Coeficiente de acoplamiento de resonadores.

El coeficiente de acoplamiento de resonadores es un valor adimensional que caracteriza la interacción de dos resonadores. Los coeficientes de acoplamiento se utilizan en la teoría del filtro resonador. Los resonadores pueden ser tanto electromagnéticos como acústicos. Los coeficientes de acoplamiento junto con las frecuencias de resonancia y los factores de calidad externos de los resonadores son los parámetros generalizados de los filtros. Para ajustar la respuesta de frecuencia del filtro es suficiente optimizar sólo estos parámetros generalizados.

Evolución del término

Este término fue introducido por primera vez en la teoría de filtros por M Dishal. ^{[1] [ se necesita fuente no primaria ]} En cierto grado, es un análogo del coeficiente de acoplamiento de inductores acoplados. El significado de este término se ha mejorado muchas veces con los avances en la teoría de resonadores y filtros acoplados . Las definiciones posteriores del coeficiente de acoplamiento son generalizaciones o refinamientos de definiciones anteriores.

Coeficiente de acoplamiento considerado como una constante positiva.

G. Matthaei et al . dan definiciones anteriores bien conocidas del coeficiente de acoplamiento de resonadores en la monografía. ^[2] Tenga en cuenta que estas definiciones son aproximadas porque se formularon bajo el supuesto de que el acoplamiento entre resonadores es suficientemente pequeño. El coeficiente de acoplamiento para el caso de dos resonadores iguales se define mediante la fórmula ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},}$ (1)

¿Dónde están las frecuencias de las oscilaciones acopladas pares e impares del par de resonadores sin carga? Es obvio que el coeficiente de acoplamiento definido por la fórmula (2) es una constante positiva que caracteriza la interacción de los resonadores a la frecuencia de resonancia. ${\displaystyle f_{e},}$ ${\displaystyle f_{o}}$ ${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{e}f_{o}}}.}$ ${\displaystyle f_{0}.}$

En el caso de que una red equivalente apropiada que tenga un inversor de impedancia o admitancia cargado en ambos puertos con redes resonantes de un puerto pueda combinarse con el par de resonadores acoplados con frecuencias resonantes iguales, el coeficiente de acoplamiento se define mediante la fórmula ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {K_{12}}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}}$ (2)

para resonadores de tipo serie y por la fórmula

${\displaystyle k={\frac {J_{12}}{\sqrt {b_{1}b_{2}}}}}$ (3)

para resonadores de tipo paralelo. Aquí están los parámetros del inversor de impedancia y del inversor de admitancia, son los parámetros de pendiente de reactancia de la primera y segunda redes resonantes de tipo serie a frecuencia de resonancia y son los parámetros de pendiente de susceptancia de la primera y segunda redes resonantes de tipo paralelo. ${\displaystyle K_{12},}$ ${\displaystyle J_{12}}$ ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle f_{0},}$ ${\displaystyle b_{1},}$ ${\displaystyle b_{2}}$

Cuando los resonadores son circuitos LC resonantes, el coeficiente de acoplamiento de acuerdo con (2) y (3) toma el valor

${\displaystyle k_{L}={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}$ (4)

para los circuitos con acoplamiento inductivo y el valor

${\displaystyle k_{C}={\frac {C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$ (5)

para los circuitos con acoplamiento capacitivo . Aquí están la inductancia y la capacitancia del primer circuito, son la inductancia y la capacitancia del segundo circuito y son la inductancia mutua y la capacitancia mutua. Las fórmulas (4) y (5) se conocen desde hace mucho tiempo en la teoría de las redes eléctricas . Representan valores de coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo de los circuitos LC resonantes acoplados. ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle L_{2},}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle L_{m},}$ ${\displaystyle C_{m}}$

Coeficiente de acoplamiento considerado como una constante con signo.

