Cuerda fractal

Siete iteraciones de la construcción del conjunto ternario de Cantor , un ejemplo de cuerda fractal.

Una cadena fractal ordinaria es un subconjunto abierto y acotado de la línea de números reales . Un subconjunto de este tipo puede escribirse como una unión, como máximo contable , de intervalos abiertos conectados con longitudes asociadas escritas en orden no creciente; también nos referimos a ella como una cadena fractal . Por ejemplo, es una cadena fractal que corresponde al conjunto de Cantor . Una cadena fractal es el análogo de un "tambor fractal" unidimensional, y típicamente el conjunto tiene un límite que corresponde a un fractal como el conjunto de Cantor. La idea heurística de una cadena fractal es estudiar un fractal (unidimensional) utilizando el "espacio alrededor del fractal". Resulta que la secuencia de longitudes del conjunto en sí es "intrínseca", en el sentido de que la cadena fractal en sí (independientemente de una realización geométrica específica de estas longitudes como correspondientes a una elección de conjunto ) contiene información sobre el fractal al que corresponde. ^[1] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Para cada cadena fractal , podemos asociar una función zeta geométrica : la serie de Dirichlet . De manera informal, la función zeta geométrica lleva información geométrica sobre el fractal subyacente, en particular sobre la ubicación de sus polos y los residuos de la función zeta en estos polos. Estos polos de (la continuación analítica de) la función zeta geométrica se denominan dimensiones complejas de la cadena fractal , y estas dimensiones complejas aparecen en fórmulas que describen la geometría del fractal. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

En el caso de las cadenas fractales asociadas a conjuntos como los conjuntos de Cantor, formados a partir de intervalos eliminados que son potencias racionales de una longitud fundamental, las dimensiones complejas aparecen en una progresión aritmética paralela al eje imaginario, y se denominan cadenas fractales reticulares (por ejemplo, las dimensiones complejas del conjunto de Cantor son , que son una progresión aritmética en la dirección del eje imaginario). De lo contrario, se denominan cadenas no reticulares . De hecho, una cadena fractal ordinaria es medible según el método de Minkowski si y solo si no es reticular. ${\displaystyle s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}}$

Una cadena fractal generalizada se define como una medida positiva o compleja local en tal que para algún , donde la medida positiva es la medida de variación total asociada a . Estas cadenas fractales generalizadas permiten que las longitudes tengan multiplicidades no enteras (entre otras posibilidades), y cada cadena fractal ordinaria puede asociarse con una medida que la convierte en una cadena fractal generalizada. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (0,+\infty )}$ ${\displaystyle |\eta |(0,x_{0})=0}$ ${\displaystyle x_{0}>0}$ ${\displaystyle |\eta |}$ ${\displaystyle \eta }$

Cuerdas fractales ordinarias

Una cadena fractal ordinaria es un subconjunto abierto y acotado de la línea de números reales. Cualquier subconjunto de este tipo puede escribirse como una unión, como máximo contable , de intervalos abiertos conectados con longitudes asociadas escritas en orden no creciente. Permitimos que consista en un número finito de intervalos abiertos, en cuyo caso consta de un número finito de longitudes. Nos referimos a una cadena fractal . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Ejemplo

El conjunto de Cantor del tercio medio se construye eliminando el tercio medio del intervalo unitario , luego eliminando los tercios medios de los intervalos subsiguientes, hasta el infinito . Los intervalos eliminados tienen longitudes correspondientes . Inductivamente, podemos demostrar que hay intervalos correspondientes a cada longitud de . Por lo tanto, decimos que la multiplicidad de la longitud es . La cadena fractal del conjunto de Cantor se llama cadena de Cantor . ^[1] ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \Omega =\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),\left({\frac {1}{9}},{\frac {2}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {8}{9}}\right),\ldots \right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle 3^{-n}}$ ${\displaystyle 3^{-n}}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$

Heurístico

La información geométrica del conjunto de Cantor en el ejemplo anterior está contenida en la cadena fractal ordinaria . A partir de esta información, podemos calcular la dimensión de conteo de cajas del conjunto de Cantor. Esta noción de dimensión fractal se puede generalizar a la de dimensión compleja , que se puede utilizar para deducir información geométrica sobre las oscilaciones locales en la geometría del fractal. Por ejemplo, las dimensiones complejas de una cadena fractal (como la cadena de Cantor) se pueden utilizar para escribir una fórmula de tubo explícita para el volumen de un vecindario de la cadena fractal, y la presencia de dimensiones complejas no reales corresponde a términos oscilatorios en esta expansión. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

