Conjetura de Painlevé

Teorema físico

La configuración de cinco cuerpos de Jeff Xia consta de cinco masas puntuales, con dos pares en órbitas elípticas excéntricas entre sí y una masa oscilando hacia adelante y hacia atrás a lo largo del eje de simetría. Xia demostró que, bajo ciertas condiciones iniciales, la masa final será acelerada a una velocidad infinita en un tiempo finito. Esto prueba la conjetura de Painlevé para cinco cuerpos y más.

En física , la conjetura de Painlevé es un teorema sobre singularidades entre las soluciones al problema de n -cuerpos : hay singularidades sin colisión para  n  ≥ 4. ^{[1] [2]}

El teorema fue demostrado para n  ≥ 5 en 1988 por Jeff Xia ^{[3] [4]} y para n = 4 en 2014 por Jinxin Xue. ^{[5] [6]}

Antecedentes y declaración

Se dice que las soluciones del problema de los n cuerpos (donde M son las masas y U denota el potencial gravitacional ) tienen una singularidad si hay una secuencia de tiempos que convergen a un lugar finito . Es decir, las fuerzas y aceleraciones se vuelven infinitas en algún momento finito en el tiempo. ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t^{*}}$ ${\displaystyle \nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty }$

Una singularidad de colisión ocurre si tiende a un límite definido cuando . Si el límite no existe, la singularidad se denomina pseudocolisión o singularidad sin colisión . ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ ${\displaystyle t\rightarrow t^{*},t<t^{*}}$

Paul Painlevé demostró que para n  = 3 cualquier solución con una singularidad de tiempo finita experimenta una singularidad de colisión. Sin embargo, no logró extender este resultado más allá de 3 cuerpos. Sus conferencias de Estocolmo de 1895 terminan con la conjetura de que

Para n  ≥ 4, el problema de los n cuerpos admite singularidades sin colisión. ^{[7] [8]}

Desarrollo

Edvard Hugo von Zeipel demostró en 1908 que si existe una singularidad de colisión, entonces tiende a un límite definido como , donde está el momento de inercia . ^[9] Esto implica que una condición necesaria para una singularidad sin colisión es que la velocidad de al menos una partícula sea ilimitada (ya que las posiciones siguen siendo finitas hasta este punto). ^[1] ${\displaystyle J(\mathbf {q} (t))}$ ${\displaystyle t\rightarrow t^{*}}$ ${\displaystyle J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

Mather y McGehee lograron demostrar en 1975 que puede ocurrir una singularidad sin colisión en el problema colineal de 4 cuerpos (es decir, con todos los cuerpos en una línea), pero sólo después de un número infinito de colisiones binarias (regularizadas). ^[10]

Donald G. Saari demostró en 1977 que para casi todas las condiciones iniciales (en el sentido de la medida de Lebesgue ) en el plano o el espacio para problemas de 2, 3 y 4 cuerpos existen soluciones libres de singularidad. ^[11]

En 1984, Joe Gerver argumentó a favor de una singularidad de no colisión en el problema plano de cinco cuerpos sin colisiones. ^[12] Más tarde encontró una prueba para el caso del cuerpo 3 n . ^[13]

Finalmente, en su tesis doctoral de 1988, Jeff Xia demostró una configuración de cinco cuerpos que experimenta una singularidad sin colisión. ^{[3] [4]}

Joe Gerver ha dado un modelo heurístico para la existencia de singularidades de 4 cuerpos. ^[14]

En su tesis doctoral de 2013 en la Universidad de Maryland, Jinxin Xue consideró un modelo simplificado para el caso del problema plano de cuatro cuerpos de la conjetura de Painlevé. Basándose en un modelo de Gerver, demostró que existe un conjunto de condiciones iniciales de Cantor que conducen a soluciones del sistema hamiltoniano cuyas velocidades se aceleran hasta el infinito en un tiempo finito evitando todas las colisiones anteriores. En 2014, Xue amplió su trabajo anterior y demostró la conjetura para n=4. ^{[15] [5] [6]}

Referencias

1. Diacu, Florin N. (1993). "La conjetura de Painlevé". El inteligente matemático . 13 (2).
2. Diacu, Florín; Holmes, Felipe (1996). Encuentros celestiales: los orígenes del caos y la estabilidad . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-02743-9.
3. Xia, Zhihong (1992). "La existencia de singularidades de no colisión en sistemas newtonianos". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 135 (3): 411–468. doi :10.2307/2946572. JSTOR  2946572.
4. Saari, Donald G.; Xia, Zhihong (Jeff) (1993). "Hacia el infinito en un tiempo finito". Avisos de la AMS . 42 (5): 538–546.
5. Xue, Jinxin (2014). "Singularidades de no colisión en un problema plano de cuatro cuerpos". arXiv : 1409.0048 [matemáticas.DS].
6. Xue, Jinxin (2020). "Singularidades sin colisión en un problema plano de 4 cuerpos". Acta Matemática . 224 (2): 253–388. doi : 10.4310/ACTA.2020.v224.n2.a2 .
7. Painlevé, P. (1897). Lecturas sobre la teoría analítica de ecuaciones diferenciales. París: Hermann.
8. Obras de Paul Painlevé . vol. Tomo I. París: Ed. Centro. Nat. Rech. Ciencia. 1972.
9. von Zeipel, H. (1908). "Sur les singularités du problème des corps". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 4 : 1–4.
10. Mather, J.; McGehee, R. (1975). "Soluciones del problema de los cuatro cuerpos colineales que se vuelven ilimitados en un tiempo finito". En Moser, J. (ed.). Teoría y aplicaciones de sistemas dinámicos . Berlín: Springer-Verlag. págs. 573–589. ISBN 3-540-07171-7.
11. Saari, Donald G. (1977). "Un teorema de existencia global para el problema de los cuatro cuerpos de la mecánica newtoniana". J. Ecuaciones diferenciales . 26 (1): 80-111. Código Bib : 1977JDE....26...80S. doi : 10.1016/0022-0396(77)90100-0 .
12. Gerver, JL (1984). "Un posible modelo para una singularidad sin colisiones en el problema de los cinco cuerpos". J. Dif. Ec . 52 (1): 76–90. Código Bib : 1984JDE....52...76G. doi : 10.1016/0022-0396(84)90136-0 .
13. Gerver, JL (1991). "La existencia de pseudocolisiones en el avión". J. Dif. Ec . 89 (1): 1–68. Código Bib : 1991JDE....89....1G. doi : 10.1016/0022-0396(91)90110-U .
14. Gerver, Joseph L. (2003). "Singularidades sin colisión: ¿son suficientes cuatro cuerpos?". Exp. Matemáticas . 12 (2): 187–198. doi :10.1080/10586458.2003.10504491. S2CID  23816314.
15. Xue, J.; Dolgopyat, D. (2016). "Singularidades de no colisión en el problema plano de dos centros y dos cuerpos". Comunitario. Matemáticas. Física . 345 (3): 797–879. arXiv : 1307.2645 . Código Bib : 2016CMaPh.345..797X. doi :10.1007/s00220-016-2688-6. S2CID  119274578.