Cuantificación plural

Teoría matemática

En matemáticas y lógica , la cuantificación plural es la teoría de que una variable individual x puede tomar valores plurales y singulares. Además de sustituir x por objetos individuales como Alicia, el número 1, el edificio más alto de Londres, etc., podemos sustituir tanto a Alicia como a Bob, o todos los números entre 0 y 10, o todos los edificios de Londres de más de 20 pisos. .

El objetivo de la teoría es dar a la lógica de primer orden el poder de la teoría de conjuntos , pero sin ningún " compromiso existencial " con objetos como los conjuntos. Las exposiciones clásicas son Boolos 1984 y Lewis 1991.

Historia

La visión se asocia comúnmente con George Boolos , aunque es más antigua (ver notablemente Simons 1982), y está relacionada con la visión de las clases defendida por John Stuart Mill y otros filósofos nominalistas . Mill argumentó que los universales o "clases" no son un tipo peculiar de cosas, que tienen una existencia objetiva distinta de los objetos individuales que se incluyen en ellos, sino que "no son ni más ni menos que las cosas individuales de la clase". (Mill 1904, II. ii. 2, también I. iv. 3).

Bertrand Russell también discutió una posición similar en el capítulo VI de Russell (1903), pero luego la abandonó en favor de una teoría de "no clases". Véase también Gottlob Frege 1895 para una crítica de una visión anterior defendida por Ernst Schroeder .

La idea general se remonta a Leibniz . (Levey 2011, págs. 129-133)

El interés por los plurales revivió con el trabajo en lingüística de la década de 1970 de Remko Scha , Godehard Link , Fred Landman , Friederike Moltmann , Roger Schwarzschild, Peter Lasersohn y otros, quienes desarrollaron ideas para una semántica de los plurales.

Antecedentes y motivación

Predicados y relaciones multigrado (variablemente poliádicos)

Oraciones como

Alice y Bob cooperan.

Alice, Bob y Carol cooperan.

Se dice que involucran un predicado o relación multigrado (también conocido como poliádico variable , también anádico ) ("cooperar" en este ejemplo), lo que significa que representan el mismo concepto aunque no tengan una aridad fija (cf. Linnebo). y Nicolás 2008). La noción de relación/predicado multigrado apareció ya en la década de 1940 y fue utilizada notablemente por Quine (cf. Morton 1975). La cuantificación plural trata de formalizar la cuantificación sobre los argumentos de longitud variable de dichos predicados, por ejemplo, " xx cooperar", donde xx es una variable plural. Tenga en cuenta que en este ejemplo no tiene sentido, semánticamente, crear una instancia de xx con el nombre de una sola persona.

Nominalismo

En términos generales, el nominalismo niega la existencia de universales ( entidades abstractas ), como conjuntos, clases, relaciones, propiedades, etc. Así, la lógica plural se desarrolló como un intento de formalizar el razonamiento sobre plurales, como los involucrados en predicados multigrado, aparentemente sin recurrir a nociones que los nominalistas niegan, por ejemplo, conjuntos.

La lógica estándar de primer orden tiene dificultades para representar algunas oraciones con plurales. La más conocida es la frase de Geach-Kaplan "algunos críticos sólo se admiran entre sí". Kaplan demostró que no es ordenable en primer lugar (la prueba se puede encontrar en ese artículo). De ahí que su paráfrasis en un lenguaje formal nos comprometa a la cuantificación de (es decir, la existencia de) conjuntos.

Boolos argumentó que la cuantificación monádica de segundo orden puede interpretarse sistemáticamente en términos de cuantificación plural y que, por tanto, la cuantificación monádica de segundo orden es "ontológicamente inocente". ^[1]

Posteriormente, Oliver & Smiley (2001), Rayo (2002), Yi (2005) y McKay (2006) argumentaron que oraciones como

son compañeros de barco

ellos se estan reuniendo

Levantaron un piano

Están rodeando un edificio.

Sólo se admiran el uno al otro.

Tampoco puede interpretarse en lógica monádica de segundo orden. Esto se debe a que predicados como "son compañeros de barco", "se están reuniendo", "están rodeando un edificio" no son distributivos . Un predicado F es distributivo si, siempre que algunas cosas sean F, cada una de ellas es F. Pero en lógica estándar, todo predicado monádico es distributivo . Sin embargo, tales oraciones también parecen inocentes de cualquier supuesto existencial y no implican cuantificación.

Por lo tanto, se puede proponer una explicación unificada de los términos plurales que permita la satisfacción tanto distributiva como no distributiva de los predicados, defendiendo al mismo tiempo esta posición contra el supuesto "singularista" de que dichos predicados son predicados de conjuntos de individuos (o de sumas mereológicas).

Varios escritores ^{[ ¿quién? ]} han sugerido que la lógica plural abre la perspectiva de simplificar los fundamentos de las matemáticas , evitando las paradojas de la teoría de conjuntos y simplificando los complejos y poco intuitivos conjuntos de axiomas necesarios para evitarlas. ^{[ se necesita aclaración ]}

Recientemente, Linnebo y Nicolas (2008) han sugerido que los lenguajes naturales a menudo contienen variables superplurales (y cuantificadores asociados) como "estas personas, esas personas y estas otras personas compiten entre sí" (por ejemplo, como equipos en un juego en línea), mientras que Nicolas (2008) ha argumentado que debería utilizarse la lógica plural para explicar la semántica de sustantivos masivos, como "vino" y "muebles".

