Filtro de prototipo

Plantilla para diseño de filtros electrónicos.

Los filtros prototipo son diseños de filtros electrónicos que se utilizan como plantilla para producir un diseño de filtro modificado para una aplicación particular. Son un ejemplo de un diseño adimensionalizado a partir del cual se puede escalar o transformar el filtro deseado . Se ven con mayor frecuencia en filtros electrónicos y especialmente en filtros pasivos analógicos lineales . Sin embargo, en principio, el método se puede aplicar a cualquier tipo de filtro lineal o procesamiento de señales , incluidos filtros mecánicos, acústicos y ópticos.

Se requiere que los filtros funcionen en muchas frecuencias , impedancias y anchos de banda diferentes . La utilidad de un filtro prototipo proviene de la propiedad de que todos los demás filtros pueden derivarse de él aplicando un factor de escala a los componentes del prototipo. Por lo tanto, el diseño del filtro sólo debe realizarse una vez en su totalidad, obteniéndose otros filtros simplemente aplicando un factor de escala.

Especialmente útil es la capacidad de transformarse de una forma de banda a otra. En este caso, la transformación es más que un simple factor de escala. La forma de banda aquí pretende indicar la categoría de banda de paso que posee el filtro. Las formas de banda habituales son paso bajo , paso alto , paso de banda y parada de banda , pero son posibles otras. En particular, es posible que un filtro tenga múltiples bandas de paso. De hecho, en algunos tratamientos, el filtro supresor de banda se considera un tipo de filtro de paso de banda múltiple que tiene dos bandas de paso. Lo más común es que el filtro prototipo se exprese como un filtro de paso bajo, pero son posibles otras técnicas.

Un prototipo de filtro de paso bajo constante k Π (pi)

Partes de este artículo o sección se basan en el conocimiento del lector sobre la representación compleja de la impedancia de condensadores e inductores y en el conocimiento de la representación de las señales en el dominio de la frecuencia .

Prototipo de paso bajo

El prototipo suele ser un filtro de paso bajo con una frecuencia angular de 3 dB de frecuencia angular ω _c ′ = 1  rad/s . Ocasionalmente se utiliza la frecuencia f ′ = 1  Hz en lugar de ω _c ′ = 1. Asimismo, la impedancia nominal o característica del filtro se fija en R ′ = 1 Ω.

En principio, cualquier punto de frecuencia distinto de cero en la respuesta del filtro podría usarse como referencia para el diseño del prototipo. Por ejemplo, para filtros con ondulación en la banda de paso, la frecuencia de esquina generalmente se define como la frecuencia más alta con ondulación máxima en lugar de 3 dB. Otro caso son los filtros de parámetros de imagen (un método de diseño más antiguo que los filtros de síntesis de red más modernos ) que utilizan la frecuencia de corte en lugar del punto de 3 dB, ya que el corte es un punto bien definido en este tipo de filtro.

El filtro prototipo solo se puede utilizar para producir otros filtros de la misma clase ^{[n 1]} y orden. ^{[n 2] Por ejemplo, un prototipo} de filtro Bessel de quinto orden se puede convertir en cualquier otro filtro Bessel de quinto orden, pero no se puede transformar en un filtro Bessel de tercer orden o en un filtro Chebyshev de quinto orden .

Un prototipo de filtro pasivo de paso bajo concentrado de quinto orden y topología T podría tener la reactancia :

+1jΩ -0,64jΩ +2jΩ -0,64jΩ +1jΩ (ejemplar)

Para convertirlos a 50 ohmios, multiplique los valores dados por 50. Para obtener el valor de la pieza, convierta a la frecuencia de corte deseada (frecuencia de esquina). Ejemplo: La resistencia será de 75 ohmios y la frecuencia de esquina será de 2 MHz.

+75jΩ -48jΩ +150jΩ -48jΩ +75jΩ6 μH 1,66 nF 12 μH 1,66 nF 6 μH

Los tipos de filtros con ondulación ajustable no se pueden tabular fácilmente como tales, ya que dependen de algo más que la impedancia y la frecuencia.