El refinamiento de la fórmula aproximada (1) se realizó en. ^[3] La fórmula exacta tiene una forma

${\displaystyle k={\frac {f_{o}^{2}-f_{e}^{2}}{f_{o}^{2}+f_{e}^{2}}}.}$ (6)

Se utilizaron las fórmulas (4) y (5) para derivar esta expresión. Ahora la fórmula (6) es universalmente reconocida. Se encuentra en una monografía muy citada de JS. Hong. ^[4] Se ve que el coeficiente de acoplamiento tiene un valor negativo si ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{o}<f_{e}.}$

De acuerdo con la nueva definición (6), el valor del coeficiente de acoplamiento inductivo de los circuitos LC resonantes se expresa mediante la fórmula (4) como antes. Tiene un valor positivo cuando y un valor negativo cuando ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle L_{m}>0}$ ${\displaystyle L_{m}<0.}$

Mientras que el valor del coeficiente de acoplamiento capacitivo de los circuitos LC resonantes es siempre negativo. De acuerdo con (6), la fórmula (5) para el coeficiente de acoplamiento capacitivo de circuitos resonantes toma una forma diferente ${\displaystyle k_{C}}$

${\displaystyle k_{C}={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$ (7)

El acoplamiento entre resonadores electromagnéticos puede realizarse tanto mediante campo magnético como eléctrico. El acoplamiento por campo magnético se caracteriza por el coeficiente de acoplamiento inductivo y el acoplamiento por campo eléctrico se caracteriza por el coeficiente de acoplamiento capacitivo. Generalmente valores absolutos de y decaen monótonamente cuando aumenta la distancia entre los resonadores. Sus tasas de descomposición pueden ser diferentes. Sin embargo, el valor absoluto de su suma puede decaer en todo el rango de distancia y crecer en algún rango de distancia. ^[5] ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle k_{C}.}$ ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle k_{C}}$

La suma de los coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo se realiza mediante la fórmula ^[3]

${\displaystyle k={\frac {k_{L}+k_{C}}{1+k_{L}k_{C}}}.}$ (8)

Esta fórmula se deriva de la definición (6) y las fórmulas (4) y (7).

Tenga en cuenta que el signo del coeficiente de acoplamiento en sí no tiene importancia. La respuesta de frecuencia del filtro no cambiará si los signos de todos los coeficientes de acoplamiento se alternan simultáneamente. Sin embargo, el signo es importante durante la comparación de dos coeficientes de acoplamiento y especialmente durante la suma de coeficientes de acoplamiento inductivos y capacitivos. ${\displaystyle k}$

Coeficiente de acoplamiento considerado en función de la frecuencia de oscilación forzada.

Dos resonadores acoplados pueden interactuar no sólo en las frecuencias de resonancia. Esto se debe a la capacidad de transferir energía de oscilaciones forzadas de un resonador a otro. Por lo tanto, sería más exacto caracterizar la interacción de los resonadores mediante una función continua de la frecuencia de oscilación forzada en lugar de un conjunto de constantes donde es el número de orden de la resonancia. ${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle k_{p}}$ ${\displaystyle p}$

Es obvio que la función debe cumplir la condición ${\displaystyle k(f)}$

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{p}}=k_{p}.}$ (9)

Además, la función debe volverse cero en aquellas frecuencias en las que no existe transmisión de potencia de alta frecuencia de un resonador a otro, es decir, debe cumplir la segunda condición. ${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle f_{z}}$

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{z}}=0.}$ (10)

El cero de transmisión surge particularmente en circuitos resonantes con acoplamiento mixto inductivo-capacitivo cuando su frecuencia se expresa mediante la fórmula ^[6] ${\displaystyle L_{m}>0.}$ ${\displaystyle k(f)}$

${\displaystyle f_{z}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {L_{m}}{(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}}}}}$. (11)

