Dattatreya Ramchandra Kaprekar ( marathi : दत्तात्रेय रामचंद्र कापरेकर ; 17 de enero de 1905 - 1986) fue un matemático recreativo indio que describió varias clases de números naturales, incluidos Kaprekar , hardad y números propios , y descubrió la constante de Kaprekar , que lleva su nombre. A pesar de no tener una formación formal de posgrado y trabajar como maestro de escuela, publicó extensamente y se hizo muy conocido en los círculos matemáticos recreativos. [1]
Kaprekar recibió su educación secundaria en Thane y estudió en Cotton College en Guwahati . En 1927, ganó el Premio de Matemáticas Wrangler RP Paranjpye por un trabajo original en matemáticas. [2]
Asistió a la Universidad de Mumbai , donde recibió su licenciatura en 1929. Como nunca recibió ninguna formación formal de posgrado, durante toda su carrera (1930-1962) fue maestro de escuela en la escuela secundaria del gobierno en Devlali Maharashtra , India. En bicicleta de un lugar a otro también daba clases particulares a estudiantes privados con métodos poco convencionales, sentándose alegremente junto a un río y "pensando en teoremas". Publicó extensamente, escribiendo sobre temas como decimales recurrentes , cuadrados mágicos y números enteros con propiedades especiales. También se le conoce como "Ganitanand".
Trabajando en gran medida solo, Kaprekar descubrió una serie de resultados en teoría de números y describió varias propiedades de los números. [3] Además de la constante de Kaprekar y los números de Kaprekar que recibieron su nombre, también describió los números propios o números de Devlali , los números de hardad y los números de Demlo . También construyó ciertos tipos de cuadrados mágicos relacionados con el cuadrado mágico de Copérnico. [4] Inicialmente, los matemáticos indios no tomaron en serio sus ideas, y sus resultados se publicaron en gran medida en revistas de matemáticas de bajo nivel o en publicaciones privadas, pero la fama internacional llegó cuando Martin Gardner escribió sobre Kaprekar en su columna de marzo de 1975 de Mathematical Games for Scientific. Americano . Una descripción de la constante de Kaprekar , sin mencionar a Kaprekar, aparece en el libro infantil The I Hate Mathematics Book , de Marilyn Burns , [5] publicado en 1975. Hoy en día su nombre es muy conocido y muchos otros matemáticos han proseguido el estudio de la constante de Kaprekar. propiedades que descubrió. [1]
En 1949, Kaprekar descubrió una propiedad interesante del número 6174, que posteriormente recibió el nombre de constante de Kaprekar. [6] Demostró que al final se alcanza 6174 cuando uno resta repetidamente los números más alto y más bajo que se pueden construir a partir de un conjunto de cuatro dígitos que no son todos idénticos. Así, comenzando con 1234, tenemos:
Repetir desde este punto en adelante deja el mismo número (7641 − 1467 = 6174). En general, cuando la operación converge lo hace en un máximo de siete iteraciones.
Una constante similar para 3 dígitos es 495 . [7] Sin embargo, en base 10 una única constante de este tipo sólo existe para números de 3 o 4 dígitos; para otras longitudes de dígitos o bases distintas de 10, el algoritmo de rutina de Kaprekar descrito anteriormente puede, en general, terminar en múltiples constantes diferentes o ciclos repetidos, dependiendo del valor inicial. [8]
Código Python para probar la constante de Kaprekar:
KAPREKAR_CONSTANT = 6174print ( "Ingrese el número como 0 para detener" )mientras que Verdadero : n = entrada ( "Ingrese un número de cuatro dígitos:" ) si no es n . isdigit () o len ( n ) ! = 4 : imprimir ( "Ingrese un entero válido de cuatro dígitos \n " ) continuar de lo contrario : n = int ( n ) si n == 0 : romper imprimir ( f "n = { n } " ) mientras que Verdadero : dígitos = [] para i en el rango ( 4 ): dígitos . agregar ( n % 10 ) n //= 10 dígitos . ordenar ( inverso = Verdadero ) grande = 0 para d en dígitos : grande = grande * 10 + d dígitos . ordenar () pequeño = 0 para d en dígitos : pequeño = pequeño * 10 + d n = grande - letra pequeña ( f " { grande : >4 } - { pequeño : >4 } = { n : >4 } " ) si n == KAPREKAR_CONSTANT : romper impresión () Otra clase de números que describe Kaprekar son los números de Kaprekar. [9] Un número de Kaprekar es un número entero positivo con la propiedad de que si se eleva al cuadrado, entonces su representación se puede dividir en dos partes enteras positivas cuya suma es igual al número original (por ejemplo, 45, ya que 45 2 =2025, y 20 +25=45, también 9, 55, 99, etc.) Sin embargo, tenga en cuenta la restricción de que los dos números son positivos; por ejemplo, 100 no es un número de Kaprekar aunque 100 2 = 10000 y 100+00 = 100. Esta operación, de tomar los dígitos más a la derecha de un cuadrado y sumarlos al entero formado por los dígitos más a la izquierda, se conoce como la operación Kaprekar.
Algunos ejemplos de números de Kaprekar en base 10, además de los números 9, 99, 999, ..., son (secuencia A006886 en la OEIS ):
En 1963, Kaprekar definió la propiedad que se conoce como números propios, [10] como los números enteros que no pueden generarse tomando algún otro número y sumándole sus propios dígitos. Por ejemplo, 21 no es un número propio, ya que puede generarse a partir de 15: 15 + 1 + 5 = 21. Pero 20 es un número propio, ya que no puede generarse a partir de ningún otro número entero. También realizó una prueba para verificar esta propiedad en cualquier número. A veces se les conoce como números de Devlali (por la ciudad donde vivía); aunque ésta parece haber sido su designación preferida, [10] el término "número propio" está más extendido. A veces estos también reciben la designación de números colombianos después de una designación posterior.
Kaprekar también describió los números de hardad a los que llamó hardad, que significa "dar alegría" ( sánscrito harda , alegría +da taddhita pratyaya, causativo ); estos se definen por la propiedad de que son divisibles por la suma de sus dígitos. Por tanto, 12, que es divisible por 1 + 2 = 3, es un número duro. Más tarde, estos también se denominaron números de Niven después de una conferencia sobre ellos impartida en 1977 por el matemático canadiense Ivan M. Niven . Los números que son hardad en todas las bases (solo 1, 2, 4 y 6) se denominan números all-harshad . Se ha trabajado mucho sobre los números hardad, y su distribución, frecuencia, etc. son cuestiones de considerable interés en la teoría de números actual. [ cita necesaria ]
Kaprekar también estudió los números de Demlo , [11] cuyo nombre se deriva del nombre de una estación de tren Demlo (ahora llamada Dombivili ) a 30 millas de Bombay en el entonces ferrocarril GIP , donde tuvo la idea de estudiarlos. [1] Los más conocidos de estos son los Maravillosos números de Demlo 1, 121, 12321, 1234321, ..., que son los cuadrados de los repunits 1, 11, 111,1111, .... [12]