^{[4] [5] [10]}
• El capítulo 1 trata sobre el uso de números para contar cosas, la aritmética y los conceptos de números primos y factorización de enteros . ^{[4] [5]}
• Los temas del Capítulo 2 incluyen la representación binaria , su uso antiguo en la multiplicación campesina y en la aritmética informática moderna, y su formalización como sistema numérico por parte de Gottfried Leibniz . De manera más general, analiza la idea de sistemas numéricos con diferentes bases y bases específicas, incluido el hexadecimal . ^{[4] [5]}
• El capítulo 3 vuelve a los números primos, incluido el tamiz de Eratóstenes para generarlos, así como pruebas de primalidad más modernas . ^[4]
• El capítulo 4 trata de los números cuadrados , la observación de Galileo de que los cuadrados son equinumeros con los números de conteo, el teorema de Pitágoras , el último teorema de Fermat y las ecuaciones diofánticas en general. ^{[4] [5]}
• El capítulo 5 analiza los números figurados , las particiones enteras y las funciones generadoras y el teorema de los números pentagonales que conectan estos dos conceptos. ^{[4] [5]}
• En el capítulo 6, Reid trae el material de su artículo anterior sobre los números perfectos (de los cuales 6 es el ejemplo no trivial más pequeño), su conexión con los primos de Mersenne , la búsqueda de números primos grandes y el descubrimiento de nuevos primos de Mersenne por parte de los familiares de Reid. ^{[4] [5]}
• Los primos de Mersenne son los primos una unidad menos que una potencia de dos . En cambio, el capítulo 7 se ocupa de los números primos que son uno más que una potencia de dos, los números primos de Fermat , y su estrecha conexión con los polígonos construibles . El heptágono , de siete lados, es el polígono más pequeño que no es construible, porque no es producto de números primos de Fermat. ^[4]
• El capítulo 8 trata de los cubos y del problema de Waring sobre la representación de números enteros como sumas de cubos u otras potencias. ^{[4] [5]}
• El tema del Capítulo 9 es la aritmética modular , la divisibilidad y sus conexiones con la notación posicional, incluido el uso de sacar nueves para determinar la divisibilidad entre nueve. ^{[4] [5] [10]}
• En el capítulo , De cero al infinito pasa de los números enteros a los números irracionales , los números complejos , los logaritmos y la fórmula de Euler . Conecta estos temas con los números enteros a través de la teoría de las fracciones continuas y el teorema de los números primos . ^[4] ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e^{i\pi }=1}$
• El capítulo final, Capítulo , proporciona una introducción básica a los números de Aleph y la teoría de conjuntos infinitos, incluido el argumento diagonal de Cantor sobre la existencia de conjuntos infinitos incontables. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \aleph _{0}}$

La primera edición incluía sólo los capítulos del 0 al 9. ^[1] El capítulo sobre conjuntos infinitos se añadió en la segunda edición, reemplazando una sección sobre la interesante paradoja de los números . ^[12] Reid "actualizó completamente" las ediciones posteriores del libro; ^[4] en particular, la quinta edición incluye actualizaciones sobre la búsqueda de números primos de Mersenne y la demostración del último teorema de Fermat , y restaura un índice que se había eliminado de ediciones anteriores. ^[9]

Audiencia y recepción

De cero al infinito se ha escrito para que sea accesible tanto para estudiantes como para adultos no matemáticos, ^[4] requiriendo únicamente matemáticas de nivel secundario como base. ^[7] Conjuntos breves de "preguntas de prueba" al final del capítulo podrían ser útiles para generar debates en el aula, lo que los hace útiles como material complementario para los cursos de matemáticas de la escuela secundaria. ^{[6] [10]}

Al revisar la cuarta edición, el matemático David Singmaster la describe como "una de las obras clásicas de popularización matemática desde su aparición inicial" y "una deliciosa introducción a lo que son las matemáticas". ^[4] La crítica Lynn Godshall lo llama "una historia de números muy legible", "fácilmente entendida tanto por los educadores como por sus estudiantes". ^[6] Murray Siegel lo describe como imprescindible para "la biblioteca de todo profesor de matemáticas y profesores universitarios que preparan a los estudiantes para enseñar matemáticas". ^[10]

Singmaster se queja sólo de dos piezas de matemáticas en el libro: la afirmación en el capítulo 4 de que los egipcios estaban familiarizados con el triángulo rectángulo 3-4-5 (aún objeto de considerable debate académico) y la omisión en el capítulo 7 de cualquier discusión sobre por qué la clasificación de polígonos construibles puede reducirse al caso de números primos de lados. ^[4] Siegel señala otro pequeño error, en la factorización algebraica, pero sugiere que encontrarlo podría ser otro ejercicio útil para los estudiantes. ^[10]

Referencias

1. Gibb, E. Glenadine (febrero de 1957), "Revisión de From Zero to Infinity , 1.ª ed.", The Mathematics Teacher , 50 (2): 178, JSTOR  27955358
2. Leamy, John (marzo de 1993), "Revisión de From Zero to Infinity , 4.ª ed.", The Mathematics Teacher , 86 (3): 265, JSTOR  27968284
3. Morrison, Felipe ; Morrison, Phylis (diciembre de 1992), "Review of From Zero to Infinity , 4th ed.", Libros de ciencia para jóvenes, Scientific American , 267 (6), JSTOR  24939341
4. Singmaster, David (1993), "Revisión de From Zero to Infinity , 4th ed.", MathSciNet , MR  1154796, Zbl  0803.00002
5. Belle, Vaishak (junio de 2011), "Revisión de From Zero to Infinity, 5ª ed." (PDF) , Noticias ACM SIGACT , 42 (2): 10–11, doi :10.1145/1998037.1998040
6. Godshall, Lynn (julio de 2007), "Revisión de From Zero to Infinity, 5th ed.", Convergence
7. Hoagland, Kayana (abril de 2008), "Revisión de From Zero to Infinity , 5.ª ed.", The Mathematics Teacher , 101 (8): 622–623, JSTOR  20876226
8. Lozano-Robledo, Álvaro (mayo de 2006), "Revisión de From Zero to Infinity, 5th ed.", MAA Reviews , Asociación Matemática de América
9. Papp, F.-J. (2006), "Revisión de De cero al infinito , 5.ª ed.", MathSciNet , MR  2198198
10. Siegel, Murray H. (febrero de 2007), "Revisión de From Zero to Infinity , 5th ed.", Enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria , 12 (6): 350, JSTOR  41182422
11. "La autora y miembro de MAA desde hace mucho tiempo, Constance Reid, muere a los 92 años", MAA News , Mathematical Association of America, 20 de octubre de 2010
12. Hamilton, JMC (1960), "Revisión de From Zero to Infinity , 2.ª ed.", Mathematics Magazine , 34 (1): 43–44, doi :10.2307/2687853, JSTOR  2687853?, MR  1571022