Función psi de Dedekind

Una función en matemáticas (teoría de números)

En teoría de números , la función psi de Dedekind es la función multiplicativa de los números enteros positivos definidos por

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),}$

donde el producto se toma sobre todos los primos dividiendo (Por convención, , que es el producto vacío , tiene valor 1.) La función fue introducida por Richard Dedekind en conexión con las funciones modulares . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \psi (1)}$

El valor de los primeros números enteros es: ${\displaystyle \psi (n)}$ ${\displaystyle n}$

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ... (secuencia A001615 en la OEIS ).

La función es mayor que para todo mayor que 1, y es par para todo mayor que 2. Si es un número libre de cuadrados entonces , donde es la función divisora ​​. ${\displaystyle \psi (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi (n)=\sigma (n)}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$

La función también se puede definir estableciendo para potencias de cualquier primo , y luego extendiendo la definición a todos los números enteros por multiplicatividad. Esto también conduce a una prueba de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann , que es ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.}$

Esto también es una consecuencia del hecho de que podemos escribir como una convolución de Dirichlet de . ${\displaystyle \psi =\mathrm {Id} *|\mu |}$

También existe una definición aditiva de la función psi. Citando a Dickson, ^[1]

R. Dedekind ^[2] demostró que, si se descompone en todos los sentidos en un producto y si es el mcd de entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle \sum _{a}(a/e)\varphi (e)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

donde el rango abarca todos los divisores de y sobre los divisores primos de y es la función totient . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$

Órdenes superiores

La generalización a órdenes superiores a través de proporciones del totiente de Jordan es

${\displaystyle \psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

con serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}}$.

Es también la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius ,

${\displaystyle \psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)}$.

Si

${\displaystyle \epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots }$

es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet conduce a la función σ generalizada ,

${\displaystyle \epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)}$.

Referencias

1. Leonard Eugene Dickson "Historia de la teoría de los números", vol. 1, pág. 123, Chelsea Publishing 1952.
2. Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 83, 1877, pág. 288. Cfr. H. Weber, Elliptische Functionen, 1901, 244-5; ed. 2, 1008 (Álgebra III), 234-5

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función de Dedekind". MathWorld .

Véase también

• Goro Shimura (1971). Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas . Princeton.(pagina 25, ecuacion (1))
• Mathar, Richard J. (2011). "Estudio de series de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [math.NT].Sección 3.13.2
• OEIS : A065958 es ψ ₂ , OEIS : A065959 es ψ ₃ y OEIS : A065960 es ψ ₄