cubo de tychonoff

En matemáticas , más específicamente en topología general , el cubo de Tychonoff es la generalización del cubo unitario desde el producto de un número finito de intervalos unitarios hasta el producto de un número infinito, incluso incontable , de intervalos unitarios. El cubo de Tychonoff lleva el nombre de Andrey Tychonoff , quien consideró por primera vez el producto arbitrario de espacios topológicos y demostró en la década de 1930 que el cubo de Tychonoff es compacto . Tychonoff luego generalizó esto al producto de colecciones de espacios compactos arbitrarios. Este resultado se conoce ahora como teorema de Tychonoff y se considera uno de los resultados más importantes en topología general. ^[1]

Definición

Denotemos el intervalo unitario . Dado un número cardinal , definimos un cubo de peso de Tychonoff como el espacio con la topología del producto , es decir , el producto donde es la cardinalidad de y, para todos ,. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle I^{\kappa }}$ ${\displaystyle \prod _{s\in S}I_{s}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle I_{s}=I}$

El cubo de Hilbert , es un caso especial de cubo de Tychonoff. ${\displaystyle I^{\aleph _{0}}}$

Propiedades

En todo momento se asume el axioma de elección .

• El cubo Tychonoff es compacto.
• Dado un número cardinal , el espacio se puede incrustar en . ${\displaystyle \lambda \leq \kappa }$ ${\displaystyle I^{\lambda }}$ ${\displaystyle I^{\kappa }}$
• El cubo Tychonoff es un espacio universal para todo espacio compacto de peso . ${\displaystyle I^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}}$
• El cubo de Tychonoff es un espacio universal para cada espacio de peso de Tychonoff . ${\displaystyle I^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}}$
• El personaje de es . ${\displaystyle x\in I^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$

Ver también

• Plancha de Tychonoff : el producto topológico de los dos espacios ordinales y , donde está el primer ordinal infinito y el primer ordinal incontable ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ ${\displaystyle [0,\omega ]}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$
• Línea larga (topología) : una generalización de la línea real a partir de un número contable de segmentos de línea [0, 1) colocados de un extremo a otro hasta un número incontable de dichos segmentos.
• Teorema de Maharam : afirmación de que los espacios de medida completos se pueden descomponer en intervalos unitarios y partes discretas.

Referencias

• Ryszard Engelking , Topología general , Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, diciembre de 1989, ISBN  3885380064 .

Notas

1. Willard, Stephen (2004), Topología general , Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-43479-6