En geometría , un conjunto de Danzer es un conjunto de puntos que toca cada cuerpo convexo de volumen unitario. Ludwig Danzer se preguntó si es posible que un conjunto de este tipo tenga una densidad acotada. [1] [2] Varias variaciones de este problema siguen sin resolverse. [3]
Un conjunto de Danzer , en un espacio euclidiano de n dimensiones , es un conjunto de puntos en el espacio que tiene una intersección no vacía con cada cuerpo convexo cuyo volumen de n dimensiones es uno. El espacio entero es en sí mismo un conjunto de Danzer, pero es posible que un conjunto de Danzer sea un conjunto discreto con solo un número finito de puntos en cualquier área acotada. [4] La pregunta de Danzer preguntaba si, más fuertemente, el número promedio de puntos por unidad de área podría ser acotado. [1]
Una forma de definir el problema de manera más formal es considerar la tasa de crecimiento de un conjunto en un espacio euclidiano de dimensión 1 , definido como la función que asigna un número real al número de puntos de que están dentro de la distancia del origen . La pregunta de Danzer es si es posible que un conjunto de Danzer tenga una tasa de crecimiento 1 , expresada en notación O mayúscula . Si es así, esto sería igual a la tasa de crecimiento de conjuntos de puntos bien espaciados como la red entera (que no es un conjunto de Danzer). [1]
Una formulación equivalente implica la densidad de un conjunto , definida como donde denota la bola euclidiana de radio en el espacio euclidiano -dimensional , centrada en el origen, y denota su volumen . La pregunta de Danzer pregunta si existe un conjunto de Danzer de densidad acotada o, alternativamente, si cada conjunto de densidad acotada tiene conjuntos convexos de volumen arbitrariamente alto disjuntos de él. [3]
En lugar de pedir un conjunto de densidad acotada que intersecte conjuntos convexos arbitrarios de volumen unitario, es equivalente a pedir un conjunto de densidad acotada que intersecte todos los elipsoides de volumen unitario, o todos los hiperrectángulos de volumen unitario. Por ejemplo, en el plano, las formas de estos conjuntos que se intersectan pueden restringirse a elipses o a rectángulos. Sin embargo, estas formas no necesariamente tienen sus lados o ejes paralelos a los ejes de coordenadas. [3]
Es posible construir un conjunto de Danzer con una tasa de crecimiento que se encuentre dentro de un factor polilogarítmico de . Por ejemplo, al superponer cuadrículas rectangulares cuyas celdas tienen un volumen constante pero diferentes relaciones de aspecto , se puede lograr una tasa de crecimiento de . [5] Se conoce una construcción para conjuntos de Danzer con una tasa de crecimiento algo más lenta, . [3] [4] Esta construcción se basa en resultados profundos de Marina Ratner en la teoría ergódica ( teoremas de Ratner ). [4] Debido a que tanto las cuadrículas superpuestas como la construcción mejorada tienen tasas de crecimiento más rápidas que , estos conjuntos no tienen una densidad acotada y la respuesta a la pregunta de Danzer sigue siendo desconocida. [3] [4]
Aunque la existencia de un conjunto de Danzer de densidad acotada permanece abierta, es posible restringir las clases de conjuntos de puntos que pueden ser conjuntos de Danzer de otras maneras que no sean por sus densidades, descartando ciertos tipos de solución a la pregunta de Danzer. En particular, un conjunto de Danzer no puede ser la unión de un número finito de retículos , [5] no puede generarse eligiendo un punto en cada mosaico de un mosaico de sustitución (en la misma posición para cada mosaico del mismo tipo), y no puede generarse por el método de corte y proyección para construir mosaicos aperiódicos . Por lo tanto, los vértices del mosaico de rueda de molino y del mosaico de Penrose no son conjuntos de Danzer. [4]
Una variación reforzada del problema, planteada por Timothy Gowers , pregunta si existe un conjunto de Danzer para el cual haya un límite finito en el número de puntos de intersección entre y cualquier cuerpo convexo de volumen unitario. [6] Esta versión ha sido resuelta: es imposible que exista un conjunto de Danzer con esta propiedad. [7]
Otra variante reforzada del problema, aún sin resolver, es el problema de la mosca muerta de Conway . John Horton Conway recordó que, de niño, dormía en una habitación con papel tapiz cuyo patrón de flores se parecía a una matriz de moscas muertas, y que intentaba encontrar regiones convexas que no tuvieran una mosca muerta en ellas. [8] En la formulación de Conway, la pregunta es si existe un conjunto de Danzer en el que los puntos del conjunto (las moscas muertas) estén separados por una distancia acotada entre sí. Tal conjunto necesariamente tendría también un límite superior en la distancia desde cada punto del plano a una mosca muerta (para tocar todos los círculos de área unitaria), por lo que formaría un conjunto de Delone , un conjunto con límites superiores e inferiores en el espaciado de los puntos. También tendría necesariamente una tasa de crecimiento , por lo que si existe, también resolvería la versión original del problema de Danzer. Conway ofreció un premio de 1000 dólares por una solución a su problema, [8] [9] como parte de un conjunto de problemas que también incluían el problema de 99 grafos de Conway , el análisis de la acuñación de plata y la conjetura de Thrackle . [9]
