La conjetura del catalán.

La única solución entera positiva no trivial para x^ay^b es igual a 1 es 3^2-2^3

La conjetura de Catalan (o teorema de Mihăilescu ) es un teorema de la teoría de números que fue conjeturado por el matemático Eugène Charles Catalan en 1844 y demostrado en 2002 por Preda Mihăilescu en la Universidad de Paderborn . ^{[1] [2]} Los números enteros 2 ³ y 3 ² son dos potencias perfectas (es decir, potencias de exponente mayor que uno) de números naturales cuyos valores (8 y 9, respectivamente) son consecutivos. El teorema establece que éste es el único caso de dos potencias perfectas consecutivas. Es decir, que

La conjetura de Catalan  ,  la única solución en los números naturales de

${\displaystyle x^{a}-y^{b}=1}$

para a , b > 1 , x , y > 0 es x = 3 , a = 2 , y = 2 , b = 3 .

Historia

La historia del problema se remonta al menos a Gersonides , quien demostró un caso especial de la conjetura en 1343 donde ( x , y ) estaba restringido a ser (2, 3) o (3, 2). El primer avance significativo después de que el catalán hiciera su conjetura se produjo en 1850, cuando Victor-Amédée Lebesgue abordó el caso b = 2. ^[3]

En 1976, Robert Tijdeman aplicó el método de Baker en la teoría de la trascendencia para establecer un límite en a,b y utilizó los resultados existentes que limitan x , y en términos de a , b para dar un límite superior efectivo para x , y , a , b . Michel Langevin calculó un valor de para el límite, ^[4] resolviendo la conjetura de Catalan para todos los casos excepto para un número finito. ${\displaystyle \exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}}$

La conjetura del catalán fue probada por Preda Mihăilescu en abril de 2002. La prueba fue publicada en el Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004. Hace un uso extensivo de la teoría de los campos ciclotómicos y los módulos de Galois . Yuri Bilu hizo una exposición de la prueba en el Séminaire Bourbaki . ^[5] En 2005, Mihăilescu publicó una prueba simplificada. ^[6]

La conjetura de Pillai.

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Cada número entero positivo ocurre sólo un número finito de veces como diferencia de potencias perfectas?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La conjetura de Pillai se refiere a una diferencia general de potencias perfectas (secuencia A001597 en la OEIS ): es un problema abierto propuesto inicialmente por SS Pillai , quien conjeturó que las lagunas en la secuencia de potencias perfectas tienden al infinito. Esto equivale a decir que cada entero positivo ocurre sólo un número finito de veces como diferencia de potencias perfectas: de manera más general, en 1931 Pillai conjeturó que para los enteros positivos fijos A , B , C la ecuación sólo tiene un número finito de soluciones ( x ,  y ,  metro ,  norte ) con ( metro ,  norte ) ≠ (2, 2). Pillai demostró que para A , B , x , y fijos y para cualquier λ menor que 1 , tenemos uniformemente en my n . ^[7] ${\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C}$ ${\displaystyle |Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}}$

La conjetura general se derivaría de la conjetura ABC . ^{[7] [8]}

La conjetura de Pillai significa que para cada número natural n , sólo hay un número finito de pares de potencias perfectas con diferencia n . La siguiente lista muestra, para n  ≤ 64, todas las soluciones para potencias perfectas menores que 10 ¹⁸ , de modo que el exponente de ambas potencias sea mayor que 1. El número de dichas soluciones para cada n se enumera en OEIS : A076427 . Consulte también OEIS : A103953 para conocer la solución más pequeña (> 0).

Ver también

• La conjetura de Beal.
• Ecuación x ^y = y ^x
• Conjetura de Fermat-Catalán
• curva de Mordell
• Ecuación de Ramanujan-Nagell
• Teorema de Størmer
• teorema de tijdeman
• teorema de thaine

Notas

1. Weisstein, Eric W. , conjetura del catalán, MathWorld
2. Mihailescu 2004
3. Victor-Amédée Lebesgue (1850), "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1", Nouvelles annales de mathématiques , 1 ^re série, 9 : 178–181
4. Ribenboim, Paulo (1979), 13 conferencias sobre el último teorema de Fermat , Springer-Verlag , p. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl  0456.10006
5. Bilu, Yuri (2004), "La conjetura del catalán", Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923 , Astérisque, vol. 294, págs. 1-26
6. Mihailescu 2005
7. Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Teoría de números racionales en el siglo XX: de PNT a FLT , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , págs. 978-0-857-29531-6
8. Schmidt, Wolfgang M. (1996), Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1467 (2ª ed.), Springer-Verlag , pág. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl  0754.11020

Referencias

• Bilu, Yuri (2004), "La conjetura del catalán (después de Mihăilescu)", Astérisque , 294 : vii, 1–26, SEÑOR  2111637
• Catalán, Eugene (1844), "Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur", J. Reine Angew. Matemáticas. (en francés), 27 : 192, doi :10.1515/crll.1844.27.192, SEÑOR  1578392
• Cohen, Henri (2005). Démonstration de la conjecture de Catalan [ Una prueba de la conjetura catalana ]. Théorie algorítmica des nombres et équations diophantiennes (en francés). Palacio: Éditions de l'École Polytechnique. págs. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0. SEÑOR  0222434.
• Metsänkylä, Tauno (2004), "La conjetura del catalán: otro viejo problema diofántico resuelto" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 41 (1): 43–57, doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5 , SEÑOR  2015449
• Mihăilescu, Preda (2004), "Unidades ciclotómicas primarias y una prueba de la conjetura del catalán", J. Reine Angew. Matemáticas. , 2004 (572): 167–195, doi :10.1515/crll.2004.048, SEÑOR  2076124
• Mihăilescu, Preda (2005), "La reflexión, los números de Bernoulli y la prueba de la conjetura del catalán" (PDF) , Congreso Europeo de Matemáticas , Zurich: Eur. Matemáticas. Soc.: 325–340, MR  2185753, archivado desde el original (PDF) el 26 de junio de 2022
• Ribenboim, Paulo (1994), La conjetura del catalán , Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, señor  1259738 Es anterior a la prueba de Mihăilescu.
• Tijdeman, Robert (1976), "Sobre la ecuación del catalán" (PDF) , Acta Arith. , 29 (2): 197–209, doi : 10.4064/aa-29-2-197-209 , SEÑOR  0404137

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La conjetura del catalán". MundoMatemático .
• MathTrek de Ivars Peterson
• Sobre la diferencia de potencias perfectas
• Jeanine Daems: una prueba ciclotómica de la conjetura catalana