Unidad ciclotómica

En matemáticas, una unidad ciclotómica (o unidad circular ) es una unidad de un campo numérico algebraico que es el producto de números de la forma (ζ^un
− 1) para ζ
_norteuna raíz n- ^ésima de la unidad y 0 < a < n .

Propiedades

Las unidades ciclotómicas forman un subgrupo de índice finito en el grupo de unidades de un cuerpo ciclotómico . El índice de este subgrupo de unidades ciclotómicas reales (aquellas unidades ciclotómicas en el subcuerpo real máximo) dentro del grupo de unidades reales completo es igual al número de clase del subcuerpo real máximo del cuerpo ciclotómico . ^[1]

Si $n$ es la potencia de un primo, entonces $ζ un - 1$ no es una unidad; sin embargo, los números $(ζ un - 1)/(ζ norte - 1)$ para $(a, n) = 1$ , y ±ζ^un
generar el grupo de unidades ciclotómicas.

Si $n$ es un número compuesto que tiene dos o más factores primos distintos, entonces $ζ un - 1$ es una unidad. El subgrupo de unidades ciclotómicas generadas por $(ζ un - 1)/(ζ norte - 1)$ con $(a, n) = 1$ no es de índice finito en general. ^[2]

Las unidades ciclotómicas satisfacen relaciones de distribución . Sea $a$ un número racional primo de $p$ y sea g $a exp$ $(2 πia) - 1$ . Entonces, para $a \neq 0,$ tenemos . ^[3] ${\textstyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}}$

Utilizando estas relaciones de distribución y la relación de simetría $ζ un - 1 = -ζ un (ζ - un - 1)$ Se puede construir una base B _{n de las unidades ciclotómicas con la propiedad de que} $B d \subseteq B n$ para $d | n$ . ^[4]

Véase también

Notas

^ Washington, Teorema 8.2
^ Washington, 8.8, página 150, para n igual a 55.
^ Lang (1990) pág. 157
^ "Unidades ciclotómicas de Marc Conrad".

Referencias

Lang, Serge (1990). Campos ciclotómicos I y II . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 121 (segunda edición combinada). Springer Verlag . ISBN. 3-540-96671-4.Zbl 0704.11038 .
Narkiewicz, Władysław (1990). Teoría elemental y analítica de números (Segunda edición, sustancialmente revisada y ampliada). Springer-Verlag . ISBN 3-540-51250-0.Zbl 0717.11045 .
Washington, Lawrence C. (1997). Introducción a los campos ciclotómicos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 83 (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94762-0.Zbl 0966.11047 .