Escalado de frecuencia

El filtro prototipo se escala a la frecuencia requerida con la siguiente transformación:

${\displaystyle i\omega \to \left({\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\right)i\omega }$

donde ω _c ′ es el valor del parámetro de frecuencia (por ejemplo, frecuencia de corte) para el prototipo y ω _c es el valor deseado. Entonces, si ω _c ′ = 1 entonces la función de transferencia del filtro se transforma como:

${\displaystyle A(i\omega )\to A\left(i{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)}$

Se puede ver fácilmente que para lograr esto, los componentes no resistivos del filtro deben transformarse mediante:

${\displaystyle L\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,L}$  y,    ${\displaystyle C\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,C}$

Escalado de impedancia

El escalamiento de impedancia es invariablemente un escalamiento a una resistencia fija. Esto se debe a que las terminaciones del filtro, al menos nominalmente, se consideran una resistencia fija. Para realizar este escalado a una impedancia nominal R , cada elemento de impedancia del filtro se transforma mediante:

${\displaystyle Z\to {\frac {R}{R'}}\,Z}$

Puede ser más conveniente en algunos elementos escalar la admitancia:

${\displaystyle Y\to {\frac {R'}{R}}\,Y}$

El prototipo de filtro anterior, transformado en un filtro de paso bajo de 600 Ω y 16 kHz

Se puede ver fácilmente que para lograr esto, los componentes no resistivos del filtro deben escalarse como:

${\displaystyle L\to {\frac {R}{R'}}\,L}$    y,     ${\displaystyle C\to {\frac {R'}{R}}\,C}$

El escalado de impedancia por sí solo no tiene ningún efecto sobre la función de transferencia del filtro (siempre que a las impedancias terminales se les aplique el mismo escalado). Sin embargo, es habitual combinar el escalado de frecuencia e impedancia en un solo paso: ^[1]

${\displaystyle L\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R}{R'}}\,L}$  y,    ${\displaystyle C\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R'}{R}}\,C}$

Transformación de forma de banda

En general, la forma de banda de un filtro se transforma reemplazando iω donde ocurre en la función de transferencia con una función de iω . Esto a su vez conduce a la transformación de los componentes de impedancia del filtro en algún otro componente. El escalado de frecuencia anterior es un caso trivial de transformación de forma de banda correspondiente a una transformación de paso bajo a paso bajo.

Paso bajo a paso alto

La transformación de frecuencia requerida en este caso es: ^[2]

${\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to {\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}}$

donde ω _c es el punto en el filtro de paso alto correspondiente a ω _c ′ en el prototipo. La función de transferencia entonces se transforma como:

${\displaystyle A(i\omega )\to A\left({\frac {\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\right)}$

Los inductores se transforman en condensadores según,

${\displaystyle L'\to C={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,L'}}}$

y los condensadores se transforman en inductores,

${\displaystyle C'\to L={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,C'}}}$

siendo las cantidades primadas el valor del componente en el prototipo.

Paso bajo a paso de banda

En este caso, la transformación de frecuencia requerida es: ^[3]

${\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)}$

donde Q es el factor Q y es igual a la inversa del ancho de banda fraccionario: ^[4]

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}}$

Si ω ₁ y ω ₂ son los puntos de frecuencia inferior y superior (respectivamente) de la respuesta de paso de banda correspondiente a ω _c ′ del prototipo, entonces,

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,}$   y     ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\omega _{1}\omega _{2}}}}$

Δ ω es el ancho de banda absoluto y ω ₀ es la frecuencia de resonancia de los resonadores en el filtro. Tenga en cuenta que el escalado de frecuencia del prototipo antes de la transformación de paso bajo a paso de banda no afecta la frecuencia resonante, sino que afecta el ancho de banda final del filtro.

La función de transferencia del filtro se transforma según:

${\displaystyle A(i\omega )\to A\left(\omega _{\text{c}}'Q\left[{\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right]\right)}$

El prototipo de filtro anterior, transformado en un filtro de paso de banda de 50 Ω, 6 MHz con un ancho de banda de 100 kHz

Los inductores se transforman en resonadores en serie .

${\displaystyle L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'Q}{\omega _{0}}}L'\,,\,C={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{L'}}}$

y los condensadores se transforman en resonadores paralelos,

${\displaystyle C'\to C={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _{0}}}C'\,\lVert \,L={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{C'}}}$

Paso bajo a parada de banda

La transformación de frecuencia requerida para paso bajo a eliminación de banda es: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\dfrac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)}$

Los inductores se transforman en resonadores paralelos,

${\displaystyle L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}L'\,\lVert \,C={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{L'}}}$

y los condensadores se transforman en resonadores en serie,

${\displaystyle C'\to C={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}C'\,,\,L={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{C'}}}$

Paso bajo a multibanda

Se pueden obtener filtros con múltiples bandas de paso aplicando la transformación general:

${\displaystyle {\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots }$

El número de resonadores en la expresión corresponde al número de bandas de paso requeridas. Los filtros de paso bajo y paso alto pueden verse como casos especiales de la expresión del resonador en el que uno u otro de los términos se vuelve cero según corresponda. Los filtros de eliminación de banda pueden considerarse como una combinación de un filtro de paso bajo y un filtro de paso alto. Los filtros de eliminación de banda múltiples siempre se pueden expresar en términos de un filtro de paso de banda múltiple. De esta manera, se puede ver que esta transformación representa el caso general para cualquier forma de banda, y todas las demás transformaciones deben verse como casos especiales de la misma.

De manera equivalente, se puede obtener la misma respuesta, a veces con una topología de componentes más conveniente, transformando a múltiples bandas de parada en lugar de múltiples bandas de paso. La transformación requerida en esos casos es:

${\displaystyle {\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots }$

Prototipo alternativo

En su tratamiento de los filtros de imagen , Zobel proporcionó una base alternativa para construir un prototipo que no se basa en el dominio de la frecuencia . ^[6] Los prototipos de Zobel no corresponden, por tanto, a ninguna forma de banda en particular, pero pueden transformarse en cualquiera de ellas. No dar un significado especial a ninguna forma de banda hace que el método sea matemáticamente más agradable; sin embargo, no es de uso común.

El prototipo de Zobel considera secciones de filtro, más que componentes. Es decir, la transformación se lleva a cabo en una red de dos puertos en lugar de en un inductor o condensador de dos terminales. La función de transferencia se expresa en términos del producto de la impedancia en serie , Z, y la admitancia en derivación Y de una media sección de filtro. Consulte el artículo Impedancia de imagen para obtener una descripción de las medias secciones. Esta cantidad es adimensional , lo que aumenta la generalidad del prototipo. Generalmente, ZY es una cantidad compleja,

${\displaystyle ZY=U+iV\,\!}$y como U y V son, en general, funciones de ω, deberíamos escribir correctamente,

${\displaystyle ZY=U(\omega )+iV(\omega )}$

Con los filtros de imagen, es posible obtener filtros de diferentes clases a partir del prototipo de filtro constante k mediante un tipo diferente de transformación (ver filtro de imagen compuesta ), siendo constante k aquellos filtros para los que Z/Y es una constante. Por esta razón, los filtros de todas las clases se dan en términos de U(ω) para una constante k, que se expresa como,

${\displaystyle ZY=U_{k}(\omega )+iV_{k}(\omega )}$

En el caso de redes sin disipación, es decir, sin resistencias, la cantidad V ( ω ) es cero y sólo es necesario considerar U ( ω ). U _k ( ω ) varía desde 0 en el centro de la banda de paso hasta −1 en la frecuencia de corte y luego continúa aumentando negativamente en la banda de parada independientemente de la forma de banda del filtro que se está diseñando. Para obtener la forma de banda requerida, se utilizan las siguientes transformaciones:

Para un prototipo k constante de paso bajo escalado:

${\displaystyle R_{0}=1\,,\,\omega _{\text{c}}=1}$

la variable independiente del gráfico de respuesta es,

${\displaystyle U_{k}(\omega )=-\omega ^{2}\,\!}$

Las transformaciones de forma de banda de este prototipo son,

para paso bajo, ${\displaystyle U_{k}(\omega )\to \left({\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)^{2}}$

para paso alto, ${\displaystyle U_{k}(\omega )\to \left({\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}\right)^{2}}$

y para paso de banda, ${\displaystyle U_{k}(\omega )\to Q^{2}\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)^{2}}$

Ver también

• Topología de filtro electrónico
• filtro electrónico
• Filtro lineal
• Filtro de imagen compuesta

Filtrar formas de banda : ver, paso bajo , paso alto , paso de banda , parada de banda .

Notas a pie de página

1. La clase de un filtro es la clase matemática de los polinomios de la función racional que describen su función de transferencia . Los filtros de parámetros de imagen no son racionales y, por tanto, no tienen una clase polinómica. Estos filtros se clasifican por tipo ( tipo k , tipo m, etc.). El tipo sirve como nombre de clase para filtros de imágenes y se basa en la topología del circuito de filtro.
2. El orden de un filtro es el orden de la función racional del filtro. Una función racional es una razón de dos polinomios y el orden de la función es el orden del polinomio de mayor orden. Cualquier filtro construido a partir de un número finito de elementos discretos será descrito mediante una función racional y en general, el orden será igual al número de elementos reactivos que se utilicen.

Referencias

1. Matthaei y col. , págs. 96–97.
2. Matthaei y col. , págs. 412–413.
3. Matthaei y col. , págs. 438–440.
4. Farago, pag. 69.
5. Matthaei y col. , págs. 727–729.
6. Zobel, 1930, pág. 3.

Bibliografía

• Zobel, OJ, "Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos", Bell System Technical Journal , vol.2 (1923), págs.
• Zobel, OJ, "Electrical wave filters", patente estadounidense 1 850 146, presentada el 25 de noviembre de 1930, expedida el 22 de marzo de 1932. Proporciona muchas fórmulas útiles y una base de dominio sin frecuencia para definir prototipos.
• Matthaei, Young, Jones Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento McGraw-Hill 1964.
• Farago, PS, Introducción al análisis de redes lineales , English Universities Press, 1961.