La definición de la función que generaliza la fórmula (6) y cumple las condiciones (9) y (10) se estableció en un enfoque basado en energía en. ^[6] Esta función se expresa mediante la fórmula (8) a través de inductivos y capacitivos dependientes de la frecuencia. coeficientes de acoplamiento y definidos por fórmulas ${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle k_{L}(f)}$ ${\displaystyle k_{C}(f)}$

${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},}$ (12)

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.}$ (13)

Aquí se indica la energía del campo electromagnético de alta frecuencia almacenada por ambos resonadores. La barra superior indica el componente estático de la energía de alta frecuencia y el punto indica la amplitud del componente oscilante de la energía de alta frecuencia. El subíndice denota la parte magnética de la energía de alta frecuencia y el subíndice denota la parte eléctrica de la energía de alta frecuencia. Los subíndices 11, 12 y 22 indican partes de energía almacenada que son proporcionales y donde es la amplitud compleja del voltaje de alta frecuencia en el primer puerto del resonador y es la amplitud compleja del voltaje en el segundo puerto del resonador. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |U_{1}|^{2},}$ ${\displaystyle |U_{1}||U_{2}|}$ ${\displaystyle |U_{2}|^{2}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$

Las funciones explícitas de los acoplamientos inductivos y capacitivos dependientes de la frecuencia para pares de circuitos resonantes acoplados obtenidos de (12) y (13) tienen las formas ^[6] (14) ${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},}$

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}}$ (15)

donde son las frecuencias resonantes del primer y segundo circuito perturbadas por los acoplamientos. Se ve que los valores de estas funciones coinciden con las constantes y están definidas por las fórmulas (14) y (15). Además, la función calculada por las fórmulas (8), (14) y (15) se vuelve cero cuando se define por la fórmula (11). ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f=f_{1}=f_{2}}$ ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle k_{C}}$ ${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle f_{z}}$

Coeficientes de acoplamiento en la teoría de filtros.

Filtros de paso de banda con topología de acoplamiento en línea

La teoría de los filtros de paso de banda de microondas de banda estrecha con respuesta de frecuencia de Chebyshev se expone en una monografía. ^[2] En estos filtros, las frecuencias resonantes de todos los resonadores se sintonizan a la frecuencia central de la banda de paso. Cada resonador está acoplado con dos resonadores vecinos como máximo. Cada uno de los dos resonadores de borde está acoplado con un resonador vecino y uno de los dos puertos de filtro. Esta topología de los acoplamientos de resonadores se denomina en línea. Sólo hay una ruta de transmisión de energía de microondas desde el puerto de entrada al puerto de salida en filtros con topología de acoplamiento en línea. ${\displaystyle f_{0}.}$

^{En [2]} se proporciona la derivación de fórmulas aproximadas para los valores de los coeficientes de acoplamiento de los resonadores vecinos en filtros con topología de acoplamiento en línea que cumplen con la respuesta de frecuencia del filtro especificada. Aquí se muestran los números de orden de los resonadores acoplados en el filtro. Las fórmulas se obtuvieron utilizando filtros prototipo de paso bajo, así como las fórmulas (2) y (3). La respuesta de frecuencia de los filtros prototipo de paso bajo se caracteriza por la función Chebyshev del primer tipo. Las fórmulas se publicaron por primera vez en. ^[7] Tienen una forma ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$

${\displaystyle k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{1}f_{2}g_{i}g_{i+1}}}},}$ (dieciséis)

donde son los valores normalizados de los elementos prototipo, es el orden de la función de Chebyshev que es igual al número de resonadores, son las frecuencias de borde de banda. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle (i=0,1,2...n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$

Los valores de los elementos prototipo para un paso de banda específico del filtro se calculan mediante fórmulas ${\displaystyle g_{i}}$

${\displaystyle g_{0}=1,}$ ${\displaystyle g_{1}=2a_{1}/\gamma ,}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {4a_{i-1}a_{i}}{b_{i-1}g_{i-1}}},(i=2,3,...n),}$ (17)

${\displaystyle g_{n+1}=1,}$si es par, ${\displaystyle n}$

${\displaystyle g_{n+1}=\mathrm {coth} ^{2}(\beta /4),}$si es extraño. ${\displaystyle n}$

Aquí se utilizaron las siguientes notaciones.