Definicion formal

Esta sección presenta una formulación simple de lógica/cuantificación plural aproximadamente igual a la dada por Boolos en Nominalist Platonism (Boolos 1985).

Sintaxis

Las unidades suboracionales se definen como

• Símbolos de predicado , etc. (con aridades apropiadas, que quedan implícitas) ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$
• Símbolos de variables singulares , etc. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• Símbolos variables plurales , etc. ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$

Las oraciones completas se definen como

• Si es un símbolo de predicado n -ario y son símbolos de variables singulares, entonces es una oración. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$
• Si es una oración, entonces también lo es. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$
• Si y son oraciones, entonces también lo es ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\land Q}$
• Si es una oración y es un símbolo variable singular, entonces es una oración ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exists x.P}$
• Si es un símbolo de variable singular y es un símbolo de variable plural, entonces es una oración (donde ≺ generalmente se interpreta como la relación "es uno de") ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle x\prec {\bar {y}}}$
• Si es una oración y es un símbolo variable plural, entonces es una oración ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \exists {\bar {x}}.P}$

Las dos últimas líneas son el único componente esencialmente nuevo de la sintaxis de la lógica plural. Otros símbolos lógicos definibles en términos de estos se pueden utilizar libremente como taquigrafías de notación.

Esta lógica resulta equiinterpretable con la lógica monádica de segundo orden .

Teoría de modelos

La teoría/semántica del modelo de lógica plural es donde se compensa la falta de conjuntos de la lógica. Un modelo se define como una tupla donde es el dominio, es una colección de valoraciones para cada nombre de predicado en el sentido habitual y es una secuencia tarskiana (asignación de valores a variables) en el sentido habitual (es decir, un mapa de símbolos de variables singulares a elementos de ). El nuevo componente es una relación binaria que relaciona valores en el dominio con símbolos de variables plurales. ${\displaystyle (D,V,s,R)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$

La satisfacción se da como

• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$si y si ${\displaystyle (s_{x_{0}},\ldots ,s_{x_{n}})\in V_{F}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \neg P}$si y si ${\displaystyle (D,V,s,R)\nvDash P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models P\land Q}$si y si ${\displaystyle (D,V,s,R)\models P}$ ${\displaystyle (D,V,s,R)\models Q}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists x.P}$si hay tal que ${\displaystyle s'\approx _{x}s}$ ${\displaystyle (D,V,s',R)\models P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}}$si y si ${\displaystyle s_{x}R{\bar {y}}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists {\bar {x}}.P}$si hay tal que ${\displaystyle R'\approx _{\bar {x}}R}$ ${\displaystyle (D,V,s,R')\models P}$

Donde para símbolos de variables singulares, significa que para todos los símbolos de variables singulares distintos de , se cumple que , y para símbolos de variables plurales, significa que para todos los símbolos de variables plurales distintos de , y para todos los objetos del dominio , se cumple que . ${\displaystyle s\approx _{x}s'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s_{y}=s'_{y}}$ ${\displaystyle R\approx _{\bar {x}}R'}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle dR{\bar {y}}=dR'{\bar {y}}}$

Como ocurre con la sintaxis, sólo los dos últimos son verdaderamente nuevos en la lógica plural. Boolos observa que al utilizar relaciones de asignación , el dominio no tiene que incluir conjuntos y, por lo tanto, la lógica plural logra la inocencia ontológica al tiempo que conserva la capacidad de hablar sobre las extensiones de un predicado. Por tanto, el esquema de comprensión de la lógica plural no produce la paradoja de Russell porque la cuantificación de variables plurales no cuantifica en el dominio. Otro aspecto de la lógica tal como la define Boolos, crucial para evitar la paradoja de Russell, es el hecho de que las oraciones de la forma no están bien formadas: los nombres de los predicados sólo pueden combinarse con símbolos variables singulares, no símbolos variables plurales. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)}$ ${\displaystyle F({\bar {x}})}$

Esto puede tomarse como el argumento más simple y obvio de que la lógica plural, tal como la definió Boolos, es ontológicamente inocente.

Ver también

• Cuantificador generalizado
• función variadica

Notas

1. Harman, Gilbert; Lepore, Ernest (2013), Un compañero de WVO Quine, Blackwell Companions to Philosophy, John Wiley & Sons, p. 390, ISBN 9781118608029.

Referencias

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enlaces externos

• Linnebo, Øystein. "Cuantificación plural". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Moltmann, Friederike . (Agosto de 2012) "Referencia plural y referencia a una pluralidad. Una reevaluación de los hechos lingüísticos"
• Una bibliografía más extensa
• https://web.archive.org/web/20150211224457/http://lumiere.ens.fr/~amari/genius/PapersSeminar/Nicolas-Semantics-for-plurals-Handout-0110.pdf