Curvatura constante

Concepto en geometría diferencial

En matemáticas , la curvatura constante es un concepto de la geometría diferencial . Aquí, la curvatura se refiere a la curvatura seccional de un espacio (más precisamente, una variedad ) y es un número único que determina su geometría local. ^[1] Se dice que la curvatura seccional es constante si tiene el mismo valor en cada punto y para cada plano tangente bidimensional en ese punto. Por ejemplo, una esfera es una superficie de curvatura positiva constante.

Clasificación

Las variedades riemannianas de curvatura constante se pueden clasificar en los tres casos siguientes:

• Geometría elíptica : curvatura seccional positiva constante
• Geometría euclidiana : curvatura seccional que desaparece constantemente
• Geometría hiperbólica : curvatura seccional negativa constante.

Propiedades

• Todo espacio de curvatura constante es localmente simétrico , es decir, su tensor de curvatura es paralelo . ${\displaystyle \nabla \mathrm {R} =0}$
• Todo espacio de curvatura constante es localmente máximamente simétrico, es decir, tiene número de isometrías locales , donde es su dimensión. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\displaystyle n}$
• Por el contrario, existe una afirmación similar pero más fuerte: todo espacio máximamente simétrico, es decir, un espacio que tiene isometrías (globales) , tiene curvatura constante. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$
• ( Teorema de Killing-Hopf ) La cobertura universal de una variedad de curvatura seccional constante es uno de los espacios modelo:
  • esfera (curvatura seccional positiva)
  • plano (curvatura seccional cero)
  • Variedad hiperbólica (curvatura seccional negativa)
• Un espacio de curvatura constante que es geodésicamente completo se llama forma espacial y el estudio de las formas espaciales está íntimamente relacionado con la cristalografía generalizada (ver el artículo sobre forma espacial para más detalles).
• Dos formas espaciales son isomorfas si y solo si tienen la misma dimensión, sus métricas poseen la misma firma y sus curvaturas seccionales son iguales.

Referencias

1. Caminha, A. (1 de julio de 2006). "Sobre hipersuperficies espaciales de variedades de Lorentz de curvatura seccional constante". Revista de geometría y física . 56 (7): 1144–1174. doi :10.1016/j.geomphys.2005.06.007. ISSN  0393-0440.

Lectura adicional

• Moritz Epple (2003) De los cuaterniones a la cosmología: espacios de curvatura constante ca. 1873 — 1925, discurso invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos
• Frederick S. Woods (1901). "Espacio de curvatura constante". Anales de Matemáticas . 3 (1/4): 71–112. doi :10.2307/1967636. JSTOR  1967636.