la conjetura de newman

Problema sin resolver en matemáticas.

Problema no resuelto en matemáticas :

Dado m , r arbitrario , ¿existen infinitos valores de n tales que la función de partición en n sea congruente con r mod m ?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En matemáticas , específicamente en teoría de números , la conjetura de Newman es una conjetura sobre el comportamiento de la función de partición módulo de cualquier número entero. Específicamente, establece que para cualquier número entero m y r tal que , el valor de la función de partición satisface la congruencia para una infinidad de números enteros no negativos n . Fue formulado por el matemático Morris Newman en 1960. ^[1] No está resuelto a partir de 2020. ${\displaystyle 0\leq r\leq m-1}$ ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle p(n)\equiv r{\pmod {m}}}$

Historia

Oddmund Kolberg fue probablemente el primero en demostrar un resultado relacionado: que la función de partición toma valores pares e impares con una frecuencia infinita. La prueba empleada era de naturaleza elemental y fácilmente accesible, y fue propuesta como ejercicio por Newman en el American Mathematical Monthly . ^{[2] [3] [4]}

Un año después, en 1960, Newman propuso la conjetura y demostró los casos m=5 y 13 en su artículo original, ^[1] y m=65 dos años después. ^[5]

Ken Ono , un matemático estadounidense, hizo más avances al exhibir condiciones suficientes para que la conjetura se cumpliera para el número primo m . Primero demostró que la conjetura de Newman es válida para el primo m si para cada r entre 0 y m-1 existe un entero no negativo n tal que se cumple lo siguiente:

• ${\displaystyle 24\mid mn+1}$
• ${\displaystyle p\left({\frac {mn+1}{24}}\right)\equiv r{\pmod {m}}}$

Usó el resultado, junto con un programa de computadora, para probar la conjetura para todos los primos menores que 1000 (excepto 3). ^[6] Ahlgren amplió su resultado para mostrar que la condición de Ono es, de hecho, cierta para todos los números compuestos coprimos a 6. ^[7]

Tres años más tarde, Ono demostró que por cada número primo m mayor que 3, debe cumplirse una de las siguientes condiciones:

• La conjetura de Newman es válida para m , o
• ${\displaystyle m\mid p(mn+k)}$para todos los enteros no negativos n y . ${\displaystyle 1\leq k<24,24k\equiv 1{\pmod {m}}}$

Utilizando tecnología informática, demostró el teorema para todos los números primos menores que 200.000 (excepto 3). ^[8]

Posteriormente, Ahlgren y Boylan utilizaron el criterio de Ono para extender la conjetura de Newman a todos los primos excepto posiblemente a 3. ^[9] 2 años después, ampliaron su resultado a todas las potencias de los primos excepto a las potencias de 2 o 3. ^[10]

Avances parciales y casos resueltos

El enunciado más débil que tiene al menos una solución ha sido demostrado para todos m . Anteriormente se conocía como la conjetura de Erdős-Ivić, en honor a los matemáticos Paul Erdős y Aleksandar Ivić . Fue resuelto por Ken Ono. ^[6] ${\displaystyle p(n)\equiv 0{\pmod {m}}}$

Referencias

1. Newman, Morris (1960). "Módulo de periodicidad m y propiedades de divisibilidad de la función de partición". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 97 (2): 225–236. doi :10.2307/1993300. ISSN  0002-9947. JSTOR  1993300.
2. Subbarao, MV (1966). "Algunas observaciones sobre la función de partición". El Mensual Matemático Estadounidense . 73 (8): 851–854. doi :10.2307/2314179. ISSN  0002-9890. JSTOR  2314179.
3. Kolberg, O. (1 de diciembre de 1959). "Nota sobre la paridad de las funciones de partición". Mathematica Scandinavica . 7 : 377–378. doi : 10.7146/math.scand.a-10584 . ISSN  1903-1807.
4. Newman, Morris; van Lint, JH (1962). "4944". El Mensual Matemático Estadounidense . 69 (2): 175. doi : 10.2307/2312568. ISSN  0002-9890. JSTOR  2312568.
5. Newman, Morris (marzo de 1962). "Congruencias de la función de partición de módulos compuestos". Revista de Matemáticas de Illinois . 6 (1): 59–63. doi : 10.1215/ijm/1255631806 . ISSN  0019-2082.
6. Ono, Ken (2000). "Distribución de la Función de Partición Módulo m". Anales de Matemáticas . 151 (1): 293–307. arXiv : matemáticas/0008140 . Código Bib : 2000 matemáticas ...... 8140O. doi :10.2307/121118. ISSN  0003-486X. JSTOR  121118.
7. Ahlgren, Scott (1 de diciembre de 2000). "Distribución de la función de partición módulo de enteros compuestos M". Annalen Matemáticas . 318 (4): 795–803. doi :10.1007/s002080000142. ISSN  1432-1807.
8. Bruinier, enero H.; Ono, Ken (1 de marzo de 2003). "Coeficientes de formas modulares de peso semientero". Revista de teoría de números . 99 (1): 164-179. doi : 10.1016/S0022-314X(02)00061-6 . ISSN  0022-314X.
9. Ahlgren, Scott; Boylan, Mateo (1 de septiembre de 2003). "Propiedades aritméticas de la función de partición". Invenciones Mathematicae . 153 (3): 487–502. Código Bib : 2003 InMat.153..487A. doi :10.1007/s00222-003-0295-6. ISSN  1432-1297.
10. Ahlgren, Scott; Boylan, Mateo (1 de enero de 2005). "Coeficientes de formas modulares de peso semiintegral módulo ℓj". Annalen Matemáticas . 331 (1): 219–239. doi :10.1007/s00208-004-0555-9. ISSN  1432-1807.