La función zeta geométrica

Si decimos que tiene una realización geométrica en , donde los son intervalos en , de todas las longitudes , tomadas con multiplicidad. ^[1] ${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {J} }{\ell _{j}}<\infty ,}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i=1}^{\infty }I_{i}}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{\ell _{j}\}_{j\in \mathbb {J} }}$

Para cada cuerda fractal , podemos asociarla a una función zeta geométrica definida como la serie de Dirichlet . ^[2] Los polos de la función zeta geométrica se denominan dimensiones complejas de la cuerda fractal . La filosofía general de la teoría de dimensiones complejas para cuerdas fractales es que las dimensiones complejas describen la oscilación intrínseca en la geometría, los espectros y la dinámica ^{[ palabras confusas ]} de la cuerda fractal . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

La abscisa de convergencia de se define como . ^[2] ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$ ${\displaystyle \sigma =\inf \left\{\alpha \in \mathbb {R} :\sum _{j=1}^{\infty }\ell _{j}^{\alpha }<\infty \right\}}$

Para una cadena fractal con infinitas longitudes distintas de cero, la abscisa de convergencia coincide con la dimensión de Minkowski del límite de la cadena, . ^[2] Para nuestro ejemplo, la cadena de Cantor límite es el propio conjunto de Cantor. Por lo tanto, la abscisa de convergencia de la función zeta geométrica es la dimensión de Minkowski del conjunto de Cantor, que es . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$ ${\displaystyle {\frac {\log 2}{\log 3}}}$

Dimensiones complejas

Para una cadena fractal , compuesta por una secuencia infinita de longitudes, las dimensiones complejas de la cadena fractal son los polos de la continuación analítica de la función zeta geométrica asociada con la cadena fractal. (Cuando la continuación analítica de una función zeta geométrica no está definida para todo el plano complejo, tomamos un subconjunto del plano complejo llamado "ventana" y buscamos las dimensiones complejas "visibles" que existen dentro de esa ventana. ^[1] ) ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Ejemplo

Continuando con el ejemplo de la cadena fractal asociada al conjunto de Cantor de tercios medios, calculamos . ^{[2] [4]} Calculamos que la abscisa de convergencia es el valor de que satisface , por lo que es la dimensión de Minkowski del conjunto de Cantor. ^[3] Para el complejo , tiene polos en las infinitas soluciones de , que, para este ejemplo, ocurren en , para todos los números enteros . Esta colección de puntos se llama el conjunto de dimensiones complejas del conjunto de Cantor de tercios medios. ^{[2] [4]} ${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{3^{ns}}}={\frac {\frac {1}{3^{s}}}{1-{\frac {2}{3^{s}}}}}={\frac {1}{3^{s}-2}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 3^{s}=2}$ ${\displaystyle s=\log _{3}2={\frac {\log 2}{\log 3}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)}$ ${\displaystyle 3^{s}=2}$ ${\displaystyle s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}}$ ${\displaystyle k}$

Aplicaciones

Las cadenas fractales ordinarias y generalizadas pueden utilizarse para estudiar la geometría de un fractal (unidimensional), así como para relacionar la geometría del objeto con su espectro. Por ejemplo, la función zeta geométrica asociada a una cadena fractal puede utilizarse para escribir una fórmula de tubo explícita para el volumen de un vecindario del fractal. ^[1] Con respecto a la conexión entre geometría y espectros, la función zeta espectral de una cadena fractal, que es la función zeta geométrica multiplicada por la función zeta de Riemann , puede utilizarse para escribir fórmulas explícitas que describan funciones de conteo espectral. ^[1]

El marco de las cadenas fractales también sirve para unificar aspectos de la geometría fractal y aritmética. Por ejemplo, una fórmula explícita general para contar las longitudes (recíprocas) de una cadena fractal puede utilizarse para demostrar la fórmula explícita de Riemann cuando se utiliza una cadena fractal generalizada adecuada que se apoya en las potencias primos con multiplicidades de cada una dadas por el logaritmo de la base prima de la potencia. ^[1]

En el caso de las cadenas fractales asociadas a conjuntos como los conjuntos de Cantor, formados a partir de intervalos eliminados que son potencias racionales de una longitud fundamental, las dimensiones complejas aparecen en una progresión aritmética regular paralela al eje imaginario, y se denominan cadenas fractales reticulares . Los conjuntos que no tienen esta propiedad se denominan no reticulares . Existe una dicotomía en la teoría de medidas de tales objetos: una cadena fractal ordinaria es medible según el método de Minkowski si y solo si no es reticular. ^[1]

