Aceleración en serie

En matemáticas , un método de aceleración de series es cualquiera de una colección de transformaciones de secuencias para mejorar la tasa de convergencia de una serie . Las técnicas de aceleración de series se aplican a menudo en el análisis numérico , donde se utilizan para mejorar la velocidad de la integración numérica . Las técnicas de aceleración de series también se pueden utilizar, por ejemplo, para obtener una variedad de identidades en funciones especiales . Por lo tanto, la transformada de Euler aplicada a la serie hipergeométrica proporciona algunas de las identidades de series hipergeométricas clásicas y bien conocidas.

Definición

Dada una serie infinita con una secuencia de sumas parciales

${\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

tener un límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=S,}$

Una serie acelerada es una serie infinita con una segunda secuencia de sumas parciales.

${\displaystyle (S'_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

que converge asintóticamente más rápido que la secuencia original de sumas parciales: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {S'_{n}-S}{S_{n}-S}}=0.}$

Un método de aceleración de series es una transformación de secuencias que transforma las secuencias convergentes de sumas parciales de una serie en secuencias de sumas parciales de una serie acelerada que convergen más rápidamente y tienen el mismo límite. Si se aplica un método de aceleración de series a una serie divergente , el límite propio de la serie no está definido, pero la transformación de secuencias puede seguir funcionando de forma útil como método de extrapolación a un antilímite de la serie.

Las transformaciones de la serie original a la serie transformada pueden ser transformaciones de secuencia lineales o no lineales. En general, las transformaciones de secuencia no lineales tienden a ser más potentes.

Descripción general

Dos técnicas clásicas para la aceleración de series son la transformación de series de Euler ^[1] y la transformación de series de Kummer ^[2] . En el siglo XX se han desarrollado una variedad de herramientas de convergencia mucho más rápida y de casos especiales, incluida la extrapolación de Richardson , introducida por Lewis Fry Richardson a principios del siglo XX pero también conocida y utilizada por Katahiro Takebe en 1722; el proceso delta-cuadrado de Aitken , introducido por Alexander Aitken en 1926 pero también conocido y utilizado por Takakazu Seki en el siglo XVIII; el método épsilon propuesto por Peter Wynn en 1956; la transformada u de Levin; y el método de Wilf-Zeilberger-Ekhad o método WZ .

Para series alternadas , Cohen et al . ^[3] describen varias técnicas potentes que ofrecen tasas de convergencia desde hasta para una suma de términos. ${\displaystyle 5.828^{-n}}$ ${\displaystyle 17.93^{-n}}$ ${\displaystyle n}$

Transformada de Euler

Un ejemplo básico de una transformación de secuencia lineal , que ofrece una convergencia mejorada, es la transformada de Euler. Está destinada a aplicarse a una serie alternada; se expresa mediante

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}$

¿Dónde está el operador de diferencia hacia adelante , para el cual se tiene la fórmula? ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle (\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{n-k}.}$

Si la serie original, en el lado izquierdo, converge lentamente, las diferencias hacia adelante tenderán a volverse pequeñas muy rápidamente; la potencia adicional de dos mejora aún más la velocidad a la que converge el lado derecho.

Una implementación numérica particularmente eficiente de la transformada de Euler es la transformación de van Wijngaarden . ^[4]

Aplicaciones conformes

Una serie

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

se puede escribir como , donde la función f se define como ${\displaystyle f(1)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

La función puede tener singularidades en el plano complejo ( singularidades de punto de ramificación , polos o singularidades esenciales ), que limitan el radio de convergencia de la serie. Si el punto está cerca o en el límite del disco de convergencia, la serie para convergerá muy lentamente. Se puede entonces mejorar la convergencia de la serie mediante una aplicación conforme que mueva las singularidades de tal manera que el punto en el que se aplica la aplicación termine más profundamente en el nuevo disco de convergencia. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z=1}$

La transformada conforme debe elegirse de manera que , y normalmente se elige una función que tenga una derivada finita en w = 0. Se puede suponer que sin pérdida de generalidad, ya que siempre se puede reescalar w para redefinir . Luego, consideramos la función ${\displaystyle z=\Phi (w)}$ ${\displaystyle \Phi (0)=0}$ ${\displaystyle \Phi (1)=1}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle g(w)=f(\Phi (w)).}$

