En matemáticas , la deconvolución es la inversa de la convolución . Ambas operaciones se utilizan en el procesamiento de señales y el procesamiento de imágenes . Por ejemplo, puede ser posible recuperar la señal original después de un filtro (convolución) utilizando un método de deconvolución con un cierto grado de precisión. [1] Debido al error de medición de la señal o imagen registrada, se puede demostrar que cuanto peor sea la relación señal-ruido (SNR), peor será la inversión de un filtro; por lo tanto, invertir un filtro no siempre es una buena solución ya que el error se amplifica. La deconvolución ofrece una solución a este problema.
Las bases de la deconvolución y el análisis de series temporales fueron establecidas en gran medida por Norbert Wiener del Instituto Tecnológico de Massachusetts en su libro Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series (1949). [2] El libro se basaba en el trabajo que Wiener había realizado durante la Segunda Guerra Mundial, pero que en ese momento había sido clasificado. Algunos de los primeros intentos de aplicar estas teorías se dieron en los campos de la previsión meteorológica y la economía .
En general, el objetivo de la deconvolución es encontrar la solución f de una ecuación de convolución de la forma:
Por lo general, h es una señal registrada y f es una señal que deseamos recuperar, pero que ha sido convolucionada con un filtro o una función de distorsión g antes de grabarla. Por lo general, h es una versión distorsionada de f y la forma de f no se puede reconocer fácilmente a simple vista o mediante operaciones más simples en el dominio del tiempo. La función g representa la respuesta al impulso de un instrumento o una fuerza impulsora que se aplicó a un sistema físico. Si conocemos g , o al menos conocemos la forma de g , entonces podemos realizar una deconvolución determinista. Sin embargo, si no conocemos g de antemano, entonces necesitamos estimarlo. Esto se puede hacer utilizando métodos de estimación estadística o construyendo los principios físicos del sistema subyacente, como las ecuaciones del circuito eléctrico o las ecuaciones de difusión.
Existen varias técnicas de deconvolución, dependiendo de la elección del error de medición y de los parámetros de deconvolución:
Cuando el error de medición es muy bajo (caso ideal), la deconvolución se convierte en una inversión de filtro. Este tipo de deconvolución se puede realizar en el dominio de Laplace. Al calcular la transformada de Fourier de la señal registrada h y la función de respuesta del sistema g , se obtienen H y G , con G como función de transferencia . Utilizando el teorema de convolución ,
donde F es la transformada de Fourier estimada de f . Finalmente, se toma la transformada de Fourier inversa de la función F para encontrar la señal deconvolucionada estimada f . Nótese que G está en el denominador y podría amplificar elementos del modelo de error si estuvieran presentes.
En las mediciones físicas, la situación suele ser más cercana a
En este caso, ε es el ruido que ha entrado en nuestra señal grabada. Si se supone que una señal o imagen ruidosa no tiene ruido, la estimación estadística de g será incorrecta. A su vez, la estimación de ƒ también será incorrecta. Cuanto menor sea la relación señal-ruido , peor será la estimación de la señal deconvolucionada. Esa es la razón por la que el filtrado inverso de la señal (como en la "deconvolución bruta" anterior) no suele ser una buena solución. Sin embargo, si existe al menos algún conocimiento del tipo de ruido en los datos (por ejemplo, ruido blanco ), la estimación de ƒ se puede mejorar mediante técnicas como la deconvolución de Wiener .
El concepto de deconvolución tuvo una aplicación temprana en la sismología de reflexión . En 1950, Enders Robinson era un estudiante de posgrado en el MIT . Trabajó con otros en el MIT, como Norbert Wiener , Norman Levinson y el economista Paul Samuelson , para desarrollar el "modelo convolucional" de un sismograma de reflexión . Este modelo supone que el sismograma registrado s ( t ) es la convolución de una función de reflectividad de la Tierra e ( t ) y una ondícula sísmica w ( t ) de una fuente puntual , donde t representa el tiempo de registro. Por lo tanto, nuestra ecuación de convolución es
El sismólogo está interesado en e , que contiene información sobre la estructura de la Tierra. Mediante el teorema de convolución , esta ecuación puede transformarse en Fourier
en el dominio de frecuencia , donde es la variable de frecuencia. Suponiendo que la reflectividad es blanca, podemos suponer que el espectro de potencia de la reflectividad es constante y que el espectro de potencia del sismograma es el espectro de la ondícula multiplicado por esa constante. Por lo tanto,
Si asumimos que la ondícula tiene una fase mínima , podemos recuperarla calculando el equivalente de fase mínima del espectro de potencia que acabamos de encontrar. La reflectividad se puede recuperar diseñando y aplicando un filtro de Wiener que dé forma a la ondícula estimada en una función delta de Dirac (es decir, un pico). El resultado se puede ver como una serie de funciones delta escaladas y desplazadas (aunque esto no es matemáticamente riguroso):
donde N es el número de eventos de reflexión, son los coeficientes de reflexión , son los tiempos de reflexión de cada evento y es la función delta de Dirac .