${\displaystyle \beta =2\mathrm {artanh} {\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},}$ ${\displaystyle \gamma =\mathrm {sh} ({\frac {\beta }{2n}}),}$ (18)

${\displaystyle a_{i}=\mathrm {sin} {\frac {(2i-1)\pi }{2n}},}$ ${\displaystyle b_{i}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} ^{2}({\frac {i\pi }{n}}),(i=1,2,...n),}$

¿Dónde está la ondulación de la banda de paso requerida en dB? ${\displaystyle \Delta L}$

Las fórmulas (16) son aproximadas no sólo porque se utilizaron las definiciones aproximadas (2) y (3) para los coeficientes de acoplamiento. Las expresiones exactas para los coeficientes de acoplamiento en el filtro prototipo se obtuvieron en ^[8] Sin embargo, tanto las fórmulas anteriores como las refinadas siguen siendo aproximadas en el diseño de filtros prácticos. La precisión depende tanto de la estructura del filtro como de la estructura del resonador. La precisión mejora cuando el ancho de banda fraccional se reduce.

La inexactitud de las fórmulas (16) y su versión refinada se debe a la dispersión de frecuencia de los coeficientes de acoplamiento que puede variar en gran medida para diferentes estructuras de resonadores y filtros. ^[9] En otras palabras, los valores óptimos de los coeficientes de acoplamiento en frecuencia dependen tanto de las especificaciones de la banda de paso requerida como de los valores de las derivadas. Eso significa que los valores exactos de los coeficientes que garantizan la banda de paso requerida no se pueden conocer de antemano. Sólo se pueden establecer después de la optimización del filtro. Por lo tanto, las fórmulas (16) pueden usarse para determinar los valores iniciales de los coeficientes de acoplamiento antes de la optimización del filtro. ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle dk_{i,i+1}/df|_{f=f_{0}}.}$ ${\displaystyle k_{i,i+1}}$

Las fórmulas aproximadas (16) permiten también determinar una serie de regularidades universales relativas a filtros con topología de acoplamiento en línea. Por ejemplo, la ampliación de la banda de paso del filtro actual requiere un incremento aproximadamente proporcional de todos los coeficientes de acoplamiento. Los coeficientes son simétricos con respecto al resonador central o al par central de resonadores incluso en filtros que tienen impedancias características desiguales de las líneas de transmisión en los puertos de entrada y salida. El valor del coeficiente disminuye monótonamente al pasar de los pares de resonadores externos al par central. ${\displaystyle k_{i,i+1}.}$ ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ ${\displaystyle k_{i,i+1}}$

Los filtros de microondas reales con topología de acoplamiento en línea, a diferencia de sus prototipos, pueden tener ceros de transmisión en las bandas de parada. ^[10] Los ceros de transmisión mejoran considerablemente la selectividad del filtro. Una de las razones por las que surgen los ceros es la dispersión de frecuencia de los coeficientes de acoplamiento para uno o más pares de resonadores que se expresan en su desaparición en las frecuencias de los ceros de transmisión. ^[11] ${\displaystyle k_{i,i+1}}$

Filtros de paso de banda con acoplamientos cruzados

Para generar ceros de transmisión en bandas de parada con el fin de mejorar la selectividad del filtro, a menudo se realizan en los filtros varios acoplamientos suplementarios además de los acoplamientos más cercanos. Se llaman acoplamientos cruzados. Estos acoplamientos forman la base de varias trayectorias de ondas desde el puerto de entrada hasta el puerto de salida. Las amplitudes de las ondas transmitidas a través de diferentes caminos pueden compensarse en algunas frecuencias separadas mientras se suman en el puerto de salida. Esta compensación da como resultado ceros de transmisión.