Como , tenemos . Podemos obtener la expansión en serie de poniendo en la expansión en serie de porque ; los primeros términos de la expansión en serie para darán los primeros términos de la expansión en serie para si . Poner en esa expansión en serie dará como resultado una serie tal que si converge, convergerá al mismo valor que la serie original. ${\displaystyle \Phi (1)=1}$ ${\displaystyle f(1)=g(1)}$ ${\displaystyle g(w)}$ ${\displaystyle z=\Phi (w)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \Phi (0)=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g(w)}$ ${\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}$ ${\displaystyle w=1}$

Transformaciones de secuencias no lineales

Ejemplos de tales transformaciones de secuencia no lineales son las aproximaciones de Padé , la transformación de Shanks y las transformaciones de secuencia de tipo Levin.

En particular, las transformaciones de secuencias no lineales suelen proporcionar métodos numéricos potentes para la suma de series divergentes o series asintóticas que surgen, por ejemplo, en la teoría de perturbaciones y, por lo tanto, pueden utilizarse como métodos de extrapolación eficaces .

Método Aitken

Una transformación de secuencia no lineal simple es la extrapolación de Aitken o el método delta-cuadrado.

${\displaystyle \mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }}$

definido por

${\displaystyle s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.}$

Esta transformación se utiliza comúnmente para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia que converge lentamente; heurísticamente, elimina la mayor parte del error absoluto .

Véase también

• Transformación de Shanks
• Extrapolación polinómica mínima
• Transformación de Van Wijngaarden

Referencias

1. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 3, ecuación 3.6.27". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
2. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 3, ecuación 3.6.26". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
3. Henri Cohen , Fernando Rodríguez Villegas y Don Zagier , "Aceleración de convergencia de series alternadas", Experimental Mathematics , 9 :1 (2000), página 3.
4. William H. Press, et al. , Recetas numéricas en C , (1987) Cambridge University Press, ISBN 0-521-43108-5 (Ver sección 5.1). 

• C. Brezinski y M. Redivo Zaglia , Métodos de extrapolación. Teoría y práctica , Holanda Septentrional, 1991.
• GA Baker Jr. y P. Graves-Morris, Aproximaciones de Padé , Cambridge UP, 1996.
• Weisstein, Eric W. "Mejora de la convergencia". MundoMatemático .
• Herbert HH Homeier: Transformaciones escalares de secuencias de tipo Levin , Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, núm. 1–2, pág. 81 (2000). Homeier, HHH (2000). "Transformaciones escalares de secuencias de tipo Levin". Journal of Computational and Applied Mathematics . 122 (1–2): 81–147. arXiv : math/0005209 . Código Bibliográfico :2000JCoAM.122...81H. doi :10.1016/S0377-0427(00)00359-9., arXiv :math/0005209.
• Brezinski Claude y Redivo-Zaglia Michela: "La génesis y los primeros desarrollos del proceso de Aitken, la transformación de Shanks, el algoritmo y los métodos de punto fijo relacionados", Algoritmos numéricos, vol. 80, n.º 1, (2019), págs. 11-133. ${\displaystyle \epsilon }$
• Delahaye JP: "Transformaciones de secuencia", Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3540152835 (1988).
• Sidi Avram: "Métodos de extrapolación vectorial con aplicaciones", SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
• Brezinski Claude, Redivo-Zaglia Michela y Saad Yousef: "Transformaciones de secuencias de Shanks y aceleración de Anderson", SIAM Review, vol. 60, n.º 3 (2018), págs. 646-669. doi:10.1137/17M1120725 .
• Brezinski Claude: "Reminiscencias de Peter Wynn ", Algoritmos numéricos, Vol.80(2019), pp.5-10.
• Brezinski Claude y Redivo-Zaglia Michela: "Extrapolación y aproximación racional", Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).

Enlaces externos

• Aceleración de convergencia de series
• Biblioteca científica GNU, aceleración de series
• Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas