Constante recíproca de Fibonacci

Constante matemática definida como la suma de los recíprocos de los números de Fibonacci

La constante recíproca de Fibonacci , o ψ , se define como la suma de los recíprocos de los números de Fibonacci :

${\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .}$

La proporción de términos sucesivos en esta suma tiende al recíproco de la proporción áurea . Como esto es menor que 1, la prueba de razón muestra que la suma converge .

Se sabe que el valor de ψ es aproximadamente

${\displaystyle \psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots }$(secuencia A079586 en la OEIS ).

Gosper describe un algoritmo para una rápida aproximación numérica de su valor. La propia serie recíproca de Fibonacci proporciona O( k ) dígitos de precisión para k términos de expansión, mientras que la serie acelerada de Gosper proporciona O( k ² ) dígitos. ^[1] Se sabe que ψ es irracional ; esta propiedad fue conjeturada por Paul Erdős , Ronald Graham y Leonard Carlitz , y probada en 1989 por Richard André-Jeannin. ^[2]

La representación en fracción continua de la constante es:

${\displaystyle \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,}$(secuencia A079587 en la OEIS ).

Ver también

• Lista de sumas de recíprocos

Referencias

1. Gosper, William R. (1974), Aceleración de series, Memorándum de inteligencia artificial n.º 304, Laboratorio de inteligencia artificial, Instituto de Tecnología de Massachusetts , pág. 66, hdl :1721.1/6088.
2. André-Jeannin, Richard (1989), "Irrationalité de la somme des inverses de sures suites récurrentes", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 308 (19): 539–541, SEÑOR  0999451

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante recíproca de Fibonacci". MundoMatemático .