En filtros con acoplamientos cruzados, es conveniente caracterizar todos los acoplamientos de filtro como un todo utilizando una matriz de acoplamiento de dimensión ,. ^{[4] [12]} Es simétrico. Cada elemento fuera de la diagonal es el coeficiente de acoplamiento de los resonadores i y j . Cada elemento diagonal es la susceptancia normalizada del resonador i . Todos los elementos diagonales en un filtro sintonizado son iguales a cero porque una susceptancia desaparece en la frecuencia de resonancia. ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle k_{ij}.}$ ${\displaystyle M_{ii}}$ ${\displaystyle M_{ii}}$

Un mérito importante de la matriz es el hecho de que permite calcular directamente la respuesta de frecuencia de la red equivalente que tiene circuitos resonantes acoplados inductivamente. ^{[4] [12]} Por lo tanto, es conveniente utilizar esta matriz al diseñar los filtros de acoplamiento cruzado. En particular, las matrices de acoplamiento se utilizan como modelos aproximados de filtros. ^[13] La utilización de un modelo aproximado permite acelerar la optimización del filtro muchas veces debido a que el cálculo de la respuesta de frecuencia para el modelo aproximado no consume tiempo de CPU con respecto al cálculo del filtro real. ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

Coeficiente de acoplamiento en términos de los campos vectoriales.

Debido a que el coeficiente de acoplamiento es función tanto de la inductancia como de la capacitancia mutuas, también se puede expresar en términos de campos vectoriales y . Hong propuso que el coeficiente de acoplamiento es la suma de las integrales de superposición normalizadas ^{[14] [15]} ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

${\displaystyle \kappa =\kappa _{E}+\kappa _{M},}$ (19)

dónde

${\displaystyle \kappa _{E}={\frac {\int _{V}\epsilon \mathbf {E} _{1}{\dot {\mathbf {E} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}}$(20)

y

${\displaystyle \kappa _{M}={\frac {\int _{V}\mu \mathbf {H} _{1}{\dot {\mathbf {H} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}.}$(21)

Por el contrario, basándose en un formalismo de modo acoplado, Awai y Zhang derivaron expresiones para las cuales está a favor del uso del signo negativo, es decir, ^{[16] [17]} ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa =\kappa _{M}-\kappa _{E}.}$ (22)

Las fórmulas (19) y (22) son aproximadas. Coinciden exactamente con la fórmula (8) sólo en caso de un acoplamiento débil. Las fórmulas (20) y (21), a diferencia de las fórmulas (12) y (13), también son aproximadas porque no describen una dispersión de frecuencia que a menudo puede manifestarse en forma de ceros de transmisión en la respuesta de frecuencia de un paso de banda multiresonador. filtrar.

Utilizando la ecuación de movimiento de Lagrange, se demostró que la interacción entre dos resonadores de anillos divididos, que forman un metadímero, depende de la diferencia entre los dos términos. En este caso, la energía acoplada se expresó en términos de carga superficial y densidades de corriente. ^{[18] [19] [20]}

Recientemente, basándose en la teoría del modo acoplado de energía (ECMT), ^[21], un formalismo de modo acoplado en forma de un problema de valores propios, se demostró que el coeficiente de acoplamiento es de hecho la diferencia entre los componentes magnéticos y eléctricos y . ^[22] Utilizando el teorema de Poynting en su forma microscópica, se demostró que se puede expresar en términos de la energía de interacción entre los modos de los resonadores. ${\displaystyle \kappa _{M}}$ ${\displaystyle \kappa _{E}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Referencias

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enlaces externos

• Tyurnev, VV (2010) "Coeficientes de acoplamiento de resonadores en la teoría de filtros de microondas", Progress In Electromagnetics Research B, vol. 21, págs. 47–67.