Conjetura de Milnor (teoría K)

Teorema que describe la K-teoría de Milnor (mod 2) mediante la cohomología de Galois

En matemáticas , la conjetura de Milnor fue una propuesta de John Milnor  (1970) de una descripción de la K-teoría de Milnor (mod 2) de un cuerpo general F con característica diferente de 2, mediante la cohomología de Galois (o equivalentemente étale ) de F con coeficientes en Z /2 Z . Fue demostrada por Vladimir Voevodsky  (1996, 2003a, 2003b).

Declaración

Sea F un cuerpo de característica distinta de 2. Entonces existe un isomorfismo

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\cong H_{{\acute {e}}t}^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

para todo n  ≥ 0, donde K ^M denota el anillo de Milnor .

Sobre la prueba

La prueba de este teorema por Vladimir Voevodsky utiliza varias ideas desarrolladas por Voevodsky, Alexander Merkurjev , Andrei Suslin , Markus Rost , Fabien Morel , Eric Friedlander y otros, incluyendo la recién acuñada teoría de la cohomología motívica (una especie de sustituto de la cohomología singular para variedades algebraicas ) y el álgebra motívica de Steenrod .

Generalizaciones

El análogo de este resultado para los primos distintos de 2 se conocía como conjetura de Bloch-Kato . El trabajo de Voevodsky y Markus Rost arrojó una prueba completa de esta conjetura en 2009; el resultado ahora se llama teorema de isomorfismo de residuos normativos .

Referencias

• Mazza, Carlo; Voevodsky, Vladimir ; Weibel, Charles (2006), Notas de clase sobre cohomología motívica, Clay Mathematics Monographs , vol. 2, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3847-1, Sr.  2242284
• Milnor, John Willard (1970), "Teoría K algebraica y formas cuadráticas", Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode :1970InMat...9..318M, doi :10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844, S2CID  13549621
• Voevodsky, Vladimir (1996), La conjetura de Milnor, Preimpresión
• Voevodsky, Vladimir (2003a), "Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica", Institut des Hautes Études Scientifiques. Publicaciones Mathématiques , 98 (98): 1–57, arXiv : math/0107109 , doi :10.1007/s10240-003-0009-z, ISSN  0073-8301, MR  2031198, S2CID  8172797
• Voevodsky, Vladimir (2003b), "Cohomología motívica con coeficientes Z/2", Institut des Hautes Études Scientifiques. Publicaciones Mathématiques , 98 (98): 59–104, doi :10.1007/s10240-003-0010-6, ISSN  0073-8301, MR  2031199, S2CID  54823073

Lectura adicional

• Kahn, Bruno (2005), "La conjetura de Milnor (d'après V. Voevodsky)", en Friedlander, Eric M.; Grayson, DR (eds.), Handbook of K -theory (en francés), vol. 2, Springer-Verlag , págs. 1105-1149, ISBN 3-540-23019-X, Zbl1101.19001 ​