Michel Lapidus y Machiel van Frankenhuijsen propusieron que la existencia de dimensiones complejas no reales con una parte real positiva es la característica distintiva de los objetos fractales. ^[1] Formalmente, proponen definir la “fractalidad” como la presencia de al menos una dimensión compleja no real con una parte real positiva. ^[1] Esta nueva definición de fractalidad resuelve algunos viejos problemas en la geometría fractal. Por ejemplo, según la definición propuesta de fractalidad en el sentido de Mandelbrot , la escalera del diablo de Cantor no es fractal porque sus dimensiones topológicas y de Hausdorff coinciden. ^[1] Sin embargo, la función de escalera de Cantor posee muchas características que deberían considerarse fractales, como la autosimilitud, y en este nuevo sentido de fractalidad la función de escalera de Cantor se considera fractal ya que tiene dimensiones complejas no reales. ^[1]

Cuerdas fractales generalizadas

Una cadena fractal generalizada se define como una medida positiva local o compleja local en tal que para algún , donde la medida positiva es la medida de variación total asociada a . ^{[1] [2]} Una cadena fractal generalizada permite que una cadena fractal tenga un conjunto dado de longitudes con multiplicidades no enteras, o que una cadena fractal tenga un continuo de longitudes en lugar de discretas. Por convención, una cadena fractal generalizada se sustenta en longitudes recíprocas a diferencia de una cadena fractal ordinaria que es un multiconjunto de longitudes (decrecientes o no crecientes). A la luz de esto, la condición de que la medida "no tiene masa cercana a cero", o más precisamente que existe un número positivo tal que el intervalo tiene medida cero con respecto a , puede verse como un análogo de la acotación de la cadena fractal ordinaria. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (0,+\infty )}$ ${\displaystyle |\eta |(0,x_{0})=0}$ ${\displaystyle x_{0}>0}$ ${\displaystyle |\eta |}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x_{0}>0}$ ${\displaystyle (0,x_{0})}$ ${\displaystyle |\eta |}$

Por ejemplo, si es una cadena fractal ordinaria con multiplicidades , entonces la medida asociada a (donde se refiere a la medida delta de Dirac concentrada en el punto ) es un ejemplo de una cadena fractal generalizada. ^[2] Nótese que las funciones delta se admiten en los conjuntos singleton correspondientes a los recíprocos de las longitudes de la cadena fractal ordinaria . Si las multiplicidades no son números enteros positivos, entonces es una cadena fractal generalizada que no se puede realizar como una cadena fractal ordinaria. Un ejemplo concreto de una cadena fractal generalizada de este tipo sería la cadena de Cantor generalizada para . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{l_{j}\}_{j=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle \eta _{\mathcal {L}}:=\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}\delta _{l_{j}^{-1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \delta _{\{x\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{\ell _{j}^{-1}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle \eta _{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \eta _{CS}:=\sum _{j=1}^{\infty }b^{j}\delta _{a^{j}}}$ ${\displaystyle 1<b<a}$

Si es una cadena fractal generalizada, entonces su dimensión se define como su función de conteo como ${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle D_{\eta }:=\inf(\sigma \in \mathbb {R} :\int _{0}^{\infty }x^{-\sigma }|\eta |(dx)<\infty ),}$$

$${\displaystyle N_{\eta }(x):=\int _{0}^{x}\eta (dx)=\eta (0,x)+{\frac {1}{2}}\eta (\{x\})}$$y su función zeta geométrica (su transformada de Mellin ) como

$${\displaystyle \zeta _{\eta }(s):=\int _{0}^{\infty }x^{-s}\eta (dx).}$$^[2] (Tenga en cuenta que la función de conteo se normaliza en las discontinuidades de salto para que sea la mitad del valor en cualquier singleton que tenga una medida distinta de cero).

Véase también

• Secuencia fractal

Referencias

1. ML Lapidus, M. van Frankenhuijsen, Geometría fractal, dimensiones complejas y funciones zeta: geometría y espectros de cuerdas fractales, Monografías en matemáticas, Springer, Nueva York, segunda edición revisada y ampliada, 2012. doi :10.1007/978-1-4614-2176-4
2. Herichi, Hafedh; Lapidus, Michel L. (1 de septiembre de 2012). "Ceros de Riemann y transiciones de fase a través del operador espectral en cuerdas fractales". Journal of Physics A: Mathematical and General . 45 (37): 374005. arXiv : 1203.4828 . Bibcode :2012JPhA...45K4005H. doi :10.1088/1751-8113/45/37/374005. ISSN  0305-4470. S2CID  55352853.
3. Falconer, KJ (2003). Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones (2.ª ed.). Chichester: Wiley. ISBN 0-470-87135-0.OCLC 53970546  .
4. Radunović, Goran (28 de junio de 2019). Una visión general de la teoría de dimensiones complejas y funciones zeta fractales (PDF) . Dubrovnik IX - Topología y sistemas dinámicos 2019.