En la práctica, dado que tratamos con conjuntos de datos ruidosos, de ancho de banda finito , de longitud finita y muestreados de forma discreta , el procedimiento anterior solo produce una aproximación del filtro necesario para deconvolucionar los datos. Sin embargo, al formular el problema como la solución de una matriz de Toeplitz y usar la recursión de Levinson , podemos estimar con relativa rapidez un filtro con el menor error cuadrático medio posible. También podemos realizar la deconvolución directamente en el dominio de la frecuencia y obtener resultados similares. La técnica está estrechamente relacionada con la predicción lineal .
En óptica e imágenes, el término "deconvolución" se utiliza específicamente para referirse al proceso de revertir la distorsión óptica que tiene lugar en un microscopio óptico , microscopio electrónico , telescopio u otro instrumento de imágenes, creando así imágenes más claras. Por lo general, se realiza en el dominio digital mediante un algoritmo de software , como parte de un conjunto de técnicas de procesamiento de imágenes de microscopio . La deconvolución también es práctica para agudizar imágenes que sufren de movimiento rápido o sacudidas durante la captura. Las primeras imágenes del telescopio espacial Hubble estaban distorsionadas por un espejo defectuoso y se agudizaban mediante deconvolución.
El método habitual consiste en suponer que el camino óptico que pasa por el instrumento es ópticamente perfecto, convolucionado con una función de dispersión de puntos (PSF), es decir, una función matemática que describe la distorsión en términos del camino que sigue una fuente puntual teórica de luz (u otras ondas) a través del instrumento. [3] Por lo general, una fuente puntual de este tipo aporta una pequeña área de borrosidad a la imagen final. Si se puede determinar esta función, entonces es cuestión de calcular su función inversa o complementaria y convolucionar la imagen adquirida con ella. El resultado es la imagen original, sin distorsión.
En la práctica, es imposible encontrar la PSF verdadera, y normalmente se utiliza una aproximación de ella, calculada teóricamente [4] o basada en alguna estimación experimental mediante el uso de sondas conocidas. La óptica real también puede tener diferentes PSF en diferentes ubicaciones focales y espaciales, y la PSF puede ser no lineal. La precisión de la aproximación de la PSF dictará el resultado final. Se pueden emplear diferentes algoritmos para obtener mejores resultados, al precio de ser más intensivos computacionalmente. Dado que la convolución original descarta datos, algunos algoritmos utilizan datos adicionales adquiridos en puntos focales cercanos para compensar parte de la información perdida. La regularización en algoritmos iterativos (como en los algoritmos de maximización de expectativas ) se puede aplicar para evitar soluciones poco realistas.
Cuando la PSF es desconocida, puede ser posible deducirla probando sistemáticamente diferentes PSF posibles y evaluando si la imagen ha mejorado. Este procedimiento se llama deconvolución ciega . [3] La deconvolución ciega es una técnica de restauración de imágenes bien establecida en astronomía , donde la naturaleza puntual de los objetos fotografiados expone la PSF, lo que la hace más factible. También se utiliza en microscopía de fluorescencia para la restauración de imágenes y en imágenes espectrales de fluorescencia para la separación espectral de múltiples fluoróforos desconocidos . El algoritmo iterativo más común para este propósito es el algoritmo de deconvolución de Richardson-Lucy ; la deconvolución de Wiener (y las aproximaciones) son los algoritmos no iterativos más comunes.
Para algunos sistemas de imágenes específicos, como los sistemas de terahercios pulsados con láser, la PSF se puede modelar matemáticamente. [6] Como resultado, como se muestra en la figura, la deconvolución de la PSF modelada y la imagen de terahercios puede brindar una representación de mayor resolución de la imagen de terahercios.
Al realizar la síntesis de imágenes en radiointerferometría , un tipo específico de radioastronomía , un paso consiste en deconvolucionar la imagen producida con el "haz sucio", que es un nombre diferente para la función de dispersión de puntos . Un método comúnmente utilizado es el algoritmo CLEAN .
Un uso típico de la deconvolución es en la cinética de trazadores. Por ejemplo, al medir la concentración de una hormona en la sangre, su tasa de secreción puede estimarse mediante la deconvolución. Otro ejemplo es la estimación de la concentración de glucosa en sangre a partir de la glucosa intersticial medida, que es una versión distorsionada en tiempo y amplitud de la glucosa en sangre real. [7]
La deconvolución se ha aplicado ampliamente a los espectros de absorción . [8] Se puede utilizar el algoritmo de Van Cittert (artículo en alemán). [9]
La deconvolución se corresponde con la división en el codominio de Fourier . Esto permite que la deconvolución se aplique fácilmente con datos experimentales que están sujetos a una transformada de Fourier . Un ejemplo es la espectroscopia de RMN , donde los datos se registran en el dominio del tiempo, pero se analizan en el dominio de la frecuencia. La división de los datos del dominio del tiempo por una función exponencial tiene el efecto de reducir el ancho de las líneas de Lorentz en el dominio de la frecuencia.
